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多変数ベクトル値関数の微分

多変数ベクトル値関数の方向微分の定義(ベクトル場の方向微分)

目次

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多変数ベクトル値関数関数の線分上での平均変化率

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルを値としてとる多変数のベクトル値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(f\)が定義域の要素であるそれぞれのベクトル\(x\in X\)に対して定める値は、以下のようなベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。\(f\)の定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。例えば、\(a\)が\(X\)の内点であればそのような条件が満たされます。このような点を議論の対象とする理由については後述します。

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の変数\(x\)を点\(a\in X\)から特定の変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\not=0\)だけ変化させたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{f_{1}\left( a+he_{k}\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\dfrac{f_{m}\left( a+he_{k}\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots
,a_{n}\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\dfrac{f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots
,a_{n}\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と定義されます。ただし、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトルです。上の平均変化率は、変数\(x\)を点\(a\)から\(x_{k}\)軸に平行に\(h\)だけ変化させた場合の\(f\left( x\right) \)の平均変化率に相当します。以上の平均変化率を踏まえた上で偏微分と呼ばれる微分概念を定義しました。

例(特定の変数に関する平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられたとき、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(x\)に関してのみ動かす場合の\(f\left( x\right) \)の平均変化率は、\(h\not=0\)を用いて、\begin{equation*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+h,b\right) -f_{1}\left( a,b\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a+h,b\right) -f_{2}\left( a,b\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}と表されます。この平均変化率は、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から\(x\)軸に平行に\(h\)だけ移動させたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率に相当します(下図)。

図:x軸に平行な移動
図:x軸に平行な移動

ただ、多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の変数\(x\)を点\(a\in X\)から動かす際には、特定の変数\(x_{k}\)の軸に沿ってまっすぐ動かさなければならない理由はなく、\(x\)を好きな方向へまっすぐ動かすこともできるはずです。そこで、変数\(x\)を動かす方向を指定する非ゼロベクトル\begin{equation*}v=\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。\(v\)と同じ向きの単位ベクトルを\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)で表記するのであれば、これは、\begin{equation*}e=\frac{v}{\left\Vert v\right\Vert }=\frac{\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right)
}{\sqrt{v_{1}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}
\end{equation*}として定まることに注意してください。単位ベクトルの定義より、\begin{equation*}
\left\Vert e\right\Vert =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}e_{i}^{2}}=1
\end{equation*}が成り立ちます。方向を指定する手段として\(v\)の代わりに\(e\)を採用しても一般性は失われないため、以降では方向ベクトルとして単位ベクトルを採用します。方向ベクトルとして非単位ベクトル\(v\)が与えられた場合には、それを単位ベクトル\(e\)に変換してから議論を行うということです。

変数\(x\)を点\(a\)から方向\(e\)へまっすぐ動かした後の点は、何らかの正の実数\(h>0\)を用いて、\begin{equation*}a+he=\left( a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表されます。一方、変数\(x\)を点\(a\)から方向\(e\)とは逆の方向\(-e\)へまっすぐ動かした後の点は、何らかの負の実数\(h<0\)を用いて上のように表されます。どちらの場合でも、変数\(x\)を点\(a\)から点\(a+he\)までまっすぐ動かす場合の移動距離は点\(a\)と点\(a+h\)を結ぶ線分の長さと一致しますが、これは、非ゼロの実数\(h\not=0\)を用いて、\begin{eqnarray*}\left\Vert \left( a+he\right) -a\right\Vert &=&\left\Vert he\right\Vert \\
&=&\left\vert h\right\vert \left\Vert e\right\Vert \\
&=&\left\vert h\right\vert \quad \because \left\Vert e\right\Vert =1
\end{eqnarray*}となります。つまり、方向ベクトルとして単位ベクトルを採用する場合、変数\(x\)を点\(a\)から点\(a+he\)までまっすぐ動かす場合の\(x\)の移動距離は\(\left\vert h\right\vert \)と一致するということです。方向ベクトルとして単位ベクトルを採用すると以上のようなメリットがあります。

