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多変数ベクトル値関数の微分

多変数のベクトル値関数のベクトル和の偏微分

目次

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多変数のベクトル値関数のベクトル和の偏微分

定義域を共有する多変数のベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれのベクトル\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
=\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +g_{1}\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +g_{1}\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定める新たな多変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。ただし、\(f_{i},g_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)および\(g\)の成分関数です。

多変数のベクトル値関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるものとします。つまり、\(f\)と\(g\)が点\(a\)および周辺の任意の点において定義されているとともに、その点における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}} &=&\left. \frac{\partial
f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{x=a} \\
\frac{\partial g\left( a\right) }{\partial x_{k}} &=&\left. \frac{\partial
g\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{x=a}
\end{eqnarray*}がともに\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まるということです。以上の条件が満たされる場合、多変数のベクトル値関数\(f+g\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、その偏微分係数が、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( f+g\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}} &=&\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}+\frac{\partial g\left( a\right)
}{\partial x_{k}} \\
&=&\left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}+\left. \frac{\partial g\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \left( f+g\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial g_{1}\left( a\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\frac{\partial g_{m}\left( a\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a} \\
\vdots \\
\left. \frac{\partial f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{\partial g_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a} \\
\vdots \\
\left. \frac{\partial g_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}という\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まります。

命題(多変数のベクトル値関数のベクトル和の偏微分)
多変数のベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから多変数のベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f,g\)が定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、そこでの変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( f+g\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}} &=&\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}+\frac{\partial g\left( a\right)
}{\partial x_{k}} \\
&=&\left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}+\left. \frac{\partial g\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}
\end{eqnarray*}となる。

証明

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つまり、定義域上の点\(a\)において変数\(x_{k}\)について偏微分可能な多変数のベクトル値関数\(f,g\)のベクトル和の形をしている多変数のベクトル値関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)について偏微分可能であるとともに、\(f\)の偏微分係数であるベクトル\(\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}\)と\(g\)の偏微分係数であるベクトル\(\frac{\partial g\left(a\right) }{\partial x_{k}}\)のベクトル和をとれば\(f+g\)の偏微分係数\(\frac{\partial \left( f+g\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}}\)が得られることを上の命題は保証しています。

例(多変数のベクトル値関数のベクトル和の偏微分)
多変数のベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから多変数のベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f,g\)がともに変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合には偏導関数\begin{eqnarray*}\frac{\partial f}{\partial x_{k}} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\frac{\partial f}{\partial x_{k}} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}がともに存在します。この場合、\(f+g\)もまた変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial \left( f+g\right) }{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( f+g\right) \left( x\right) }{\partial x_{k}} &=&\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}+\frac{\partial g\left( x\right)
}{\partial x_{k}}\quad \because \text{偏微分可能な関数のベクトル和} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\frac{\partial f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial g_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\frac{\partial g_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}}+\frac{\partial
g_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\frac{\partial f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}+\frac{\partial
g_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\begin{equation*}
\frac{\partial \left( f+g\right) }{\partial x_{k}}=\frac{\partial f}{\partial x_{k}}+\frac{\partial f}{\partial x_{k}}
\end{equation*}が成り立つということです。

例(多変数のベクトル値関数のベクトル和の偏微分)
多変数のベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c_{1},c_{2}\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2}\right) \left( x\right) =c_{1}f_{1}\left(
x\right) +c_{2}f_{2}\left( x\right)
\end{equation*}を定める多変数のベクトル値関数\(c_{1}f+c_{2}g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f,g\)がともに変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合には偏導関数\begin{eqnarray*}\frac{\partial f}{\partial x_{k}} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\frac{\partial f}{\partial x_{k}} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}がともに存在します。この場合、\(c_{1}f+c_{2}g\)もまた変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial \left( c_{1}f+c_{2}g\right) }{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( c_{1}f+c_{2}g\right) \left( x\right) }{\partial x_{k}}
&=&\frac{\partial \left( c_{1}f\right) \left( x\right) }{\partial x_{k}}+\frac{\partial \left( c_{2}g\right) \left( x\right) }{\partial x_{k}}\quad
\because \text{偏微分可能な関数のベクトル和} \\
&=&c_{1}\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}+c_{2}\frac{\partial g\left( x\right) }{\partial x_{k}}\quad \because \text{偏微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&c_{1}\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\frac{\partial f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) +c_{2}\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial g_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\frac{\partial g_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
c_{1}\frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}}+c_{2}\frac{\partial g_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
c_{1}\frac{\partial f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}+c_{2}\frac{\partial g_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\begin{equation*}
\frac{\partial \left( c_{1}f+c_{2}g\right) }{\partial x_{k}}=c_{1}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}+c_{2}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}
\end{equation*}が成り立つということです。

