線型近似としての多変数ベクトル値関数の偏微分

線型近似としての多変数ベクトル値関数の偏微分

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、その定義域\(X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)がとり得る値からなる集合を\(X_{k}\)で表記します。つまり、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}x\in X\Leftrightarrow x_{k}\in X_{k}
\end{equation*}を満たすものとして\(X_{k}\subset \mathbb{R} \)を定義するということです。変数\(x_{k}\)以外のすべての変数からなる組を、\begin{equation*}x_{-k}=\left( x_{1},\cdots ,x_{k-1},x_{k+1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、\(x_{-k}\)がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}X_{-k}=X_{1}\times \cdots X_{k-1}\times X_{k+1}\times \cdots X_{n}
\end{equation*}で表記します。\(x_{-k}\in X_{-k}\)です。このとき、\begin{equation*}x=\left( x_{k},x_{-k}\right) \in X_{k}\times X_{-k}=X
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点\(\left( a_{k},a_{-k}\right)\in X\)を任意に選びます。この場合、点\(\left(a_{k},a_{-k}\right) \)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数に相当するベクトル\begin{equation}\frac{\partial f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{k}+h,a_{-k}\right) -f\left(
a_{k},a_{-k}\right) }{h}\in \mathbb{R} ^{m} \quad \cdots (1)
\end{equation}が存在します。以上の点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)を念頭においた上で、それぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定める変数\(x_{k}\)に関する1変数のベクトル値関数\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) :\mathbb{R} \supset X_{k}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義すると、偏微分と微分の関係より、この1変数ベクトル値関数\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)の点\(a_{k}\)における微分係数について、\begin{equation*}\frac{df\left( x_{k},a_{-k}\right) }{dx_{k}}=\frac{\partial f\left(
a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{df_{1}\left( x_{k},a_{-k}\right) }{dx_{k}} \\
\vdots \\
\dfrac{df_{m}\left( x_{k},a_{-k}\right) }{dx_{k}}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\dfrac{\partial f_{m}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、多変数のベクトル値関数\(f\left( x_{k},x_{-k}\right) \)が点\(\left(a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることと、1変数のベクトル値関数\(f\left(x_{k},a_{-k}\right) \)が点\(a_{k}\)において微分可能であることは必要十分であるとともに、\(f\left( x_{k},x_{-k}\right) \)の点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数（右辺）と\(f\left(x_{k},a_{-k}\right) \)の点\(a_{k}\)における微分係数（左辺）は一致するということです。

偏微分と微分の関係に関する以上の事実と、無限小を用いた1変数ベクトル値関数の微分の表現を用いると以下を得ます。

上の命題において\(x_{k}=a_{k}+h\)とおくことにより以下を得ます。

以上の命題はどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるものとします。1変数のベクトル値関数\(f\left(x_{k},a_{-k}\right) \)に注目したとき、この場合、変数\(x_{k}\)に関する関数\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) -\left[ f\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left(
x_{k}-a_{k}\right) c\right] \end{equation*}が、やはり変数\(x_{k}\)に関する関数\begin{equation*}x_{k}-a_{k}
\end{equation*}よりも点\(a_{k}\)において高位の無限小になるようなベクトル\(c\)が存在します。つまり、変数\(x_{k}\)を点\(a_{k}\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)と\(f\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left(x_{k}-a_{k}\right) c\)の誤差は限りなく小さくなるだけでなく、その誤差の大きさは\(x_{k}\)と\(a_{k}\)の誤差と比べても無視できるほど小さくなるということです。したがって、多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(\left(a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)について偏微分可能である場合には、1変数のベクトル値関数\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)に関して、点\(a_{k}\)に限りなく近い任意の\(x_{k}\)において、\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) \approx f\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left(
x_{k}-a_{k}\right) c
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。さらに、\begin{equation*}
c=\frac{df\left( a_{k},a_{-k}\right) }{dx_{k}}=\frac{\partial f\left(
a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}であることを踏まえると、先の近似式を、\begin{equation*}
f\left( x_{k},a_{-k}\right) \approx f\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left(
x_{k}-a_{k}\right) \frac{\partial f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial
x_{k}}
\end{equation*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{k},a_{-k}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{k},a_{-k}\right)
\end{array}\right) &\approx &\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{k},a_{-k}\right)
\end{array}\right) +\left( x_{k}-a_{k}\right) \left(
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\dfrac{\partial f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left( x_{k}-a_{k}\right) \dfrac{\partial
f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left( x_{k}-a_{k}\right) \dfrac{\partial
f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と表現できます。

結論を整理します。多変数のベクトル値関数\(f\)を点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分することとは、1変数のベクトル値関数\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)を点\(a_{k}\)の周辺において変数\(x_{k}\)に関する1次式\begin{equation*}f\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left( x_{k}-a_{k}\right) \frac{\partial
f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left( x_{k}-a_{k}\right) \dfrac{\partial
f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left( x_{k}-a_{k}\right) \dfrac{\partial
f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right)
\end{equation*}で近似することを意味します。この近似式を点\(a_{k}\)における\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)の\(1\)次の近似多項式（1st degree approximating polynomial of \(f\left( \cdot ,a_{-k}\right) \) at \(a_{k}\)）と呼びます。

1変数のベクトル値関数\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)の点\(a_{k}\)における1次の近似多項式のグラフは、\begin{equation*}\left\{ \left( x_{k},y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{m}\ |\ y=f\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left( x_{k}-a_{k}\right) \frac{\partial f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\right\}
\end{equation*}である一方、\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)のグラフは、\begin{equation*}\left\{ \left( x_{k},y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{m}\ |\ y=f\left( x_{k}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。繰り返しになりますが、多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合には、1変数のベクトル値関数\(f\left(x_{k},a_{-k}\right) \)に関して、点\(a_{k}\)に限りなく近い任意の\(x_{k}\)において、\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) \approx f\left( a_{k},a_{-k}\right) +\left(
x_{k}-a_{k}\right) \frac{\partial f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial
x_{k}}
\end{equation*}という近似式が成り立つため、点\(a_{k}\)の周辺において\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)のグラフは点\(a_{k}\)における\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)の1次の近似多項式のグラフと近似的に等しくなります。

演習問題