多変数ベクトル値関数の偏微分の定義（ベクトル場の偏微分）

多変数ベクトル値関数関数の特定の変数に関する平均変化率

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルを値としてとる多変数のベクトル値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(f\)が定義域の要素であるそれぞれのベクトル\(x\in X\)に対して定める値は、以下のようなベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。\(f\)の定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。例えば、\(a\)が\(X\)の内点であればそのような条件が満たされます。このような点を議論の対象とする理由については後述します。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の変数\(x\)を点\(a\in X\)から特定の変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots,a_{n}\right) \)まで変化します。このとき、\(f\left( x\right) \)の変化量と\(x_{k}\)の変化量の比に相当する\begin{equation*}\frac{f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right)
-f\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots
,a_{n}\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\dfrac{f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots
,a_{n}\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}を、変数\(x\)を点\(a\)から変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\)だけ動かしたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率（average rate of change）と呼びます。ちなみに、\begin{eqnarray*}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) &=&\left(
a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k},a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) +\left( 0,\cdots
,0,h,0,\cdots ,0\right) \\
&=&\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k},a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) +h\left(
0,\cdots ,0,1,0,\cdots ,0\right) \\
&=&a+he_{k}
\end{eqnarray*}という変形が可能であることを踏まえると、先の平均変化率を、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{f_{1}\left( a+he_{k}\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\dfrac{f_{m}\left( a+he_{k}\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}とシンプルに表現することもできます。ただし、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトルです。

偏微分係数

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域上の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\)だけ動かしたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right)
-f\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots
,a_{n}\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\dfrac{f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots
,a_{n}\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する1変数関数のベクトル値関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f_{1}\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f_{m}\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}をとります。この極限は\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まるとは限りませんが、仮に\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まる場合、その極限を\(f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数（partial differential coefficient at \(a\) with respect to \(x_{k}\)）と呼び、\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) ,\quad \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}},\quad \frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( a\right)
,\quad \left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right)
-f\left( a\right) }{h} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f_{1}\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f_{m}\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right) \\
&\in &\mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}を満たすものとして偏微分係数\(\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}\)は定義されるということです。偏微分係数\(\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}\)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能（partial differentiable at \(a\) with respect to \(x_{k}\)）であると言います。

多変数のベクトル値関数の偏微分可能性と成分関数の偏微分可能性の関係

定義より、多変数のベクトル値関数の偏微分可能性と成分可能性の偏微分可能性の間には以下の関係が成り立ちます。

以上の命題より、多変数のベクトル値関数の偏微分可能性に関する議論を多変数関数である成分関数の偏微分可能性に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

先の命題は、多変数のベクトル値関数が偏微分可能ではないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能ではない場合、もとの多変数のベクトル値関数もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能ではありません。

偏微分可能な点の候補に関する留意点

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の点\(a\in X\)における偏微分可能性を定義する際に、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。

関数\(f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数は以下の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}として定義されます。この極限が存在することとは、平均変化率\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する1変数のベクトル値関数とみなしたとき、\(h\)がどのような経路で\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)が必ず\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ限りなく近づくことを意味します。ただ、そもそも以上の検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合にも、その経路上の任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があります。言い換えると、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があるということです。関数\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(f\left( a+he_{k}\right) \)が定義されていることになるため、そのような任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されていることになります。したがってこの場合、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left(a\right) }{h}\)が収束するか検討できます。

多変数のベクトル値関数は偏微分可能であるとは限らない

多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(f\left( a\right) \)が定義されていない場合には平均変化率\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されないため、この場合には\(f\)が点\(a\)において偏微分可能であるか検討できず、したがって\(f\)は点\(a\)において偏微分可能ではありません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(a\)において偏微分可能ではないということです。

関数\(f\)が点\(a\)において定義されている一方で、点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとは言えない場合には、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)について\(f\left( a+he_{k}\right) \)が定義されているとは言えません。すると、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において平均変化率\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されているとも言えず、この場合には\(f\)が点\(a\)において偏微分可能であるか検討できないため、\(f\)は点\(a\)において偏微分可能ではありません。

関数\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合においても、\(f\)は点\(a\)において偏微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

偏微分係数の一意性

多変数のベクトル値関数\(f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\(f_{x_{k}}\left( a\right) \)は、平均変化率\(\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left(a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する1変数のベクトル値関数とみなした上で\(h\rightarrow 0\)とした場合の極限として定義されます。一般に、1変数のベクトル値関数が収束する場合にはそこでの極限が1つのベクトルとして定まるため、1変数のベクトル値関数の極限として定義される偏微分係数もまた1つのベクトルとして定まります。

偏導関数

繰り返しになりますが、多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、点\(a\)における偏微分係数に相当するベクトル\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように偏微分係数は常に1つのベクトルとして定まります。以上を踏まえると、\(f\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\(\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}\in \mathbb{R} ^{m}\)を値として定める多変数のベクトル値関数\begin{equation*}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の変数\(x_{k}\)に関する偏導関数（partial derivative with respect to \(x_{k}\)）と呼び、\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( x\right) ,\quad \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}},\quad \frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、多変数のベクトル値関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能ではない点が存在する場合、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\)は、もとの関数\(f\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において変数\(x_{k}\)について偏微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で\(x_{k}\)に関して偏微分可能（partial differential with respect to \(x_{k}\)on \(X\)）であるとか変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能（partial differentiate with respect to \(x_{k}\)）であるなどと言います。

多変数のベクトル値関数\(f\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることと、そのすべての成分関数\(f_{i}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることは必要十分であるため、すべての成分関数\(f_{i}\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点がそのまま多変数のベクトル値関数\(f\)が変数\(x_{k}\)に関して微分可能な点になります。つまり、すべての成分関数\(f_{i}\)の導関数\(\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{k}}\)の定義域の共通部分をとれば多変数ベクトル値関数\(f\)の導関数\(\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\)の定義域が得られます。

演習問題