多変数ベクトル値関数関数の特定の変数に関する平均変化率
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルを値としてとる多変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する多変数関数です。\(\boldsymbol{f}\)の定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \subset X
\end{equation*}です。ただし、\(N_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{a}\right) \)は中心が\(\boldsymbol{a}\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍です。このような点を議論の対象とする理由については後述します。
関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\in X\)から特定の変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値は\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) \)から\(\boldsymbol{f}\left( a_{1},\cdots,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) \)まで変化します。このとき、\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の変化量と\(x_{k}\)の変化量の比に相当する\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots
,a_{n}\right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right)
-f_{1}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h} \\
\vdots \\
\frac{f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right)
-f_{m}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}を、変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\)だけ動かしたときの\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の平均変化率（average rate of change）と呼びます。ちなみに、\begin{eqnarray*}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) &=&\left(
a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k},a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) +\left( 0,\cdots
,0,h,0,\cdots ,0\right) \\
&=&\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k},a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) +h\left(
0,\cdots ,0,1,0,\cdots ,0\right) \\
&=&\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}
\end{eqnarray*}という変形が可能であることを踏まえると、先の平均変化率を、\begin{equation*}
\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f_{1}\left(
\boldsymbol{a}\right) }{h} \\
\vdots \\
\frac{f_{m}\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f_{m}\left(
\boldsymbol{a}\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}とシンプルに表現することもできます。ただし、\(\boldsymbol{e}_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトルです。
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+h,b\right) -f_{1}\left( a,b\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a+h,b\right) -f_{2}\left( a,b\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}であり、変数\(y\)に関する平均変化率は、\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a,b+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a,b\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a,b+h\right) -f_{1}\left( a,b\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a,b+h\right) -f_{2}\left( a,b\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}です。
}{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+h,b,c\right) -f_{1}\left( a,b,c\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a+h,b,c\right) -f_{2}\left( a,b,c\right) }{h} \\
\frac{f_{3}\left( a+h,b,c\right) -f_{3}\left( a,b,c\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}であり、変数\(y\)に関する平均変化率は、\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a,b+h,c\right) -\boldsymbol{f}\left( a,b,c\right)
}{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a,b+h,c\right) -f_{1}\left( a,b,c\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a,b+h,c\right) -f_{2}\left( a,b,c\right) }{h} \\
\frac{f_{3}\left( a,b+h,c\right) -f_{3}\left( a,b,c\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}であり、変数\(z\)に関する平均変化率は、\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a,b,c+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a,b,c\right)
}{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a,b,c+h\right) -f_{1}\left( a,b,c\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a,b,c+h\right) -f_{2}\left( a,b,c\right) }{h} \\
\frac{f_{3}\left( a,b,c+h\right) -f_{3}\left( a,b,c\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、変数\(x\)に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h,b\right) -\boldsymbol{f}\left( a,b\right) }{h}
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+h,b\right) -f_{1}\left( a,b\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a+h,b\right) -f_{2}\left( a,b\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\left( a+h\right) ^{2}b-a^{2}b}{h} \\
\frac{\left( a+h\right) b^{2}-ab^{2}}{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2ab+bh \\
b^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、変数\(y\)に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a,b+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a,b\right) }{h}
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a,b+h\right) -f_{1}\left( a,b\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a,b+h\right) -f_{2}\left( a,b\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{a^{2}\left( b+h\right) -a^{2}b}{h} \\
\frac{a\left( b+h\right) ^{2}-ab^{2}}{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a^{2} \\
2ab+ah\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。したがって、例えば、点\(\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの変数に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{f}\left( 1+h,1\right) -\boldsymbol{f}\left( 1,1\right) }{h}
&=&\left(
\begin{array}{c}
2+h \\
1\end{array}\right) \\
\frac{\boldsymbol{f}\left( 1,1+h\right) -\boldsymbol{f}\left( 1,1\right) }{h}
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2+h\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(\left( -1,2\right) \)におけるそれぞれの変数に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{f}\left( -1+h,2\right) -\boldsymbol{f}\left( -1,2\right) }{h} &=&\left(
\begin{array}{c}
-4+2h \\
4\end{array}\right) \\
\frac{\boldsymbol{f}\left( -1,2+h\right) -\boldsymbol{f}\left( -1,2\right) }{h} &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-4-h\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。
偏微分係数
