偏微分可能な多変数のベクトル値関数は連続であるとは限らない
1変数関数は微分可能な点において連続であることが保証されますが、多変数のベクトル値関数に関しても同様の主張は成り立つのでしょうか。多変数のベクトル値関数の微分可能性として偏微分という概念を導入しましたが、多変数のベクトル値関数は偏微分可能な点において連続であることが保証されるのでしょうか。
まずは偏微分可能かつ連続な多変数のベクトル値関数の例を挙げます。
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の単項式関数を成分関数として持つ多変数のベクトル値関数であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。同時に、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、ヤコビ行列関数\(J_{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow M_{2}\left( \mathbb{R} \right) \)はそれぞれの\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}J_{f}\left( x,y\right) &=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( x,y\right) }{\partial x} & \frac{\partial
f_{1}\left( x,y\right) }{\partial y} \\
\frac{\partial f_{2}\left( x,y\right) }{\partial x} & \frac{\partial
f_{2}\left( x,y\right) }{\partial y}\end{pmatrix}\quad \because \text{ヤコビ行列の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}y\right) & \frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}y\right) \\
\frac{\partial }{\partial x}\left( xy^{2}\right) & \frac{\partial }{\partial y}\left( xy^{2}\right)
\end{pmatrix}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
2xy & x^{2} \\
y^{2} & 2xy\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を定めます。
実際には、偏微分可能な多変数のベクトル値関数は連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} \\
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\end{array}\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において偏微分可能であり、そこでのヤコビ行列は、\begin{eqnarray*}J_{f}\left( 0,0\right) &=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( 0,0\right) }{\partial x} & \frac{\partial
f_{1}\left( 0,0\right) }{\partial y} \\
\frac{\partial f_{2}\left( 0,0\right) }{\partial x} & \frac{\partial
f_{2}\left( 0,0\right) }{\partial y}\end{pmatrix}\quad \because \text{ヤコビ行列の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( h,0\right) -f_{1}\left(
0,0\right) }{h} & \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( 0,h\right)
-f_{1}\left( 0,0\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{2}\left( h,0\right) -f_{2}\left(
0,0\right) }{h} & \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{2}\left( 0,h\right)
-f_{2}\left( 0,h\right) }{h}\end{pmatrix}\quad \because \text{偏微分の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left( \frac{h0}{h^{2}+0^{2}}-0\right) & \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left( \frac{0h}{h^{2}+0^{2}}-0\right) \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left( \frac{h0}{h^{2}+0^{2}}-0\right) & \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left( \frac{0h}{h^{2}+0^{2}}-0\right)
\end{pmatrix}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}0 & \lim\limits_{h\rightarrow 0}0 \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}0 & \lim\limits_{h\rightarrow 0}0\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}です。その一方で、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。実際、\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}である一方で、変数\(\left( x,y\right) \)が以下の集合\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら\(\left( 0,0\right) \)へ限りなく近づく場合、\begin{eqnarray*}\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) &\Leftrightarrow &\left(
x,x\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \quad \because x=y \\
&\Leftrightarrow &x\rightarrow 0
\end{eqnarray*}であることに留意すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left(
\begin{array}{c}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} \\
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\end{array}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} \\
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}}{x^{2}+x^{2}} \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}}{x^{2}+x^{2}}\end{array}\right) \quad \because x=y \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2} \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
\frac{1}{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( 0,0\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではないことが明らかになりました。
上の例が示唆するように、多変数のベクトル値関数\(f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)が定義域上の点において偏微分可能である場合、\(f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)はその点において連続であるとは限りません。偏微分は多変数のベクトル値関数\(f\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)をあたかも特定の変数\(x_{k}\)に関する1変数関数とみなした上で\(x_{k}\)を動かした場合の\(f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)の挙動に関する性質である一方で、多変数のベクトル値関数\(f\left( x_{1},\cdots,x_{n}\right) \)の連続性はすべての変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を同時かつ任意に動かした場合の\(f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)の挙動に関する性質であるため、偏微分可能性は連続性を必ずしも含意しません。したがって、多変数のベクトル値関数\(f\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)に関して微分可能性から連続性を導くためには、偏微分とは異なる微分概念、すなわちすべての変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を同時かつ任意に動かす状況を想定した微分概念が必要です。これを全微分と呼びますが、全微分に関しては場を改めて解説します。
