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多変数ベクトル値関数の微分

多変数ベクトル値関数の全微分の定義(ベクトル場の全微分)

目次

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全微分を導入する動機

1変数関数は微分可能な点において連続であることが保証されます。一方、多変数のベクトル値関数は偏微分可能な点や方向微分可能な点において連続であるとは限りません。偏微分は特定の変数だけを動かす状況を想定した微分概念であり、方向微分はすべての変数を特定の経路に沿って動かす状況を想定した微分概念です。一方、多変数のベクトル値関数の連続性はすべての変数を任意の経路に沿って動かす状況を想定した概念です。したがって、多変数のベクトル値関数に関して微分可能性から連続性を保証するためには、偏微分や方向微分とは異なり、すべての変数を任意の経路に沿って動かす状況を想定した新たな微分概念が要請されます。このような微分概念を全微分(total differential)と呼びます。

では、全微分をどのような形で定義すればよいでしょうか。以下では、1変数関数の微分可能性について復習しながら、それを一般化する形で多変数のベクトル値関数に関する全微分概念を定義します。

 

平均変化率の極限としての微分

1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されているものとします。\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から\(h\not=0\)だけ動かしたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとります。この極限が有限な実数として定まる場合、その極限を、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}で表記し、これを\(f\)の点\(a\)における微分係数と呼びます。関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であることとは、そこでの微分係数\(f^{\prime }\left(a\right) \)が有限な実数として定まることを意味します。

多変数のベクトル値関数の全微分可能性を同様の形で定義できるでしょうか。多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されているものとします。\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から\(h\not=\left(0,\cdots ,0\right) \)だけ動かしたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{f_{1}\left( a_{1}+h_{1},\cdots ,a_{n}+h_{n}\right) -f_{1}\left(
a_{1},\cdots ,a_{n}\right) }{\left( h_{1},\cdots ,h_{n}\right) } \\
\vdots \\
\dfrac{f_{m}\left( a_{1}+h_{1},\cdots ,a_{n}+h_{n}\right) -f_{m}\left(
a_{1},\cdots ,a_{n}\right) }{\left( h_{1},\cdots ,h_{n}\right) }\end{array}\right)
\end{equation*}となります。ただ、平均変化率のそれぞれの成分の分子\begin{equation*}
f_{i}\left( a_{1}+h_{1},\cdots ,a_{n}+h_{n}\right) -f_{i}\left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right)
\end{equation*}は実数である一方、分母\begin{equation*}
\left( h_{1},\cdots ,h_{n}\right)
\end{equation*}はベクトルですが、実数をベクトルで割る演算は定義されていないため、そもそも上のような形で平均変化率を定義できません。平均変化率が定義不可能であるならば、平均変化率の極限として全微分を定義することはできません。したがって、多変数のベクトル値関数については、平均変化率の極限とは異なる形で全微分を定義する必要があります。

 

無限小を用いた全微分可能性の定義

1変数関数に話を戻します。1変数関数の微分可能性は高位の無限小を用いて表現することもできます。具体的には、1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域上の点\(a\in X\)について、\begin{equation}f\left( x\right) -f\left( a\right) -c\left( x-a\right) =o\left( x-a\right)
\quad \left( x\rightarrow a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす有限な実数\(c\in \mathbb{R} \)が存在することは、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件であるとともに、\begin{equation*}c=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(f^{\prime}\left( a\right) \)は点\(a\)における\(f\)の微分係数です。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であることとは、変数\(x\)に関する関数\begin{equation}f\left( x\right) -f\left( a\right) -c\left( x-a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が、同じく変数\(x\)に関する関数\begin{equation}x-a \quad \cdots (3)
\end{equation}と比べて点\(a\)において高位の無限小になるような有限な実数\(c\)が存在することとして定義されるということです。\(\left( 2\right) \)は、それぞれの点\(x\)に対して関数\(f\left( x\right) \)が定める値と関数\(f\left( a\right) +c\cdot \left( x-a\right) \)が定める値の誤差であり、\(\left( 3\right) \)は点\(x\)が点\(a\)からどれくらい離れているかを表す指標です。したがって\(\left(1\right) \)が成り立つこととは、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +c\left( x-a\right)
\end{equation*}という近似関係が成立することを意味します。加えて、\begin{equation*}
c=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}であることを踏まえると、先の近似式を、\begin{equation*}
f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \left(
x-a\right)
\end{equation*}と表現できます。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であることとは、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、関数\(f\)を変数\(x\)に関する\(1\)次関数\begin{equation*}f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \left( x-a\right)
\end{equation*}で近似できることを意味します。