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)を任意に選びます。関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\)だけ動かしたときの\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots
,a_{n}\right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right)
-f_{1}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h} \\
\vdots \\
\frac{f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right)
-f_{m}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する1変数関数のベクトル値関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{a}\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f_{1}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{m}\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f_{m}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}をとります。この極限は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の有限なベクトルとして定まるとは限りませんが、仮に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の有限なベクトルとして定まる場合、その極限を\(\boldsymbol{f}\)の点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数（partial differential coefficient at \(\boldsymbol{a}\) with respect to \(x_{k}\)）と呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{x_{k}}^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) ,\quad \frac{\partial \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}},\quad
\frac{\partial }{\partial x_{k}}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right)
,\quad \left. \frac{\partial \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{a}\right) }{h} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f_{1}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{m}\left( a_{1},\cdots
,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f_{m}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\end{array}\right) \\
&\in &\mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}を満たすものとして偏微分係数\(\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\)は定義されるということです。偏微分係数\(\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\)が存在する場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能（partial differentiable at \(\boldsymbol{a}\)with respect to \(x_{k}\)）であると言います。
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a+h,b\right) -f_{1}\left(
a,b\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{2}\left( a+h,b\right) -f_{2}\left(
a,b\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}であり、変数\(y\)に関する偏微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( a,b\right) }{\partial y}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a,b+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a,b\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a,b+h\right) -f_{1}\left(
a,b\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{2}\left( a,b+h\right) -f_{2}\left(
a,b\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a+h,b,c\right) -f_{1}\left(
a,b,c\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{2}\left( a+h,b,c\right) -f_{2}\left(
a,b,c\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{3}\left( a+h,b,c\right) -f_{3}\left(
a,b,c\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}であり、変数\(y\)に関する偏微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( a,b,c\right) }{\partial y}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a,b+h,c\right) -\boldsymbol{f}\left( a,b,c\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a,b+h,c\right) -f_{1}\left(
a,b,c\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{2}\left( a,b+h,c\right) -f_{2}\left(
a,b,c\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{3}\left( a,b+h,c\right) -f_{3}\left(
a,b,c\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}であり、変数\(z\)に関する偏微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( a,b,c\right) }{\partial z}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a,b,c+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a,b,c\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a,b,c+h\right) -f_{1}\left(
a,b,c\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{2}\left( a,b,c+h\right) -f_{2}\left(
a,b,c\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{3}\left( a,b,c+h\right) -f_{3}\left(
a,b,c\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)における変数\(x\)に関する平均変化率は、\begin{equation}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h,b\right) -\boldsymbol{f}\left( a,b\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
2ab+bh \\
b^{2}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)の場合の極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h,b\right) -\boldsymbol{f}\left( a,b\right) }{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\left(
\begin{array}{c}
2ab+bh \\
b^{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left( 2ab+bh\right) \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}b^{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2ab \\
b^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限なベクトルであるため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( a,b\right) }{\partial x}=\left(
\begin{array}{c}
2ab \\
b^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。やはり先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \)における変数\(y\)に関する平均変化率は、\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a,b+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a,b\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
a^{2} \\
2ab+ah\end{array}\right)
\end{equation*}です。\(h\rightarrow 0\)の場合の極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a,b+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a,b\right) }{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\left(
\begin{array}{c}
a^{2} \\
2ab+ah\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}a^{2} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left( 2ab+ah\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a^{2} \\
2ab\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限なベクトルであるため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(y\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( a,b\right) }{\partial y}=\left(
\begin{array}{c}
a^{2} \\
2ab\end{array}\right)