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、その定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。方向ベクトル\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)と十分小さい実数\(h\not=0\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(e\)は単位ベクトルです。変数\(x\)を点\(a\)から点\(a+he\)までまっすぐ動かす場合、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a+he\right) \)まで変化します。このとき、\begin{equation*}\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{f_{1}\left( a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\vdots \\
\dfrac{f_{m}\left( a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right) -f_{m}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}を、\(a\)と点\(a+he\)を結ぶ線分上での\(f\left(x\right) \)の平均変化率(average rate of change of \(f\left( x\right) \) over the line segment joining \(a\) to \(a+he\))と呼びます。\(h>0\)の場合、これは変数\(x\)を点\(a\)から方向\(e\)へまっすぐ\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かした動かした場合の\(f\left( x\right) \)の平均的な変化量に相当し、\(h<0\)の場合、これは変数\(x\)を点\(a\)から方向\(-e\)へまっすぐ\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かした動かした場合の\(f\left( x\right) \)の平均的な変化量に相当します。

例(線分上での平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられたとき、点\(\left( a,b\right) \)と点\(\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) \)を結ぶ線分上での\(f\left(x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) -f\left( a,b\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) -f_{1}\left( a,b\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) -f_{2}\left( a,b\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)は単位ベクトルです。\(h>0\)の場合、この平均変化率は、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left(a,b\right) \)から方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)へまっすぐ\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かす場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均的な変化量に相当し、\(h<0\)の場合、この平均変化率は、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から方向\(-\left( e_{1},e_{2}\right) \)へまっすぐ\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かす場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均的な変化量に相当します(下図)。

図:線分に沿った移動
図:線分に沿った移動
例(線分上での平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)が与えられたとき、点\(\left( a,b,c\right) \)と点\(\left(a+he_{1},b+he_{2},c+he_{3}\right) \)を結ぶ線分上での\(f\left( x,y,z\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+he_{1},b+he_{2},c+he_{3}\right) -f\left( a,b,c\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+he_{1},b+he_{2},c+he_{3}\right) -f_{1}\left(
a,b,c\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a+he_{1},b+he_{2},c+he_{3}\right) -f_{2}\left(
a,b,c\right) }{h} \\
\frac{f_{3}\left( a+he_{1},b+he_{2},c+he_{3}\right) -f_{3}\left(
a,b,c\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\left( e_{1},e_{2},e_{3}\right) \)は単位ベクトルです。\(h>0\)の場合、この平均変化率は、変数\(\left( x,y,z\right) \)を点\(\left( a,b,c\right) \)から方向\(\left(e_{1},e_{2},e_{3}\right) \)へまっすぐ\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かす場合の\(f\left( x,y,z\right) \)の平均的な変化量に相当し、\(h<0\)の場合、この平均変化率は、変数\(\left( x,y,z\right) \)を点\(\left( a,b,c\right) \)から方向\(-\left( e_{1},e_{2},e_{3}\right) \)へまっすぐ\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かす場合の\(f\left( x,y,z\right) \)の平均的な変化量に相当します。
例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)と実数\(h\not=0\)を選ぶと、点\(\left( a,b\right) \)と点\(\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) \)を結ぶ線分上での\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) -f_{1}\left( a,b\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) -f_{2}\left( a,b\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\left( a+he_{1}\right) ^{2}\left( b+he_{2}\right) -a^{2}b}{h} \\
\frac{\left( a+he_{1}\right) \left( b+he_{2}\right) ^{2}-ab^{2}}{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
e_{2}a^{2}+2e_{2}ahe_{1}+2bae_{1}+e_{2}h^{2}e_{1}^{2}+bhe_{1}^{2} \\
e_{1}b^{2}+2e_{1}bhe_{2}+2abe_{2}+e_{1}h^{2}e_{2}^{2}+ahe_{2}^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)は単位ベクトルです。したがって、例えば、\(\left( e_{1},e_{2}\right)=\left( 1,0\right) \)の場合の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
2ba+bh \\
b^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}となりますが、これは変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left(a,b\right) \)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけ動かした場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率です。また、\(\left(e_{1},e_{2}\right) =\left( 0,1\right) \)の場合の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
a^{2} \\
2ab+ah\end{array}\right)
\end{equation*}となりますが、これは\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(y\)に関してのみ\(h\)だけ動かした場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率です。また、方向ベクトルとして\(v=\left( 1,1\right) \)が与えられたとき、これと同じ向きを持つ単位ベクトルは、\begin{equation*}\left( e_{1},e_{2}\right) =\frac{\left( 1,1\right) }{\left\Vert \left(
1,1\right) \right\Vert }=\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\end{equation*}であるため、この方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)のもとでの平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+\frac{\sqrt{2}}{2}h,b+\frac{\sqrt{2}}{2}h\right) -f\left(
a,b\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sqrt{2}}{2}a^{2}+ah+\sqrt{2}ba+\frac{\sqrt{2}}{4}h^{2}+\frac{1}{2}bh
\\
\frac{\sqrt{2}}{2}b^{2}+bh+\sqrt{2}ab+\frac{\sqrt{2}}{4}h^{2}+\frac{1}{2}ah\end{array}\right)
\end{equation*}となります。