高位の無限小を用いた微分可能性の定義には平均変化率は登場しないため、多変数のベクトル値関数に対しても同様の考え方を適用できます。つまり、多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および定義域上の点であるベクトル\(a\in X\)に対して、\begin{equation}f\left( x\right) -f\left( a\right) -c\left( x-a\right) =o\left( \left\Vert
x-a\right\Vert \right) \quad \left( x\rightarrow a\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{array}\right) -\begin{pmatrix}
c_{11} & \cdots & c_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
c_{m1} & \cdots & c_{mn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-a_{1} \\
\vdots \\
x_{n}-a_{n}\end{array}\right) \\
&=&o\left( \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}\right) \quad
\left( \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \rightarrow \left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) \right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{n}\left[ c_{1i}\left( x_{i}-a_{i}\right) \right] \\
\vdots \\
\sum_{i=1}^{n}\left[ c_{mi}\left( x_{i}-a_{i}\right) \right] \end{array}\right) \\
&=&o\left( \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}\right) \quad
\left( \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \rightarrow \left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) \right)
\end{eqnarray*}を満たす行列\begin{equation*}
c=\begin{pmatrix}
c_{11} & \cdots & c_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
c_{m1} & \cdots & c_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が存在する場合には、\(f\)は点\(a\)において全微分可能であるものと定義するということです。その上で、\(f\)の点\(a\)における全微分係数を、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =c\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
f_{11}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) & \cdots &
f_{1n}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m1}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) & \cdots &
f_{mn}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
c_{11} & \cdots & c_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
c_{m1} & \cdots & c_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}という行列として定義します。ただし、\(f_{ij}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \ \left(i=1,\cdots ,n\right) \)は行列\(f^{\prime }\left(a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \)の\(ij\)成分です。つまり、多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において全微分可能であることとは、変数\(x\)に関する多変数のベクトル値関数\begin{equation}f\left( x\right) -f\left( a\right) -c\left( x-a\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{array}\right) -\begin{pmatrix}
c_{11} & \cdots & c_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
c_{m1} & \cdots & c_{mn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-a_{1} \\
\vdots \\
x_{n}-a_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{n}\left[ c_{1i}\left( x_{i}-a_{i}\right) \right] \\
\vdots \\
\sum_{i=1}^{n}\left[ c_{mi}\left( x_{i}-a_{i}\right) \right] \end{array}\right)
\end{equation*}が、変数\(x\)に関する多変数関数\begin{equation}\left\Vert x-a\right\Vert \quad \cdots (6)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}
\end{equation*}と比べて点\(a\)において高位の無限小になるような行列\(c\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在することとして定義されるということです。\(\left( 5\right) \)は、それぞれの点\(x\)に対して関数\(f\left( x\right) \)が定める値と関数\(f\left( a\right) +c\left(x-a\right) \)が定める値の誤差であり、\(\left( 6\right) \)は点\(x\)が点\(a\)からどれくらい離れているかを表す指標です。したがって\(\left( 4\right) \)が成り立つこととは、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +c\left( x-a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \approx \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{array}\right) +\begin{pmatrix}
c_{11} & \cdots & c_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
c_{m1} & \cdots & c_{mn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-a_{1} \\
\vdots \\
x_{n}-a_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \approx \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{n}\left[ c_{1i}\left( x_{i}-a_{i}\right) \right] \\
\vdots \\
\sum_{i=1}^{n}\left[ c_{mi}\left( x_{i}-a_{i}\right) \right] \end{array}\right)
\end{equation*}という近似関係が成立することを意味します。ただし、\begin{equation*}
c=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}であることを踏まえると、先の近似式を、\begin{equation*}
f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \left(
x-a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \approx \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{array}\right) +\begin{pmatrix}
f_{11}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) & \cdots &
f_{1n}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m1}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) & \cdots &
f_{mn}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-a_{1} \\
\vdots \\
x_{n}-a_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \approx \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{1i}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\left( x_{i}-a_{i}\right) \right] \\
\vdots \\
\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{mi}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \left(
x_{i}-a_{i}\right) \right] \end{array}\right)
\end{equation*}と表現できます。つまり、多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において全微分可能であることとは、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、多変数のベクトル値関数\(f\)を変数\(x\)に関する多変数のベクトル値関数\begin{equation*}f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \left( x-a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{1i}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\left( x_{i}-a_{i}\right) \right] \\
\vdots \\
\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{mi}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \left(
x_{i}-a_{i}\right) \right] \end{array}\right)
\end{equation*}で近似できることを意味します。

