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多変数ベクトル値関数の微分

ヤコビ行列

目次

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ヤコビ行列

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)においてすべての変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能である場合には、すなわち、点\(a\)においてそれぞれの変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}=\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\dfrac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まる場合には、以下の行列\begin{equation*}\left( \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\right) =\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{n}}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が存在します。これを\(f\)の\(a\)におけるヤコビ行列(Jacobian matrix at \(a\))と呼び、\begin{equation*}J_{f}\left( a\right) ,\quad Df\left( a\right) ,\quad \frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x}
\end{equation*}などで表記します。また、点\(a\)におけるヤコビ行列\(J_{f}\left( a\right) \)が存在する場合には、すなわち多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(a\)においてすべての変数について偏微分可能である場合には、\(f\)は\(a\)において偏微分可能である(partially differentiable at \(a\))と言います。

1変数関数の微分係数がその関数の接線の傾きに相当するように、多変数のベクトル値関数のヤコビ行列もまた幾何学的な解釈が可能ですが、詳細は全微分と呼ばれる微分概念について学んだ後に解説します。

例(ヤコビ行列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が点\(\left( a,b\right) \in X\)において偏微分可能である場合、点\(\left( a,b\right) \)におけるヤコビ行列は、\begin{eqnarray*}J_{f}\left( a,b\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x_{1}},\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x_{2}}\right)
\\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( a,b\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial
f_{1}\left( a,b\right) }{\partial x_{1}} \\
\frac{\partial f_{2}\left( a,b\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial
f_{2}\left( a,b\right) }{\partial x_{2}}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と定義されます。

例(ヤコビ行列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)の点\(\left( a,b,c\right) \in X\)において偏微分可能である場合、点\(\left( a,b,c\right) \)におけるヤコビ行列は、\begin{eqnarray*}J_{f}\left( a,b,c\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial x_{1}},\frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial x_{2}},\frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial x_{3}}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( a,b,c\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial
f_{1}\left( a,b,c\right) }{\partial x_{2}} & \frac{\partial f_{1}\left(
a,b,c\right) }{\partial x_{3}} \\
\frac{\partial f_{2}\left( a,b,c\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial
f_{2}\left( a,b,c\right) }{\partial x_{2}} & \frac{\partial f_{2}\left(
a,b,c\right) }{\partial x_{3}} \\
\frac{\partial f_{3}\left( a,b,c\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial
f_{3}\left( a,b,c\right) }{\partial x_{2}} & \frac{\partial f_{3}\left(
a,b,c\right) }{\partial x_{3}}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と定義されます。

例(ヤコビ行列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において偏微分可能であり、そこでのヤコビ行列は、\begin{eqnarray*}J_{f}\left( a,b\right) &=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( a,b\right) }{\partial x} & \frac{\partial
f_{1}\left( a,b\right) }{\partial y} \\
\frac{\partial f_{2}\left( a,b\right) }{\partial x} & \frac{\partial
f_{2}\left( a,b\right) }{\partial y}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\left. \frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}y\right) \right\vert _{\left(
x,y\right) =\left( a,b\right) } & \left. \frac{\partial }{\partial y}\left(
x^{2}y\right) \right\vert _{\left( x,y\right) =\left( a,b\right) } \\
\left. \frac{\partial }{\partial x}\left( xy^{2}\right) \right\vert _{\left(
x,y\right) =\left( a,b\right) } & \left. \frac{\partial }{\partial y}\left(
xy^{2}\right) \right\vert _{\left( x,y\right) =\left( a,b\right) }\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\left. 2xy\right\vert _{\left( x,y\right) =\left( a,b\right) } & \left.
x^{2}\right\vert _{\left( x,y\right) =\left( a,b\right) } \\
\left. y^{2}\right\vert _{\left( x,y\right) =\left( a,b\right) } & \left.
2xy\right\vert _{\left( x,y\right) =\left( a,b\right) }\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
2ab & a^{2} \\
b^{2} & 2ab\end{pmatrix}\end{eqnarray*}です。したがって、例えば、点\(\left( 1,1\right) \)におけるヤコビ行列は、\begin{equation*}J_{f}\left( 1,1\right) =\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}であり、点\(\left( -1,2\right) \)におけるヤコビ行列は、\begin{equation*}J_{f}\left( -1,2\right) =\begin{pmatrix}
-4 & 1 \\
4 & -4\end{pmatrix}\end{equation*}です。