\end{equation*}となります。以上を踏まえると、例えば、点\(\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( 1,1\right) }{\partial x} &=&\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1\end{array}\right) \\
\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( 1,1\right) }{\partial y} &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(\left( -1,2\right) \)におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( -1,2\right) }{\partial x} &=&\left(
\begin{array}{c}
-4 \\
4\end{array}\right) \\
\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( -1,2\right) }{\partial y} &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-4\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。
多変数のベクトル値関数の偏微分可能性と成分関数の偏微分可能性の関係
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の偏微分可能性と、\(\boldsymbol{f}\)の成分関数である多変数の実数値関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)の偏微分可能性の間には以下の関係が成り立ちます。
\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{1}\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\frac{\partial f_{m}\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題より、多変数のベクトル値関数の偏微分可能性に関する議論を多変数関数である成分関数の偏微分可能性に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。
\begin{array}{c}
x^{2}y+z \\
\frac{yz}{1+x^{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b,c\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、点\(\left( a,b,c\right) \)における成分関数\begin{equation*}f_{1}\left( x,y,z\right) =x^{2}y+z
\end{equation*}の変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f_{1}\left( a,b,c\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}y+z\right) \right\vert _{\left(
x,y,z\right) =\left( a,b,c\right) } \\
&=&\left. 2xy\right\vert _{\left( x,y,z\right) =\left( a,b,c\right) } \\
&=&2ab
\end{eqnarray*}であり、点\(\left( a,b,c\right) \)における成分関数\begin{equation*}f_{2}\left( x,y,z\right) =\frac{yz}{1+x^{2}}
\end{equation*}の変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f_{2}\left( a,b,c\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{yz}{1+x^{2}}\right) \right\vert _{\left(
x,y,z\right) =\left( a,b,c\right) } \\
&=&\left. \frac{z}{x^{2}+1}\right\vert _{\left( x,y,z\right) =\left(
a,b,c\right) } \\
&=&\frac{c}{a^{2}+1}
\end{eqnarray*}であるため、点\(\left( a,b,c\right) \)におけるもとの関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( a,b,c\right) }{\partial x}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{1}\left( a,b,c\right) }{\partial x} \\
\frac{\partial f_{2}\left( a,b,c\right) }{\partial x}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2ab \\
\frac{c}{a^{2}+1}\end{array}\right)
\end{equation*}です。
先の命題は、多変数のベクトル値関数が偏微分可能ではないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能ではない場合、もとの多変数のベクトル値関数もまた点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能ではありません。
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert +y \\
\left\vert y\right\vert +x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\begin{equation*}
f_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x\right\vert +y
\end{equation*}は点\(\left( 0,0\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能ではありません、実際、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{1}\left( 0+h,0\right) -f_{1}\left( 0,0\right)
}{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=1 \\
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{1}\left( 0+h,0\right) -f_{1}\left( 0,0\right)
}{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=-1
\end{eqnarray*}となり、両者は異なるからです。したがって、もとの関数\(\boldsymbol{f}\)もまた点\(\left( 0,0\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能ではありません。
偏微分可能な点の候補に関する留意点
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の点\(\boldsymbol{a}\in X\)における偏微分可能性を定義する際に、点\(\boldsymbol{a}\)が関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の内点であることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。
関数\(\boldsymbol{f}\)の点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数は以下の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}として定義されます。この極限が存在することとは、平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する1変数のベクトル値関数とみなした場合に、\(h\)がどのような経路で\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)が必ず1つの有限なベクトルへ限りなく近づくことを意味します。ただ、そもそも以上の検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合にも、その経路上の任意の\(h\)において\(\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)が定義されている必要があります。つまり、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)が定義されている必要があるということです。点\(\boldsymbol{a}\)が関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の内点である場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(\boldsymbol{a}\)および周辺の任意の点において定義されていることになります。したがってこの場合、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)が有限なベクトルへ収束するか検討できます。
多変数のベクトル値関数は偏微分可能であるとは限らない
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されていない場合、すなわち\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) \)が定義されていない場合には平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)もまた定義されないため、この場合には\(\boldsymbol{f}\)が点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能であるか検討できず、したがって\(\boldsymbol{f}\)は点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能ではありません。つまり、関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されていない場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能ではないということです。
\begin{array}{c}
\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \\
\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されていないため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(\left( 0,0\right) \)において変数\(x,y\)のいずれについても偏微分可能ではありません。
関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されている一方で、点\(\boldsymbol{a}\)の周辺の任意の点において定義されているとは言えない場合には、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)について\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) \)が定義されているとは言えません。すると、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)が定義されているとも言えず、この場合には\(\boldsymbol{f}\)が点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能であるか検討できないため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能ではありません。
