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ディニ微分

単調関数の片側ディニ微分(右上微分・左上微分・右下微分・左下微分)

目次

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単調増加関数の右上ディニ微分がとり得る値の範囲

実数空間\(\mathbb{R} \)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)およびルベーグ測度\(\mu \)からなるルベーグ測度空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられているものとします。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は単調増加関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \left[ a,b\right] :\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

正の実数\(c>0\)を任意に選びます。関数\(f\)の定義域の内部に属する点\(x\in \left( a,b\right) \)を任意に選びます。\(f\)は点\(x\)の周辺において定義されているため、\(f\)が点\(x\)において右上微分可能であるか検討できます。そこで、右上微分係数\(D^{+}f\left( x\right) \)の値が\(c\)以上の有限な実数であるか、もしくは正の無限大になるような点\(x\)を集めれば以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ c\leq D^{+}f\left( x\right) \leq +\infty
\right\}
\end{equation*}が得られますが、この集合の外測度がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ c\leq D^{+}f\left(
x\right) \leq +\infty \right\} \right) \leq \frac{1}{c}\left[ f\left(
b\right) -f\left( a\right) \right] \end{equation*}に収まることが保証されます。先の集合がルベーグ可測であることを保証できないため、ここではルベーグ測度\(\mu \)ではなく外測度\(\mu ^{\ast }\)を採用しています。証明ではヴィタリの被覆定理を利用します。

命題(単調増加関数の右上ディニ微分がとり得る値の範囲)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された単調増加関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と正の実数\(c>0\)が与えられたとき、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ c\leq D^{+}f\left(
x\right) \leq +\infty \right\} \right) \leq \frac{1}{c}\left[ f\left(
b\right) -f\left( a\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題を踏まえると、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ D^{+}f\left( x\right)
=+\infty \right\} \right) =0
\end{equation*}が導かれます。つまり、有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された単調増加関数\(f\)の右上極限が正の無限大になるような\(\left( a,b\right) \)上の点からなる集合の外測度はゼロになります。

命題(単調増加関数の右上ディニ微分が正の無限大になる場合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された単調増加関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ D^{+}f\left( x\right)
=+\infty \right\} \right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の命題を以下のように表現することもできます。

命題(単調増加関数の右上ディニ微分が正の無限大にならない場合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された単調増加関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところにおいて、\begin{equation*}D^{+}f<+\infty
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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単調増加関数の左上ディニ微分がとり得る値の範囲

実数空間\(\mathbb{R} \)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)およびルベーグ測度\(\mu \)からなるルベーグ測度空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられているものとします。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は単調増加関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \left[ a,b\right] :\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

正の実数\(c>0\)を任意に選びます。関数\(f\)の定義域の内部に属する点\(x\in \left( a,b\right) \)を任意に選びます。\(f\)は点\(x\)の周辺において定義されているため、\(f\)が点\(x\)において右上微分可能であるか検討できます。そこで、左上微分係数\(D^{-}f\left( x\right) \)の値が\(c\)以上の有限な実数であるか、もしくは正の無限大になるような点\(x\)を集めれば以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ c\leq D^{-}f\left( x\right) \leq +\infty
\right\}
\end{equation*}が得られますが、この集合の外測度がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ c\leq D^{-}f\left(
x\right) \leq +\infty \right\} \right) \leq \frac{1}{c}\left[ f\left(
b\right) -f\left( a\right) \right] \end{equation*}に収まることが保証されます。先の集合がルベーグ可測であることを保証できないため、ここではルベーグ測度\(\mu \)ではなく外測度\(\mu ^{\ast }\)を採用しています。証明ではヴィタリの被覆定理を利用します。

命題(単調増加関数の左上ディニ微分がとり得る値の範囲)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された単調増加関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と正の実数\(c>0\)が与えられたとき、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ c\leq D^{-}f\left(
x\right) \leq +\infty \right\} \right) \leq \frac{1}{c}\left[ f\left(
b\right) -f\left( a\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題を踏まえると、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ D^{-}f\left( x\right)
=+\infty \right\} \right) =0
\end{equation*}が導かれます。つまり、有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された単調増加関数\(f\)の左上極限が正の無限大になるような\(\left( a,b\right) \)上の点からなる集合の外測度はゼロになります。

命題(単調増加関数の左上ディニ微分が正の無限大になる場合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された単調増加関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ D^{-}f\left( x\right)
=+\infty \right\} \right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