 

ヤコビ行列関数

繰り返しになりますが、多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において偏微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)において任意の変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)について偏微分可能であることを意味し、このとき、点\(a\)におけるヤコビ行列\begin{equation*}J_{f}\left( a\right) =\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{n}}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が存在します。ヤコビ行列が存在する場合には\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の1つの行列として定まるため、\(f\)が偏微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでのヤコビ行列\(J_{f}\left( x\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を値として定める多変数の行列値関数\begin{equation*}J_{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)のヤコビ行列関数(Jacobian matrix function)と呼び、\begin{equation*}J_{f}\left( x\right) ,\quad Df\left( x\right) ,\quad \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x}
\end{equation*}などで表記します。

一般に、多変数のベクトル値関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において偏微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が偏微分可能ではない点が存在する場合、すなわち、\(X\)の少なくとも1つの点において少なくとも1つの変数について\(f\)が偏微分可能ではない場合、ヤコビ行列関数\(J_{f}\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。多変数のベクトル値関数\(f\)のヤコビ行列関数\(J_{f}\)は、もとの関数\(f\)が偏微分可能な点においてのみ定義される多変数の行列値関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)とヤコビ行列関数\(J_{f}\)の定義域が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において偏微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で偏微分可能(partially differentiable)と言います。また、関数\(f\)のヤコビ行列関数\(J_{f}\)を求めることを\(f\)を偏微分する(partial differentiable)と言います。

例(ヤコビ行列関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が偏微分可能である場合、ヤコビ行列関数\(J_{f}:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow M_{2}\left( \mathbb{R} \right) \)はそれぞれの\(\left( x,y\right)\in X\)に対して、\begin{equation*}J_{f}\left( x,y\right) =\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( x,y\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial
f_{1}\left( x,y\right) }{\partial x_{1}} \\
\frac{\partial f_{2}\left( x,y\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial
f_{2}\left( x,y\right) }{\partial x_{2}}\end{pmatrix}\end{equation*}を定めます。

例(ヤコビ行列関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)が偏微分可能である場合、ヤコビ行列関数\(J_{f}:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow M_{3}\left( \mathbb{R} \right) \)はそれぞれの\(\left(x,y,z\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}J_{f}\left( x,y,z\right) =\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( x,y,z\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial
f_{1}\left( x,y,z\right) }{\partial x_{2}} & \frac{\partial f_{1}\left(
x,y,z\right) }{\partial x_{3}} \\
\frac{\partial f_{2}\left( x,y,z\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial
f_{2}\left( x,y,z\right) }{\partial x_{2}} & \frac{\partial f_{2}\left(
x,y,z\right) }{\partial x_{3}} \\
\frac{\partial f_{3}\left( x,y,z\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial
f_{3}\left( x,y,z\right) }{\partial x_{2}} & \frac{\partial f_{3}\left(
x,y,z\right) }{\partial x_{3}}\end{pmatrix}\end{equation*}を定めます。

例(ヤコビ行列関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は偏微分可能であり、ヤコビ行列関数\(J_{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow M_{2}\left( \mathbb{R} \right) \)はそれぞれの\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}J_{f}\left( x,y\right) &=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( x,y\right) }{\partial x} & \frac{\partial
f_{1}\left( x,y\right) }{\partial y} \\
\frac{\partial f_{2}\left( x,y\right) }{\partial x} & \frac{\partial
f_{2}\left( x,y\right) }{\partial y}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}y\right) & \frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}y\right) \\
\frac{\partial }{\partial x}\left( xy^{2}\right) & \frac{\partial }{\partial y}\left( xy^{2}\right)
\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
2xy & x^{2} \\
y^{2} & 2xy\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(ヤコビ行列関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
3x^{2}y \\
5x+y^{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ヤコビ行列関数\(J_{f}\)を求めてください。
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問題(ヤコビ行列関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
e^{x}+\sin \left( y\right) \\
\ln \left( xy\right) \\
\sqrt{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ヤコビ行列関数\(J_{f}\)を求めてください。
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問題(ヤコビ行列関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert +y \\
\left\vert y\right\vert +x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ヤコビ行列関数\(J_{f}\)を求めてください。
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