\boldsymbol{f}:\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられているものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)の端点\(\left(0,0\right) \)は定義域の内点ではありません。実際、\(x<0\)または\(y<0\)を満たす任意の\(\left( x,y\right) \)において\(\boldsymbol{f}\)は定義されていないため、点\(\left( 0,0\right) \)における変数\(x\)に関する平均変化率\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{f}\left( 0+h,0\right) -\boldsymbol{f}\left( 0,0\right) }{h}
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( 0+h,0\right) -f_{1}\left( 0,0\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( 0+h,0\right) -f_{2}\left( 0,0\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( h,0\right) -f_{1}\left( 0,0\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( h,0\right) -f_{2}\left( 0,0\right) }{h}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}は\(h<0\)を満たす任意の\(h\)において定義されておらず、\(h\)が\(0\)より小さい値をとりながら\(0\)へ限りなく近づく場合の\(\frac{\boldsymbol{f}\left( 0+h,0\right) -\boldsymbol{f}\left( 0,0\right) }{h}\)の挙動を調べることさえできません。したがって、\(\boldsymbol{f}\)は点\(\left( 0,0\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能ではありません。
関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されており、なおかつ点\(\boldsymbol{a}\)が\(\boldsymbol{f}\)の定義域の内点である場合においても、\(\boldsymbol{f}\)は点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert +y \\
\left\vert y\right\vert +x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(\left( 0,0\right) \)およびその周辺の任意の点において定義されている一方で、先に示したように\(\boldsymbol{f}\)は点\(\left( 0,0\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能ではありません。
偏微分係数の一意性
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\)は、平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する1変数のベクトル値関数とみなした上で\(h\rightarrow 0\)とした場合の極限として定義されます。一般に、1変数のベクトル値関数が収束する場合にはそこでの極限が1つのベクトルとして定まるため、1変数のベクトル値関数の極限として定義される偏微分係数もまた1つのベクトルとして定まります。
偏導関数
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の内点\(\boldsymbol{a}\in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることとは、点\(\boldsymbol{a}\)における偏微分係数に相当する有限なベクトル\begin{equation*}\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように偏微分係数は常に1つのベクトルとして定まります。以上を踏まえると、\(\boldsymbol{f}\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\(\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}\in \mathbb{R} ^{m}\)を値として定める多変数のベクトル値関数\begin{equation*}\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x_{k}\)に関する偏導関数（partial derivative with respect to \(x_{k}\)）と呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{x_{k}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) ,\quad \frac{\partial \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}},\quad
\frac{\partial }{\partial x_{k}}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}などで表記します。
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)上の任意の点において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(\boldsymbol{f}\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能ではない点が存在する場合、偏導関数\(\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial x_{k}}\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(\boldsymbol{f}\)の偏導関数\(\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial x_{k}}\)は、もとの関数\(\boldsymbol{f}\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)と偏導関数\(\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial x_{k}}\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(X\)上の任意の点において変数\(x_{k}\)について偏微分可能である場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(X\)上で\(x_{k}\)に関して偏微分可能（partial differential with respect to \(x_{k}\) on \(X\)）であるとか変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能（partial differentiate with respect to \(x_{k}\)）であるなどと言います。
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることと、そのすべての成分関数\(f_{i}\ \left(i=1,\cdots ,m\right) \)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることは必要十分であるため、すべての成分関数\(f_{i}\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点がそのまま多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が変数\(x_{k}\)に関して微分可能な点になります。つまり、すべての成分関数\(f_{i}\)の導関数\(\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{k}}\)の定義域の共通部分をとれば多変数ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の導関数\(\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial x_{k}}\)の定義域が得られます。
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial \boldsymbol{f}\left(x,y\right) }{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{1}\left( x,y\right) }{\partial x} \\
\frac{\partial f_{2}\left( x,y\right) }{\partial x}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}y\right) \\
\frac{\partial }{\partial x}\left( xy^{2}\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2xy \\
y^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。また、\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(y\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial \boldsymbol{f}\left(x,y\right) }{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{1}\left( x,y\right) }{\partial y} \\
\frac{\partial f_{2}\left( x,y\right) }{\partial y}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}y\right) \\
\frac{\partial }{\partial y}\left( xy^{2}\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
2xy\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
\begin{array}{c}
3x^{2}y \\
5x+y^{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの変数\(x,y\)に関する偏導関数\(\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial x},\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial y}\)を求めてください。
\begin{array}{c}
e^{x}+\sin \left( y\right) \\
\ln \left( xy\right) \\
\sqrt{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの変数\(x,y\)に関する偏導関数\(\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial x},\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial y}\)を求めてください。
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert +y \\
\left\vert y\right\vert +x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの変数\(x,y\)に関する偏導関数\(\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial x},\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial y}\)を求めてください。
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