 

方向微分係数

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域上の点\(a\in X\)と方向ベクトル\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選びます。ただし、\(e\)は単位ベクトルです。また、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。点\(a\)と点\(a+he\)を結ぶ線分上での\(f\left(x\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{f_{1}\left( a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\vdots \\
\dfrac{f_{m}\left( a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right) -f_{m}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する変数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f_{1}\left( a_{1}+he_{1},\cdots
,a_{n}+he_{n}\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f_{m}\left( a_{1}+he_{1},\cdots
,a_{n}+he_{n}\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}をとります。この極限は\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まるとは限りませんが、仮に\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まる場合、その極限を\(f\)の\(a\)における\(e\)方向の方向微分係数(directional differential coefficient of \(f\)at \(a\) with respect to \(e\))と呼び、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) ,\quad \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial e},\quad \frac{\partial }{\partial e}f\left( a\right) ,\quad \left.
\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial e}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表します。つまり、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial e} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f_{1}\left( a_{1}+he_{1},\cdots
,a_{n}+he_{n}\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f_{m}\left( a_{1}+he_{1},\cdots
,a_{n}+he_{n}\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right) \\
&\in &\mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}を満たすものとして方向微分係数\(\frac{\partial f\left(a\right) }{\partial e}\)は定義されるということです。方向微分係数\(\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial e}\)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において\(e\)方向に方向微分可能(directional differentiable at \(a\) with respect to \(e\))であると言います。

例(方向微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と点\(\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を結ぶ線分上での\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) -f\left( a,b\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
e_{2}a^{2}+2e_{2}ahe_{1}+2bae_{1}+e_{2}h^{2}e_{1}^{2}+bhe_{1}^{2} \\
e_{1}b^{2}+2e_{1}bhe_{2}+2abe_{2}+e_{1}h^{2}e_{2}^{2}+ahe_{2}^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。ただし、\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)は単位ベクトルです。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) -f\left(
a,b\right) }{h} &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left(
e_{2}a^{2}+2e_{2}ahe_{1}+2bae_{1}+e_{2}h^{2}e_{1}^{2}+bhe_{1}^{2}\right) \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left(
e_{1}b^{2}+2e_{1}bhe_{2}+2abe_{2}+e_{1}h^{2}e_{2}^{2}+ahe_{2}^{2}\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
e_{2}a^{2}+2bae_{1} \\
e_{1}b^{2}+2abe_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルであるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能であり、そこでの方向微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }=\left(
\begin{array}{c}
e_{2}a^{2}+2bae_{1} \\
e_{1}b^{2}+2abe_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。したがって、例えば、点\(\left(a,b\right) \)における\(\left( 1,0\right) \)方向の方向微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial \left( 1,0\right) }=\left(
\begin{array}{c}
2ba \\
b^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、これは点\(\left(a,b\right) \)における変数\(x\)に関する偏微分係数\(\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x}\)と一致します。また、点\(\left( a,b\right) \)における\(\left( 0,1\right) \)方向の方向微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial \left( 0,1\right) }=\left(
\begin{array}{c}
a^{2} \\
2ab\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、これは点\(\left(a,b\right) \)における変数\(y\)に関する偏微分係数\(\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial y}\)と一致します。また、点\(\left( a,b\right) \)における\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)方向の方向微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) }=\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sqrt{2}}{2}a^{2}+\sqrt{2}ba \\
\frac{\sqrt{2}}{2}b^{2}+\sqrt{2}ab\end{array}\right)
\end{equation*}です。

 