例(多変数ベクトル値関数の全微分)
2変数ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が定義域上の点\(\left(a_{1},a_{2}\right) \in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)が点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)において全微分可能であることとは、\begin{eqnarray*}&&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \\
f_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{1},a_{2}\right) \\
f_{2}\left( a_{1},a_{2}\right)
\end{array}\right) -\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{21}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-a_{1} \\
x_{2}-a_{2}\end{array}\right) \\
&=&o\left( \left\Vert \left( x_{1},x_{2}\right) -\left( a_{1},a_{2}\right)
\right\Vert \right) \quad \left( \left( x_{1},x_{2}\right) \rightarrow
\left( a_{1},a_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \\
f_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{1},a_{2}\right) \\
f_{2}\left( a_{1},a_{2}\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
c_{11}\left( x_{1}-a_{1}\right) +c_{12}\left( x_{2}-a_{2}\right) \\
c_{21}\left( x_{1}-a_{1}\right) +c_{22}\left( x_{2}-a_{2}\right)
\end{array}\right) \\
&=&o\left( \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}}\right) \quad \left( \left( x_{1},x_{2}\right) \rightarrow \left(
a_{1},a_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}を満たす行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{21}\end{pmatrix}\in M_{2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が存在することを意味します。その上で、\(f\)の点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)における全微分係数を、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right) =\begin{pmatrix}
f_{11}^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right) & f_{12}^{\prime }\left(
a_{1},a_{2}\right) \\
f_{21}^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right) & f_{22}^{\prime }\left(
a_{1},a_{2}\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{21}\end{pmatrix}\in M_{2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と定義します。この場合、点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)に限りなく近い周辺の任意の点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)において、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \\
f_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{array}\right) \approx \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{1},a_{2}\right) \\
f_{2}\left( a_{1},a_{2}\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
f_{11}^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right) \left( x_{1}-a_{1}\right)
+f_{12}^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right) \left( x_{2}-a_{2}\right) \\
f_{21}^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right) \left( x_{1}-a_{1}\right)
+f_{22}^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right) \left( x_{2}-a_{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という近似式が成立します。つまり、2変数ベクトル値関数\(f\)が点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)において全微分可能であることとは、点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)に限りなく近い周辺の任意の点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)において、関数\(f\)を2変数\(x_{1},x_{2}\)に関する\(1\)次のベクトル値関数\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{1},a_{2}\right) \\
f_{2}\left( a_{1},a_{2}\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
f_{11}^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right) \left( x_{1}-a_{1}\right)
+f_{12}^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right) \left( x_{2}-a_{2}\right) \\
f_{21}^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right) \left( x_{1}-a_{1}\right)
+f_{22}^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right) \left( x_{2}-a_{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}で近似できることを意味します。

 

全微分係数

議論を整理しましょう。多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。このとき、\begin{equation*}f\left( x\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \left(
x-a\right) =o\left( \left\Vert x-a\right\Vert \right) \quad \left(
x\rightarrow a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{1i}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\left( x_{i}-a_{i}\right) \right] \\
\vdots \\
\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{mi}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \left(
x_{i}-a_{i}\right) \right] \end{array}\right) \\
&=&o\left( \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}\right) \quad
\left( \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \rightarrow \left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) \right)
\end{eqnarray*}を満たす行列\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\begin{pmatrix}
f_{11}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) & \cdots &
f_{1n}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m1}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) & \cdots &
f_{mn}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が存在する場合には、この行列\(f^{\prime }\left( a\right) \)を\(f\)の\(a\)における全微分係数(total diferential coefficient of \(f\) at \(a\))と呼びます。\(f\)の点\(a\)における全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)を、\begin{equation*}\frac{df\left( a\right) }{dx},\quad \frac{d}{dx}f\left( a\right) ,\quad
\left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などと表記することもできます。全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において全微分可能(total differentiable at \(a\))であると言います。

全微分可能性を以下のような形で表現することもできます。

命題(全微分の代替的な定義)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとする。このとき、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -ch}{\left\Vert h\right\Vert }=0
\end{equation*}を満たす行列\(c\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在することは、\(f\)が点\(a\)において全微分可能であるための必要十分条件である。さらにこのとき、\begin{equation*}c=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}となる。

証明

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以上の命題より、多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能であることを検証するためには以下の手順を踏むことになります。

