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DERIVATIVES OF MULTIVARIABLE FUNCTIONS

多変数関数の全微分

目次

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全微分係数

1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能である場合、\(f\)は点\(a\)において連続であることが保証されます。一方、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において偏微分可能である場合や、任意の方向に方向微分可能である場合、\(f\)は点\(a\)において連続であるとは限りません。したがって、多変数関数に関して微分可能性から連続性を導くためには偏微分や方向微分とは異なる微分概念が必要です。偏微分は特定の変数\(x_{k}\)だけを動かす状況を想定した微分概念であり、方向微分はすべての変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を特定の経路に沿って動かす状況を想定した微分概念です。新たに導入する微分概念では、すべての変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を任意の経路で動かす状況を想定します。では、そのような微分概念をどのような形で定義すればよいでしょうか。以下では1変数関数の微分可能性について振り返りながら、それを一般化する形で多変数関数に関する微分概念を定義します。

1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -c\cdot h}{h}=0
\end{equation*}を満たす有限な実数\(c\in \mathbb{R} \)が存在することと必要十分です。その上で、この\(c\)を点\(a\)における\(f\)の微分係数と呼び、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =c
\end{equation*}と表記します。つまり、\(f\)が点\(a\)において微分可能であることとは、変数\(h\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に関する関数\(f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -c\cdot h\)が点\(0\)において関数\(h\)よりも高位の無限小になるような有限な実数\(c\)が存在すること、すなわち、\begin{equation*}f\left( a+h\right) =f\left( a\right) +c\cdot h+o\left( h\right) \quad \left(
h\rightarrow 0\right)
\end{equation*}を満たす\(c\in \mathbb{R} \)が存在することを意味します。これは、\(0\)に十分近い\(h\)に関しては、\begin{equation*}f\left( a+h\right) \approx f\left( a\right) +c\cdot h
\end{equation*}という近似関係が成立することを意味します。

以上を踏まえた上で、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であることを、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、変数\(h\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に関する関数\(f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -c\cdot h\)が点\(0\)において関数\(\left\Vert h\right\Vert \)よりも高位の無限小になるようなベクトル\(c\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在すること、すなわち、\begin{equation*}f\left( a+h\right) =f\left( a\right) +c\cdot h+o\left( \left\Vert
h\right\Vert \right) \quad \left( h\rightarrow 0\right)
\end{equation*}を満たす\(c\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在することとして定義します。言い換えると、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -c\cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }=0
\end{equation*}を満たす\(c\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在することとして、\(f\)の点\(a\)における微分可能性の定義とします。これは、ゼロベクトル\(0\)に十分近い\(h\)に関しては、\begin{equation*}f\left( a+h\right) \approx f\left( a\right) +c\cdot h
\end{equation*}という近似関係が成立することを意味します。このような微分概念を全微分(total differential)と呼びます。また、以上の条件を満たすベクトル\(c\in \mathbb{R} ^{n}\)は存在するとは限りませんが、仮に存在する場合、この\(c\)を\(f\)の\(a\)における全微分係数(total diferential coefficient of \(f\)at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) ,\quad \frac{df\left( a\right) }{dx},\quad \frac{d}{dx}f\left( a\right) ,\quad \left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert
_{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -\left[ f\left( a\right)
+f^{\prime }\left( a\right) \cdot h\right] }{\left\Vert h\right\Vert }=0
\end{equation*}を満たすものとして全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において全微分可能(differentiable at \(a\))であると言います。

