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多変数ベクトル値関数の微分

線型近似としての多変数ベクトル値関数の偏微分

目次

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線型近似としての多変数ベクトル値関数の偏微分

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、その定義域\(X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)がとり得る値からなる集合を\(X_{k}\)で表記します。つまり、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}x\in X\Leftrightarrow x_{k}\in X_{k}
\end{equation*}を満たすものとして\(X_{k}\subset \mathbb{R} \)を定義するということです。変数\(x_{k}\)以外のすべての変数からなる組を、\begin{equation*}x_{-k}=\left( x_{1},\cdots ,x_{k-1},x_{k+1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、\(x_{-k}\)がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}X_{-k}=X_{1}\times \cdots X_{k-1}\times X_{k+1}\times \cdots X_{n}
\end{equation*}で表記します。\(x_{-k}\in X_{-k}\)です。このとき、\begin{equation*}x=\left( x_{k},x_{-k}\right) \in X_{k}\times X_{-k}=X
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点\(\left( a_{k},a_{-k}\right)\in X\)を任意に選びます。この場合、点\(\left(a_{k},a_{-k}\right) \)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数に相当するベクトル\begin{equation}\frac{\partial f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{k}+h,a_{-k}\right) -f\left(
a_{k},a_{-k}\right) }{h}\in \mathbb{R} ^{m} \quad \cdots (1)
\end{equation}が存在します。以上の点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)を念頭においた上で、それぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定める変数\(x_{k}\)に関する1変数のベクトル値関数\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) :\mathbb{R} \supset X_{k}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義すると、偏微分と微分の関係より、この1変数ベクトル値関数\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)の点\(a_{k}\)における微分係数について、\begin{equation*}\frac{df\left( x_{k},a_{-k}\right) }{dx_{k}}=\frac{\partial f\left(
a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{df_{1}\left( x_{k},a_{-k}\right) }{dx_{k}} \\
\vdots \\
\dfrac{df_{m}\left( x_{k},a_{-k}\right) }{dx_{k}}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\dfrac{\partial f_{m}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、多変数のベクトル値関数\(f\left( x_{k},x_{-k}\right) \)が点\(\left(a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることと、1変数のベクトル値関数\(f\left(x_{k},a_{-k}\right) \)が点\(a_{k}\)において微分可能であることは必要十分であるとともに、\(f\left( x_{k},x_{-k}\right) \)の点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数(右辺)と\(f\left(x_{k},a_{-k}\right) \)の点\(a_{k}\)における微分係数(左辺)は一致するということです。

偏微分と微分の関係に関する以上の事実と、無限小を用いた1変数ベクトル値関数の微分の表現を用いると以下を得ます。

命題(線型近似としての多変数ベクトル値関数の偏微分)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および定義域上の点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \in X\)が与えられたとき、それぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定める1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f\left( x_{k},a_{-k}\right) :X_{k}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義する。この1変数ベクトル値関数\(f\left(x_{k},a_{-k}\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( a_{k}+h,a_{-k}\right) -f\left( a_{k},a_{-k}\right) -hc=o\left(
h\right) \quad \left( h\rightarrow 0\right)
\end{equation*}を満たすベクトル\(c\in \mathbb{R} ^{m}\)が存在することは、もとの多変数ベクトル値関数\(f\)が点\(\left(a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるための必要十分条件である。さらにこのとき、\begin{equation*}c=\frac{df\left( a_{k},a_{-k}\right) }{dx_{k}}=\frac{\partial f\left(
a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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上の命題において\(x_{k}=a_{k}+h\)とおくことにより以下を得ます。

命題(線型近似としての多変数ベクトル値関数の偏微分)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および定義域上の点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \in X\)が与えられたとき、それぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定める1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f\left( x_{k},a_{-k}\right) :X_{k}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義する。この1変数ベクトル値関数\(f\left(x_{k},a_{-k}\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) -f\left( a_{k},a_{-k}\right) -\left(
x_{k}-a_{k}\right) c=o\left( x_{k}-a_{k}\right) \quad \left(
x_{k}\rightarrow a_{k}\right)
\end{equation*}を満たすベクトル\(c\in \mathbb{R} ^{m}\)が存在することは、もとの多変数ベクトル値関数\(f\)が点\(\left(a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるための必要十分条件である。さらにこのとき、\begin{equation*}c=\frac{df\left( a_{k},a_{-k}\right) }{dx_{k}}=\frac{\partial f\left(
a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