偏微分可能な多変数ベクトル値関数から生成される1変数ベクトル値関数の連続性
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、その定義域\(X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)がとり得る値からなる集合を\(X_{k}\)で表記します。つまり、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}x\in X\Leftrightarrow x_{k}\in X_{k}
\end{equation*}を満たすものとして\(X_{k}\subset \mathbb{R} \)を定義するということです。変数\(x_{k}\)以外のすべての変数からなる組を、\begin{equation*}x_{-k}=\left( x_{1},\cdots ,x_{k-1},x_{k+1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、\(x_{-k}\)がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}X_{-k}=X_{1}\times \cdots X_{k-1}\times X_{k+1}\times \cdots X_{n}
\end{equation*}で表記します。\(x_{-k}\in X_{-k}\)です。このとき、\begin{equation*}x=\left( x_{k},x_{-k}\right) \in X_{k}\times X_{-k}=X
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能な点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \in X\)を任意に選びます。この場合、点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数に相当するベクトル\begin{equation}\frac{\partial f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{k}+h,a_{-k}\right) -f\left(
a_{k},a_{-k}\right) }{h}\in \mathbb{R} ^{m} \quad \cdots (1)
\end{equation}が存在します。以上の点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)を念頭においた上で、それぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定める変数\(x_{k}\)に関する1変数のベクトル値関数\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) :\mathbb{R} \supset X_{k}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義すると、偏微分と微分の関係より、この1変数のベクトル値関数\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)の点\(a_{k}\)における微分係数について、\begin{equation*}\left. \frac{df\left( x_{k},a_{-k}\right) }{dx_{k}}\right\vert
_{x_{k}=a_{k}}=\frac{\partial f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合、1変数のベクトル値関数\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)は点\(a_{k}\)において微分可能であるとともに、点\(\left(a_{k},a_{-k}\right) \)における\(f\)の偏微分係数（右辺）と点\(a_{k}\)における\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)の微分係数（左辺）は一致するということです。1変数のベクトル値関数は微分可能な点において連続であるため、この場合、1変数のベクトル値関数である\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)は点\(a_{k}\)において連続です。
\end{equation*}を定める1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f\left( x_{k},a_{-k}\right) :\mathbb{R} \supset X_{k}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義する。多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるならば、1変数のベクトル値関数\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)は点\(a_{k}\)において連続である。
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} \\
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\end{array}\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この多変数ベクトル値関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において偏微分可能である一方で不連続です。以上の点\(\left(0,0\right) \)を念頭においた上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\left( x,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を値として定める1変数ベクトル値関数\begin{equation*}f\left( x,0\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定義すると、先の命題より、この関数\(f\left( x,0\right) \)は点\(0\)において連続であるはずです。実際、\(f\)の定義より、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,0\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
\frac{x0}{x^{2}+0^{2}} \\
\frac{x0}{x^{2}+0^{2}}\end{array}\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x,0\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となるため\(f\left( x,0\right) \)は定数値関数であり、したがって点\(0\)において連続です。また、それぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して\(f\left( 0,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を値として定める1変数ベクトル関数\begin{equation*}f\left( 0,y\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定義すると、先の考察より、この関数\(f\left( 0,y\right) \)は点\(0\)において連続であるはずです。実際、\(f\)の定義より、任意の\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( 0,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
\frac{0y}{0^{2}+y^{2}} \\
\frac{0y}{0^{2}+y^{2}}\end{array}\right) & \left( if\ y\not=0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ y=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( 0,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となるため\(f\left( 0,y\right) \)は定数値関数であり、したがって点\(0\)において連続です。
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