 

多変数のベクトル値関数のベクトル和のヤコビ行列

先の命題より、ヤコビ行列に関する以下の命題が得られます。

命題(多変数のベクトル値関数のベクトル和のヤコビ行列)
多変数のベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから多変数のベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f,g\)が定義域上の点\(a\in X\)において偏微分可能であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において偏微分可能であり、そこでのヤコビ行列は、\begin{eqnarray*}J_{f+g}\left( a\right) &=&J_{f}\left( a\right) +J_{g}\left( a\right) \\
&=&\left. J_{f}\left( x\right) \right\vert _{x=a}+\left. J_{g}\left(
x\right) \right\vert _{x=a}
\end{eqnarray*}となる。

証明

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つまり、定義域上の点\(a\)において偏微分可能な多変数のベクトル値関数\(f,g\)のベクトル和の形をしている多変数のベクトル値関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた点\(a\)において偏微分可能であるとともに、\(f\)のヤコビ行列\(J_{f}\left( a\right) \)と\(g\)のヤコビ行列\(J_{g}\left( a\right) \)の行列和をとれば\(f+g\)のヤコビ行列\(J_{f+g}\left( a\right) \)が得られることを上の命題は保証しています。

例(多変数のベクトル値関数のベクトル和のヤコビ行列)
多変数のベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから多変数のベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f\)が偏微分可能である場合、ヤコビ行列関数\begin{eqnarray*}J_{f} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
J_{g} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}が存在します。この場合には\(f+g\)もまた偏微分可能であり、ヤコビ行列関数\(J_{f+g}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}J_{f+g}\left( x\right) &=&J_{f}\left( x\right) +J_{g}\left( x\right) \quad
\because \text{偏微分可能な関数のベクトル和} \\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{n}}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{\partial g_{1}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial g_{1}\left( a\right) }{\partial x_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial g_{m}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial g_{m}\left( a\right) }{\partial x_{n}}\end{pmatrix}\quad \because \text{ヤコビ行列の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{1}}+\frac{\partial
g_{1}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial
f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{n}}+\frac{\partial g_{1}\left( a\right) }{\partial x_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{1}}+\frac{\partial
g_{m}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial
f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{n}}+\frac{\partial g_{m}\left( a\right) }{\partial x_{n}}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\begin{equation*}
J_{f+g}=J_{f}+J_{g}
\end{equation*}が成り立つということです。

例(多変数のベクトル値関数のベクトル和のヤコビ行列)
多変数のベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c_{1},c_{2}\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2}\right) \left( x\right) =c_{1}f_{1}\left(
x\right) +c_{2}f_{2}\left( x\right)
\end{equation*}を定める多変数のベクトル値関数\(c_{1}f+c_{2}g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f,g\)がともに偏微分可能である場合にはヤコビ行列関数\begin{eqnarray*}J_{f} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
J_{g} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}がともに存在します。この場合、\(c_{1}f+c_{2}g\)もまた偏微分可能であり、ヤコビ行列関数\(J_{c_{1}f+c_{2}g}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}J_{c_{1}f+c_{2}g}\left( x\right) &=&J_{c_{1}f}\left( x\right)
+J_{c_{2}g}\left( x\right) \quad \because \text{偏微分可能な関数のベクトル和} \\
&=&c_{1}J_{f}\left( x\right) +c_{2}J_{g}\left( x\right) \quad \because \text{偏微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&c_{1}\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{n}}\end{pmatrix}+c_{2}\begin{pmatrix}
\frac{\partial g_{1}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial g_{1}\left( a\right) }{\partial x_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial g_{m}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial g_{m}\left( a\right) }{\partial x_{n}}\end{pmatrix}\quad \because \text{ヤコビ行列の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
c_{1}\frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{1}}+c_{2}\frac{\partial g_{1}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & c_{1}\frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{n}}+c_{2}\frac{\partial
g_{1}\left( a\right) }{\partial x_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
c_{1}\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{1}}+c_{2}\frac{\partial g_{m}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & c_{1}\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{n}}+c_{2}\frac{\partial
g_{m}\left( a\right) }{\partial x_{n}}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\begin{equation*}
J_{c_{1}f+c_{2}g}=c_{1}J_{f}+c_{2}J_{g}
\end{equation*}が成り立つということです。

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