以上の命題はどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるものとします。1変数のベクトル値関数\(f\left(x_{k},a_{-k}\right) \)に注目したとき、この場合、変数\(x_{k}\)に関する関数\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) -\left[ f\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left(
x_{k}-a_{k}\right) c\right] \end{equation*}が、やはり変数\(x_{k}\)に関する関数\begin{equation*}x_{k}-a_{k}
\end{equation*}よりも点\(a_{k}\)において高位の無限小になるようなベクトル\(c\)が存在します。つまり、変数\(x_{k}\)を点\(a_{k}\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)と\(f\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left(x_{k}-a_{k}\right) c\)の誤差は限りなく小さくなるだけでなく、その誤差の大きさは\(x_{k}\)と\(a_{k}\)の誤差と比べても無視できるほど小さくなるということです。したがって、多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(\left(a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)について偏微分可能である場合には、1変数のベクトル値関数\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)に関して、点\(a_{k}\)に限りなく近い任意の\(x_{k}\)において、\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) \approx f\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left(
x_{k}-a_{k}\right) c
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。さらに、\begin{equation*}
c=\frac{df\left( a_{k},a_{-k}\right) }{dx_{k}}=\frac{\partial f\left(
a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}であることを踏まえると、先の近似式を、\begin{equation*}
f\left( x_{k},a_{-k}\right) \approx f\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left(
x_{k}-a_{k}\right) \frac{\partial f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial
x_{k}}
\end{equation*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{k},a_{-k}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{k},a_{-k}\right)
\end{array}\right) &\approx &\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{k},a_{-k}\right)
\end{array}\right) +\left( x_{k}-a_{k}\right) \left(
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\dfrac{\partial f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left( x_{k}-a_{k}\right) \dfrac{\partial
f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left( x_{k}-a_{k}\right) \dfrac{\partial
f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と表現できます。

結論を整理します。多変数のベクトル値関数\(f\)を点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分することとは、1変数のベクトル値関数\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)を点\(a_{k}\)の周辺において変数\(x_{k}\)に関する1次式\begin{equation*}f\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left( x_{k}-a_{k}\right) \frac{\partial
f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left( x_{k}-a_{k}\right) \dfrac{\partial
f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left( x_{k}-a_{k}\right) \dfrac{\partial
f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right)
\end{equation*}で近似することを意味します。この近似式を\(a_{k}\)における\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)\(1\)次の近似多項式(1st degree approximating polynomial of \(f\left( \cdot ,a_{-k}\right) \) at \(a_{k}\))と呼びます。

例(多変数ベクトル値関数の値の近似)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial }{\partial x}x^{2}y \\
\frac{\partial }{\partial x}xy^{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2xy \\
y^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。したがって、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、点\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}f\left( x,b\right) &\approx &f\left( a,b\right) +\left( x-a\right) \frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a^{2}b \\
ab^{2}\end{array}\right) +\left( x-a\right) \left(
\begin{array}{c}
2ab \\
b^{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a^{2}b+\left( x-a\right) 2ab \\
ab^{2}+\left( x-a\right) b^{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2abx-a^{2}b \\
b^{2}x\end{array}\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえたとき、点\(\left( 1,2\right) \)に注目すると、点\(1\)に限りなく近い任意の\(x\)について、\begin{equation*}f\left( x,2\right) \approx \left(
\begin{array}{c}
4x-2 \\
4x\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえた上で\(f\left( 0.95,2\right) \)の近似値を求めると、\begin{eqnarray*}f\left( 0.95,2\right) &\approx &\left(
\begin{array}{c}
4\cdot 0.95-2 \\
4\cdot 0.95\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1.8 \\
3.8\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となり、\(f\left( 1.05,2\right) \)の近似値を求めると、\begin{eqnarray*}f\left( 1.05,2\right) &\approx &\left(
\begin{array}{c}
4\cdot 1.05-2 \\
4\cdot 1.05\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2.2 \\
4.2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。

1変数のベクトル値関数\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)の点\(a_{k}\)における1次の近似多項式のグラフは、\begin{equation*}\left\{ \left( x_{k},y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{m}\ |\ y=f\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left( x_{k}-a_{k}\right) \frac{\partial f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\right\}
\end{equation*}である一方、\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)のグラフは、\begin{equation*}\left\{ \left( x_{k},y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{m}\ |\ y=f\left( x_{k}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。繰り返しになりますが、多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合には、1変数のベクトル値関数\(f\left(x_{k},a_{-k}\right) \)に関して、点\(a_{k}\)に限りなく近い任意の\(x_{k}\)において、\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) \approx f\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left(
x_{k}-a_{k}\right) \frac{\partial f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial
x_{k}}
\end{equation*}という近似式が成り立つため、点\(a_{k}\)の周辺において\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)のグラフは点\(a_{k}\)における\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)の1次の近似多項式のグラフと近似的に等しくなります。

 

演習問題

問題(多変数ベクトル値関数の1次の線型近似式)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)が点\(\left( a,b,c\right) \in X\)において変数\(x\)に関して偏微分可能であるものとします。点\(a\)における関数\(f\left( x,b,c\right) \)の1次の近似多項式を明らかにしてください。
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問題(多変数ベクトル値関数の値の近似)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
e^{x}\cos \left( y\right) \\
e^{-2x}\sin \left( y\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の値\begin{equation*}
f\left( 0.05,0\right)
\end{equation*}の近似値を求めてください。

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