  1. 全微分係数となり得る行列\(f^{\prime }\left( a\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の候補を何らかの手段を通じて特定する。以降ではこの行列を、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\begin{pmatrix}f_{11}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) & \cdots &
    f_{1n}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
    \vdots & \ddots & \vdots \\
    f_{m1}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) & \cdots &
    f_{mn}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
    \end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
    \end{equation*}で表記する。
  2. 問題としている点\(a\)および全微分係数の候補である行列\(f^{\prime }\left(a\right) \)から、\begin{equation}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) h}{\left\Vert h\right\Vert } \quad \cdots (1)\end{equation}を構成する。内積およびノルムの定義より、これを、\begin{equation*}
    \left(
    \begin{array}{c}
    \dfrac{f_{1}\left( a_{1}+h_{1},\cdots ,a_{n}+h_{1}\right) -f_{1}\left(
    a_{1},\cdots ,a_{n}\right) -\sum\limits_{i=1}^{n}\left[ f_{1i}^{\prime
    }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) h_{i}\right] }{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}h_{i}^{2}}} \\
    \vdots \\
    \dfrac{f_{m}\left( a_{1}+h_{1},\cdots ,a_{n}+h_{1}\right) -f_{m}\left(
    a_{1},\cdots ,a_{n}\right) -\sum\limits_{i=1}^{n}\left[ f_{mi}^{\prime
    }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) h_{i}\right] }{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}h_{i}^{2}}}\end{array}\right)
    \end{equation*}と具体的に表現できる。
  3. 構成した\(\left( 1\right) \)をベクトル\(h=\left( h_{1},\cdots ,h_{2}\right) \)を変数として持つ多変数のベクトル値関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)すなわち\(\left( h_{1},\cdots,h_{n}\right) \rightarrow \left( 0,\cdots ,0\right) \)の場合の極限をとる。その上で、その極限がゼロベクトルであること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime}\left( a\right) h}{\left\Vert h\right\Vert }=0
    \end{equation*}が成り立つことを示す。

全微分係数の候補を特定する方法については後述します。

例(全微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が点\(\left(0,0\right) \)において全微分可能であることを示します。天下り的ですが、全微分係数の候補として行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}を採用するのであれば、\begin{equation*}
\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( 0+h_{1},0+h_{2}\right) \\
f_{2}\left( 0+h_{1},0+h_{2}\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( 0,0\right) \\
f_{2}\left( 0,0\right)
\end{array}\right) -\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
h_{1} \\
h_{2}\end{array}\right) }{\left\Vert \left( h_{1},h_{2}\right) \right\Vert }=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{1}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{2}h_{2} \\
h_{1}h_{2}^{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{h_{1}^{2}h_{2}}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}} \\
\lim\limits_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{h_{1}h_{2}^{2}}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を示すことが目標になります。\(\left( h_{1},h_{2}\right)\rightarrow \left( 0,0\right) \)のときの極限をとるために極座標を導入します。つまり、\(r>0\)かつ\(0\leq \theta <2\pi \)を満たす\(\left( r,\theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を用いて、\begin{equation}h_{1}=r\cos \left( \theta \right) ,\quad h_{2}=r\sin \left( \theta \right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}とするということです。このとき、\begin{equation}
\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}\rightarrow 0\Leftrightarrow r\rightarrow 0
\quad \cdots (2)
\end{equation}という関係が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{h_{1}^{2}h_{2}}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}} &=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^{3}\cos ^{2}\left( \theta \right) \sin \left( \theta \right) }{\sqrt{r^{2}\cos ^{2}\left( \theta \right) +r^{2}\sin ^{2}\left( \theta \right) }}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^{3}\cos ^{2}\left( \theta \right) \sin
\left( \theta \right) }{\left\vert r\right\vert } \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}r^{2}\cos ^{2}\left( \theta \right) \sin \left(
\theta \right) \quad \because r>0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{h_{1}h_{2}^{2}}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}} &=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^{3}\cos \left( \theta \right) \sin ^{2}\left( \theta \right) }{\sqrt{r^{2}\cos ^{2}\left( \theta \right) +r^{2}\sin ^{2}\left( \theta \right) }}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^{3}\cos \left( \theta \right) \sin
^{2}\left( \theta \right) }{\left\vert r\right\vert } \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}r^{2}\cos \left( \theta \right) \sin ^{2}\left(
\theta \right) \quad \because r>0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 0,0\right) =\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}が成り立つということです。

 

多変数のベクトル値関数の全微分可能性と成分関数の全微分可能性の関係

定義より、多変数のベクトル値関数の全微分可能性と成分可能性の全微分可能性の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(多変数のベクトル値関数の全微分可能性と成分関数の全微分可能性の関係)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が点\(a\)において全微分可能であることと、\(f\)が点\(a\)において全微分可能であることは必要十分であるとともに、それらの全微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x}=\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x} \\
\vdots \\
\dfrac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x}\end{array}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の命題より、多変数のベクトル値関数の全微分可能性に関する議論を多変数関数である成分関数の全微分可能性に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