多変数のベクトル値関数の方向微分可能性と成分関数の方向微分可能性の関係

定義より、多変数のベクトル値関数の方向微分可能性と成分関数の方向微分可能性の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(多変数のベクトル値関数の方向微分可能性と成分関数の方向微分可能性の関係)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域上の点\(a\in X\)および方向ベクトル\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が点\(a\)において\(e\)方向に方向微分可能であることと、\(f\)が点\(a\)において\(e\)方向に方向微分可能であることは必要十分であるとともに、それらの方向微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial e}=\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial e} \\
\vdots \\
\dfrac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial e}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の命題より、多変数のベクトル値関数の方向微分可能性に関する議論を多変数関数である成分関数の方向微分可能性に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

例(方向微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( x+xy\right) \\
\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)任意に選んだとき、成分関数\begin{equation*}f_{1}\left( x,y\right) =\sin \left( x+xy\right)
\end{equation*}の点\(\left( a,b\right) \)における\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)方向の方向微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f_{1}\left( a,b\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }
&=&\left. \frac{d}{dh}f_{1}\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) \right\vert
_{h=0}\quad \because \text{方向微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dh}\sin \left( \left( a+he_{1}\right) +\left(
a+he_{1}\right) \left( b+he_{2}\right) \right) \right\vert _{h=0}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \cos \left( \left( a+he_{1}\right) +\left( a+he_{1}\right) \left(
b+he_{2}\right) \right) \left[ e_{1}+e_{1}\left( b+he_{2}\right) +\left(
a+he_{1}\right) e_{2}\right] \right\vert _{h=0}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left( e_{1}+e_{1}b+ae_{2}\right) \cos \left( a+ab\right)
\end{eqnarray*}となります。また、成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left( x,y\right) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}の点\(\left( a,b\right) \)における\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)方向の方向微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f_{2}\left( a,b\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }
&=&\left. \frac{d}{dh}f_{2}\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) \right\vert
_{h=0}\quad \because \text{方向微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dh}\left( \frac{1}{\left( a+he_{1}\right) ^{2}+\left(
b+he_{2}\right) ^{2}+1}\right) \right\vert _{h=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{-\left[ \left( a+he_{1}\right) ^{2}+\left( b+he_{2}\right)
^{2}+1\right] ^{\prime }}{\left[ \left( a+he_{1}\right) ^{2}+\left(
b+he_{2}\right) ^{2}+1\right] ^{2}}\right\vert _{h=0}\quad \because \text{商の微分} \\
&=&\left. \frac{-\left[ 2\left( a+he_{1}\right) e_{1}+2\left(
b+he_{2}\right) e_{2}\right] }{\left[ \left( a+he_{1}\right) ^{2}+\left(
b+he_{2}\right) ^{2}+1\right] ^{2}}\right\vert _{h=0} \\
&=&\frac{-\left( 2ae_{1}+2be_{2}\right) }{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。したがって、点\(\left( a,b\right) \)におけるもとの関数\(f\)の\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)方向の方向微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }=\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{1}\left( a,b\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }
\\
\frac{\partial f_{2}\left( a,b\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( e_{1}+e_{1}b+ae_{2}\right) \cos \left( a+ab\right) \\
\frac{-\left( 2ae_{1}+2be_{2}\right) }{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}です。

先の命題は、多変数のベクトル値関数が方向微分可能ではないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が点\(a\)において\(e\)方向に方向微分可能ではない場合、もとの多変数のベクトル値関数もまた点\(a\)において\(e\)方向に方向微分可能ではありません。

例(方向微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert +y \\
\left\vert y\right\vert +x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\begin{equation*}
f_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x\right\vert +y
\end{equation*}は点\(\left( 0,0\right) \)において\(\left(1,0\right) \)方向に方向微分可能ではありません。実際、点\(\left( 0,0\right) \)における\(\left( 1,0\right) \)方向に関する平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f_{1}\left( 0+h,0\right) -f_{1}\left( 0,0\right) }{h}=\frac{\left\vert
h\right\vert }{h}
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{1}\left( 0+h,0\right) -f_{1}\left( 0,0\right)
}{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=1 \\
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{1}\left( 0+h,0\right) -f_{1}\left( 0,0\right)
}{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=-1
\end{eqnarray*}となり、両者は異なるからです。したがって、もとの関数\(f\)もまた点\(\left( 0,0\right) \)において\(\left( 1,0\right) \)方向に方向微分可能ではありません。

 

方向微分な点の候補に関する留意点

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の点\(a\in X\)における方向微分可能性を定義する際に、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。

