方向微分と微分の関係
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において方向\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に関して方向微分可能であるものとします。この場合、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(0\)に十分近い任意の実数\(h\)に対して\(f\left( a+he\right) \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、\(0\)に十分近いそれぞれの実数\(h\in N_{\varepsilon }\left( 0\right) \)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}g\left( h\right) =f\left( a+he\right)
\end{equation*}を値として定める1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
g:\mathbb{R} \supset N_{\varepsilon }\left( 0\right) \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( 0\right) \)は点\(0\)を中心とする半径\(\varepsilon>0\)の近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( 0\right) =\left( -\varepsilon ,\varepsilon \right)
\end{equation*}です。
この1変数ベクトル値関数\(g\)は変数\(h\)に関する1変数のベクトル値関数\(a+he:\mathbb{R} \supset N_{\varepsilon }\left( 0\right) \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)と多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の合成関数であることに注意してください。1変数ベクトル値関数である\(a+he\)は点\(0\)において微分可能であるため、多変数ベクトル値関数である\(f\)が点\(a\)において\(C^{1}\)級である場合には（実際には、後に導入する全微分可能性が満たされていればよい）、合成関数の微分より、1変数ベクトル値関数である\(g\)もまた点\(0\)において微分可能であることが保証されます。さらに、この関数\(g\)の点\(0\)における微分係数\(\frac{dg\left( 0\right) }{dh}\)は、もとの多変数関数\(f\)の点\(a\)における方向微分係数\(\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial e}\)と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial e}=\frac{dg\left( 0\right) }{dh}
\end{equation*}が成り立つということです。
\end{equation*}を定める1変数のベクトル値関数\(g:\mathbb{R} \supset N_{\varepsilon }\left( 0\right) \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が点\(a\)において\(C^{1}\)級である場合には、\(f\)が点\(a\)において\(e\)方向に方向微分可能であることと、\(g\)が点\(0\)において微分可能であることは必要十分であるとともに、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial e}=\frac{dg\left( 0\right) }{dh}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
関数\(g\)の定義を踏まえると、上の命題の主張を、\begin{equation}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial e}=\left. \frac{df\left(
a+he\right) }{dh}\right\vert _{h=0} \quad \cdots (1)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial e} \\
\vdots \\
\dfrac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial e}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{df_{1}\left( a+he\right) }{dh}\right\vert _{h=0} \\
\vdots \\
\left. \dfrac{df_{m}\left( a+he\right) }{dh}\right\vert _{h=0}\end{array}\right)
\end{equation*}と表現できます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。つまり、多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{1}\)級である場合には、多変数ベクトル値関数\(f\left( x\right) \)の変数\(x\)を\(a+he\)に置き換えることで変数\(h\)に関する1変数のベクトル値関数\(f\left( a+he\right) \)を構成し、この関数の点\(h=0\)における微分係数（\(\left( 1\right) \)の右辺）を求めれば、それはもとの多変数ベクトル値関数\(f\left( x\right) \)の点\(a\)における方向\(e\)の方向微分係数（\(\left( 1\right) \)の左辺）と一致することが保証されます。つまり、多変数ベクトル値関数\(f\left( x\right) \)を点\(x=a\)において\(e\)方向に方向微分するプロセスは、1変数ベクトル値関数\(f\left(a+he\right) \)を点\(h=0\)において微分するプロセスと実質的に等しいため、多変数ベクトル値関数を方向微分する際には方向微分の定義にもとづいて考える必要はなく、1変数ベクトル値関数の微分に関する問題へ帰着させられるということです。ただし、この手法はもとの多変数ベクトル値関数\(f\)が\(C^{1}\)級（実際には、全微分可能でよい）であるような点\(a\)に関してのみ利用可能であることに注意してください。
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の成分関数はいずれも多変数の単項式関数であるため\(C^{1}\)級であり、したがって\(f\)もまた\(C^{1}\)級です。したがって、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能であり、方向微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }
&=&\left. \frac{d}{dh}f\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) \right\vert
_{h=0}\quad \because \text{方向微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dh}\left(
\begin{array}{c}
\left( a+he_{1}\right) ^{2}\left( b+he_{2}\right) \\
