多変数のベクトル値関数のベクトル差の偏微分

多変数のベクトル値関数のベクトル差の偏微分

定義域を共有する多変数のベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれのベクトル\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
=\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) -g_{1}\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) -g_{1}\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定める新たな多変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。ただし、\(f_{i},g_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)および\(g\)の成分関数です。

多変数のベクトル値関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるものとします。つまり、\(f\)と\(g\)が点\(a\)および周辺の任意の点において定義されているとともに、その点における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}} &=&\left. \frac{\partial
f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{x=a} \\
\frac{\partial g\left( a\right) }{\partial x_{k}} &=&\left. \frac{\partial
g\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{x=a}
\end{eqnarray*}がともに\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まるということです。以上の条件が満たされる場合、多変数のベクトル値関数\(f-g\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、その偏微分係数が、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( f-g\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}} &=&\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}-\frac{\partial g\left( a\right)
}{\partial x_{k}} \\
&=&\left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}-\left. \frac{\partial g\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \left( f-g\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial g_{1}\left( a\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\frac{\partial g_{m}\left( a\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a} \\
\vdots \\
\left. \frac{\partial f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{\partial g_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a} \\
\vdots \\
\left. \frac{\partial g_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}という\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まります。

つまり、定義域上の点\(a\)において変数\(x_{k}\)について偏微分可能な多変数のベクトル値関数\(f,g\)のベクトル差の形をしている多変数のベクトル値関数\(f-g\)が与えられたとき、\(f-g\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)について偏微分可能であるとともに、\(f\)の偏微分係数であるベクトル\(\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}\)と\(g\)の偏微分係数であるベクトル\(\frac{\partial g\left(a\right) }{\partial x_{k}}\)のベクトル差をとれば\(f-g\)の偏微分係数\(\frac{\partial \left( f-g\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}}\)が得られることを上の命題は保証しています。

多変数のベクトル値関数のベクトル差のヤコビ行列

先の命題より、ヤコビ行列に関する以下の命題が得られます。

つまり、定義域上の点\(a\)において偏微分可能な多変数のベクトル値関数\(f,g\)のベクトル差の形をしている多変数のベクトル値関数\(f-g\)が与えられたとき、\(f-g\)もまた点\(a\)において偏微分可能であるとともに、\(f\)のヤコビ行列\(J_{f}\left( a\right) \)と\(g\)のヤコビ行列\(J_{g}\left( a\right) \)の行列差をとれば\(f-g\)のヤコビ行列\(J_{f-g}\left( a\right) \)が得られることを上の命題は保証しています。