関数\(f\)の点\(a\)における\(e\)方向への方向微分係数は以下の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}として定義されます。この極限が存在することとは、平均変化率\(\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなしたとき、\(h\)がどのような経路で\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\)が必ず1つのベクトルへ限りなく近づくことを意味します。ただ、そもそも以上の検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合にも、その経路上の任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があります。言い換えると、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があるということです。関数\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(f\left( a+he\right) \)が定義されていることになるため、そのような任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されていることになります。したがってこの場合、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( a+he\right)-f\left( a\right) }{h}\)が特定のベクトルへ収束するか検討できます。

 

多変数のベクトル値関数は方向微分可能であるとは限らない

多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(f\left( a\right) \)が定義されていない場合には平均変化率に\(\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されないため、この場合には\(f\)が点\(a\)において方向微分可能であるか検討できず、したがって\(f\)は点\(a\)において方向微分可能ではありません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(a\)において方向微分可能ではないということです。

例(方向微分可能ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0,0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0,0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \\
\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されていないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)においていかなる方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)についても方向微分可能ではありません。

関数\(f\)が点\(a\)において定義されている一方で、点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとは言えない場合には、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)について\(f\left( a+he\right) \)が定義されているとは言えません。すると、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において平均変化率\(f\left(a+he\right) \)が定義されているとも言えず、この場合には\(f\)が点\(a\)において方向微分可能であるか検討できないため、\(f\)は点\(a\)において方向微分可能ではありません。

例(方向微分可能ではない関数)
有界な閉区間の直積上に定義された関数\(f:\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられたとき、定義域上の点\(\left( 0,0\right) \)における方向\(\left( 1,0\right) \)に関する平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\frac{f\left( h,0\right)
-f\left( 0,0\right) }{h}
\end{equation*}をとります。\(f\left( h,0\right) \)は\(h<0\)を満たす任意の\(h\)において定義されておらず、したがって平均変化率\(\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left(0,0\right) }{h}\)もまた\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)において定義されていません。この場合、\(h\)が\(0\)より小さい値をとりながら\(0\)へ限りなく近づく場合の\(\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left(0,0\right) }{h}\)の挙動を調べられないため、\(h\rightarrow 0\)の場合に\(\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルへ収束するか検討できません。したがって\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において方向\(\left(1,0\right) \)に関して方向微分可能ではありません。

関数\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合においても、\(f\)は点\(a\)において方向微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(方向微分可能ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert +y \\
\left\vert y\right\vert +x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)およびその周辺の任意の点において定義されている一方で、先に示したように\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において\(\left(1,0\right) \)方向に方向微分可能ではありません。

 

方向微分係数の一意性

多変数のベクトル値関数\(f\)の点\(a\)における\(e\)方向への方向微分係数\(\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial e}\)は、平均変化率\(\frac{f\left( a+he\right) -f\left(a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした上での\(h\rightarrow 0\)の場合の極限として定義されます。一般に、ベクトル値関数が収束する場合にはそこでの極限が1つのベクトルとして定まるため、ベクトル値関数の極限として定義される方向微分係数もまた1つのベクトルとして定まります。

命題(方向微分係数の一意性)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in X\)において\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)方向に方向微分可能であるとき、方向微分係数\(\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial e}\in \mathbb{R} ^{m}\)は1つのベクトルとして定まる。

 

方向導関数

繰り返しになりますが、多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において\(e\)方向に方向微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、点\(a\)における方向微分係数に相当するベクトル\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial e}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように方向微分係数は常に1つのベクトルとして定まります。以上を踏まえると、\(f\)が\(e\)方向に方向微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの\(e\)方向の偏微分係数\(\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial e}\in \mathbb{R} ^{m}\)を値として定める多変数のベクトル値関数\begin{equation*}\frac{\partial f}{\partial e}:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の\(e\)方向に関する方向導関数(directional derivative of \(f\) with respect to \(e\))と呼び、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( x\right) ,\quad \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial e},\quad \frac{\partial }{\partial e}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、多変数のベクトル値関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において\(e\)方向に方向微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が\(e\)方向に方向微分可能ではない点が存在する場合、\(e\)方向の方向微分係数\(\frac{\partial f}{\partial e}\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の方向微分係数\(\frac{\partial f}{\partial e}\)は、もとの関数\(f\)が\(e\)方向に方向微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と\(e\)方向の方向関数\(\frac{\partial f}{\partial e}\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において\(e\)方向に方向微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で\(e\)方向に方向微分