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以上の命題を以下のように表現することもできます。

命題(単調増加関数の左上ディニ微分が正の無限大にならない場合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された単調増加関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところにおいて、\begin{equation*}D^{+}f<+\infty
\end{equation*}が成り立つ。

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単調減少関数の右下ディニ微分がとり得る値の範囲

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は単調減少関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \left[ a,b\right] :\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

負の実数\(c<0\)を任意に選びます。関数\(f\)の定義域の内部に属する点\(x\in \left( a,b\right) \)を任意に選びます。\(f\)は点\(x\)の周辺において定義されているため、\(f\)が点\(x\)において右下微分可能であるか検討できます。そこで、右下微分係数\(D_{+}f\left( x\right) \)の値が\(c\)以下の有限な実数であるか、もしくは負の無限大になるような点\(x\)を集めれば以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ -\infty \leq D_{+}f\left( x\right) \leq
c\right\}
\end{equation*}が得られますが、この集合の外測度がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ -\infty \leq
D_{+}f\left( x\right) \leq c\right\} \right) \leq \frac{1}{c}\left[ f\left(
b\right) -f\left( a\right) \right] \end{equation*}に収まることが保証されます。

命題(単調減少関数の右下ディニ微分がとり得る値の範囲)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された単調減少関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と負の実数\(c<0\)が与えられたとき、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ -\infty \leq
D_{+}f\left( x\right) \leq c\right\} \right) \leq \frac{1}{c}\left[ f\left(
b\right) -f\left( a\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。

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上の命題を踏まえると、\begin{equation*}
\left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ D_{+}f\left( x\right) =-\infty \right\}
=0
\end{equation*}が導かれます。つまり、有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された単調減少関数\(f\)の右下極限が負の無限大になるような\(\left( a,b\right) \)上の点からなる集合の外測度はゼロになります。

命題(単調減少関数の右下ディニ微分が負の無限大になる場合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された単調減少関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ D_{+}f\left( x\right) =-\infty \right\}
=0
\end{equation*}が成り立つ。

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以上の命題を以下のように表現することもできます。

命題(単調減少関数の右下ディニ微分が負の無限大にならない場合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された単調減少関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところにおいて、\begin{equation*}D_{+}f>-\infty
\end{equation*}が成り立つ。

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単調減少関数の左下ディニ微分がとり得る値の範囲

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は単調減少関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \left[ a,b\right] :\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

負の実数\(c<0\)を任意に選びます。関数\(f\)の定義域の内部に属する点\(x\in \left( a,b\right) \)を任意に選びます。\(f\)は点\(x\)の周辺において定義されているため、\(f\)が点\(x\)において左下微分可能であるか検討できます。そこで、左下微分係数\(D_{-}f\left( x\right) \)の値が\(c\)以下の有限な実数であるか、もしくは負の無限大になるような点\(x\)を集めれば以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ -\infty \leq D_{-}f\left( x\right) \leq
c\right\}
\end{equation*}が得られますが、この集合の外測度がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ -\infty \leq
D_{-}f\left( x\right) \leq c\right\} \right) \leq \frac{1}{c}\left[ f\left(
b\right) -f\left( a\right) \right] \end{equation*}に収まることが保証されます。

命題(単調減少関数の左下ディニ微分がとり得る値の範囲)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された単調減少関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と負の実数\(c<0\)が与えられたとき、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ -\infty \leq
D_{-}f\left( x\right) \leq c\right\} \right) \leq \frac{1}{c}\left[ f\left(
b\right) -f\left( a\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。

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上の命題を踏まえると、\begin{equation*}
\left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ D_{-}f\left( x\right) =-\infty \right\}
=0
\end{equation*}が導かれます。つまり、有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された単調減少関数\(f\)の左下極限が負の無限大になるような\(\left( a,b\right) \)上の点からなる集合の外測度はゼロになります。

命題(単調減少関数の左下ディニ微分が負の無限大になる場合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された単調減少関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ D_{-}f\left( x\right) =-\infty \right\}
=0
\end{equation*}が成り立つ。

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以上の命題を以下のように表現することもできます。

命題(単調減少関数の左下ディニ微分が負の無限大にならない場合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された単調減少関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところにおいて、\begin{equation*}D_{-}f>-\infty
\end{equation*}が成り立つ。

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