例(全微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能であるとともに、全微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 0,0\right) =\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}です。同じことを先の命題を用いて示します。成分関数\begin{equation*}
f_{1}\left( x,y\right) =x^{2}y
\end{equation*}は多変数の多項式関数であるため点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能であり、全微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{1}^{\prime }\left( 0,0\right) &=&\nabla f_{1}\left( 0,0\right) \quad
\because \text{全微分係数と勾配ベクトルの関係} \\
&=&\left( \frac{\partial f_{1}\left( 0,0\right) }{\partial x},\frac{\partial
f_{1}\left( 0,0\right) }{\partial y}\right) \quad \because \text{勾配ベクトルの定義} \\
&=&\left( \left. \frac{df_{1}\left( x,0\right) }{\partial x}\right\vert
_{x=0},\left. \frac{\partial f_{1}\left( 0,y\right) }{\partial y}\right\vert
_{y=0}\right) \quad \because \text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\left( \left. \frac{d}{\partial x}\left( x^{2}0\right) \right\vert
_{x=0},\left. \frac{\partial }{\partial y}\left( 0^{2}y\right) \right\vert
_{y=0}\right) \\
&=&\left( \left. 0\right\vert _{x=0},\left. 0\right\vert _{y=0}\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}です。成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left( x,y\right) =xy^{2}
\end{equation*}は多変数の多項式関数であるため点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能であり、全微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{2}^{\prime }\left( 0,0\right) &=&\nabla f_{2}\left( 0,0\right) \quad
\because \text{全微分係数と勾配ベクトルの関係} \\
&=&\left( \frac{\partial f_{2}\left( 0,0\right) }{\partial x},\frac{\partial
f_{2}\left( 0,0\right) }{\partial y}\right) \quad \because \text{勾配ベクトルの定義} \\
&=&\left( \left. \frac{df_{2}\left( x,0\right) }{\partial x}\right\vert
_{x=0},\left. \frac{\partial f_{2}\left( 0,y\right) }{\partial y}\right\vert
_{y=0}\right) \quad \because \text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\left( \left. \frac{d}{\partial x}\left( x0^{2}\right) \right\vert
_{x=0},\left. \frac{\partial }{\partial y}\left( 0y^{2}\right) \right\vert
_{y=0}\right) \\
&=&\left( \left. 0\right\vert _{x=0},\left. 0\right\vert _{y=0}\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}です。したがって、先の命題より\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において全微分可能であり、全微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 0,0\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( 0,0\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( 0,0\right)
\end{array}\right) =\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは先の結果と整合的です。

先の命題は、多変数のベクトル値関数が全微分可能ではないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が点\(a\)において全微分可能ではない場合、もとの多変数のベクトル値関数もまた点\(a\)において全微分可能ではありません。

例(全微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert +y \\
\left\vert y\right\vert +x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\begin{equation*}
f_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x\right\vert +y
\end{equation*}は点\(\left( 0,0\right) \)において偏微分可能ではなく、したがって全微分可能でもありません(演習問題)。したがって、もとの関数\(f\)もまた点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能ではありません。

 

全微分可能な点の候補に関する留意点

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の点\(a\in X\)における全微分可能性を検証する際に、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。

関数\(f\)の点\(a\)において全微分可能であることとは、以下の関係\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) h}{\left\Vert h\right\Vert }=0
\end{equation*}を満たす行列\(f^{\prime }\left( a\right)\in M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在することを意味します。以上の関係が成り立つこととは、\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h=\left( h_{1},\cdots ,h_{n}\right) \)に関する多変数のベクトル値関数とみなしたとき、\(h\)がどのような経路で点\(0=\left( 0,\cdots ,0\right) \)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right)-f^{\prime }\left( a\right) h}{\left\Vert h\right\Vert }\)が必ずゼロベクトルへ収束することを意味します。ただ、そもそも以上の検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって点\(0\)へ限りなく近づく場合にも、その経路上の任意の点\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left(a\right) h}{\left\Vert h\right\Vert }\)が定義されている必要があります。言い換えると、点\(0\)に限りなく近い任意の点\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) h}{\left\Vert h\right\Vert }\)が定義されている必要があるということです。関数\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、点\(0\)に限りなく近い任意の点\(h\)において\(f\left( a+h\right) \)が定義されていることになるため、そのような任意の点\(h\)において\(\frac{f\left(a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) h}{\left\Vert
h\right\Vert }\)もまた定義されていることになります。したがってこの場合、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( a+