\left( a+he_{1}\right) \left( b+he_{2}\right) ^{2}\end{array}\right) \right\vert _{h=0} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{d}{dh}\left( a+he_{1}\right) ^{2}\left( b+he_{2}\right)
\right\vert _{h=0} \\
\left. \frac{d}{dh}\left( a+he_{1}\right) \left( b+he_{2}\right)
^{2}\right\vert _{h=0}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \left( a+he_{1}\right) \left( ae_{2}+2be_{1}+3he_{1}e_{2}\right)
\right\vert _{h=0} \\
\left. \left( b+he_{2}\right) \left( 2ae_{2}+be_{1}+3he_{1}e_{2}\right)
\right\vert _{h=0}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a\left( ae_{2}+2be_{1}\right) \\
b\left( 2ae_{2}+be_{1}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上において方向\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)に方向微分可能であり、方向導関数\(\frac{\partial f}{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }=\left(
\begin{array}{c}
a\left( ae_{2}+2be_{1}\right) \\
b\left( 2ae_{2}+be_{1}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。
繰り返しになりますが、この手法はもとの多変数ベクトル値関数\(f\)が\(C^{1}\)級であるような点\(a\)に関してのみ利用可能です。\(f\)が点\(a\)において\(C^{1}\)級ではない場合、以上の手法は利用できません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{ll}
\left(
\begin{array}{c}
\frac{x^{2}y}{x^{3}+y^{3}} \\
\frac{xy^{2}}{x^{3}+y^{3}}\end{array}\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において\(\left( 1,1\right) \)方向に方向微分可能でしょうか。方向微分係数の本来の定義にもとづいて方向微分係数を求めると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( 0,0\right) }{\partial \left( 1,1\right) }
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0+h,0+h\right) -f\left( 0,0\right) }{h}\quad \because \text{方向微分係数の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( h,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( h,h\right) -f_{1}\left(
0,0\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( h,h\right) -f_{1}\left(
0,0\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left( \frac{h^{3}}{h^{3}+h^{3}}-0\right) \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left( \frac{h^{3}}{h^{3}+h^{3}}-0\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{2h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{2h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
+\infty \\
+\infty
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において方向\(\left(1,1\right) \)に方向微分可能ではありません。一方、先の手法にもとづいて方向微分係数を求めると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( 0,0\right) }{\partial \left( 1,1\right) } &=&\left.
\frac{df\left( 0+h,0+h\right) }{dh}\right\vert _{h=0}\quad \because \text{方向微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{df\left( h,h\right) }{dh}\right\vert _{h=0} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{df_{1}\left( h,h\right) }{dh}\right\vert _{h=0} \\
\left. \frac{df_{2}\left( h,h\right) }{dh}\right\vert _{h=0}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{d}{dh}\frac{h^{3}}{h^{3}+h^{3}}\right\vert _{h=0} \\
\left. \frac{d}{dh}\frac{h^{3}}{h^{3}+h^{3}}\right\vert _{h=0}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{d}{dh}\frac{1}{2}\right\vert _{h=0} \\
\left. \frac{d}{dh}\frac{1}{2}\right\vert _{h=0}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
\frac{1}{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルであるため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において方向\(\left( 1,1\right) \)に方向微分可能であるという結論になってしまいます。しかし、これは誤りです。実際、この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において\(C^{1}\)級ではないため（確認してください）、そもそも先の手法の適用対象外です。
演習問題
\begin{array}{c}
\sin \left( x+xy\right) \\
x\cos \left( y\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)において方向微分可能であることを示すとともに、方向導関数\(\frac{\partial f}{\partial \left(e_{1},e_{2}\right) }\)を求めてください。
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