例(全微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が点\(\left(0,0\right) \)において全微分可能であることを示します。天下り的ですが、全微分係数の候補として点\(\left( 0,0\right) \)を採用するのであれば、\begin{equation*}\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{f\left(
0+h_{1},0+h_{2}\right) -f\left( 0,0\right) -\left( 0,0\right) \cdot \left(
h_{1},h_{2}\right) }{\left\Vert \left( h_{1},h_{2}\right) \right\Vert }
\end{equation*}が成り立つことを示すことが目標になります。\(f\)の定義とノルムの定義より、これは、\begin{equation*}\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{h_{1}h_{2}}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}
\end{equation*}となります。\(\left( h_{1},h_{2}\right)\rightarrow \left( 0,0\right) \)のときの極限をとるために極座標を導入します。つまり、\(r>0\)かつ\(0\leq \theta <2\pi \)を満たす\(\left( r,\theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を用いて、\begin{equation}h_{1}=r\cos \left( \theta \right) ,\quad h_{2}=r\sin \left( \theta \right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}とするということです。このとき、\begin{equation}
\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}\rightarrow 0\Leftrightarrow r\rightarrow 0
\quad \cdots (2)
\end{equation}という関係が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{h_{1}h_{2}}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}} &=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^{2}\cos \left( \theta \right) \sin \left( \theta \right) }{\sqrt{r^{2}\cos
^{2}\left( \theta \right) +r^{2}\sin ^{2}\left( \theta \right) }}\quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^{2}\cos \left( \theta \right) \sin \left(
\theta \right) }{\left\vert r\right\vert } \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}\left( r\cos \left( \theta \right) \sin \left(
\theta \right) \right) \quad \because r>0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 0,0\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

例(全微分係数)
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるものとします。つまり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つということです。このとき、\(f\)が点\(a\)において全微分可能であり、そこでの全微分係数が微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)と一致することを示します。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert } &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot
h}{\left\vert h\right\vert }\quad \because h\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{\left\vert h\right\vert }-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime }\left(
a\right) \cdot h}{\left\vert h\right\vert } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。つまり、全微分は微分の一般化です。

 

関数は全微分可能であるとは限らない

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能であることを、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -c\cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }=0
\end{equation*}を満たすベクトル\(c\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在することを意味します。以上を踏まえた上で、関数\(f\)は点において全微分可能であるとは限らないことを例を通じて確認します。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\)がそもそも\(f\)の定義域\(X\)の点ではない場合、すなわち\(f\left( a\right) \)が定義されていない場合には\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -c\cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }\)もまた定義不可能です。したがって、そもそも極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -c\cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }
\end{equation*}が定義不可能であり、\(f\)が点\(a\)において全微分可能であるか検討できません。この場合、\(f\)は点\(a\)において全微分可能ではありません。

例(全微分可能ではない)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0,0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されていないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能ではありません。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点では定義されていない場合、すなわちゼロベクトル\(0\)に限りなく近い\(h\)について\(f\left(a+h\right) \)が定義されていない場合、そのような\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right)-c\cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }\)もまた定義不可能です。したがって、そもそも極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -c\cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }
\end{equation*}が定義不可能であるため、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか検討できません。この場合、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。

例(全微分可能ではない)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は点\(\left( 0,0\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)において全微分可能ではありません。なぜなら、\(h_{1}<0\)または\(h_{2}<0\)を満たす任意の\(\left(h_{1},h_{2}\right) \)において\(f\left(0+h_{1},0+h_{2}\right) \)すなわち\(f\left(h_{1},h_{2}\right) \)が定義されていないからです。同様の理由により、\(f\)は\(\left[0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)の任意の境界点において全微分可能ではありません。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合でも、\(f\)は点\(a\)において全微分可能であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(全微分可能ではない)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)の周辺の任意の点において定義されている一方で、点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能ではありません(演習問題)。

 

全微分係数の一意性

関数\(f\)が点\(a\)において全微分可能である場合、そこでの全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は1つのベクトルとして定まります。

命題(全微分係数の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において全微分可能であるとき、全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)は1つの点として定まる。
証明

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全導関数

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }=0
\end{equation*}を満たすベクトル\(f^{\prime}\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)が存在することを意味します。しかも、先に示したように全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は1つの点として定まります。以上を踏まえると、\(f\)が全微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの全微分係数\(f^{\prime }\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)を値として定める多変数のベクトル値関数\begin{equation*}f^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の全導関数(total derivative)と呼び、\begin{equation*}f^{\prime }(x),\quad \frac{df(x)}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(x)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において全微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が全微分可能ではない点が存在する場合、導関数\(f^{\prime }\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の全導関数\(f^{\prime }\)は、もとの関数\(f\)が全微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と全導関数\(f^{\prime }\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において全微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で全微分可能(total differentiable on \(X\))であるとか全微分可能である(total differentiable)などと言います。

 

演習問題

問題(全微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\vert xy\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において全微分可能でしょうか。全微分可能である場合には全微分係数\(f^{\prime }\left(0,0\right) \)を求めてください。
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問題(全微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において全微分可能ではないことを証明してください。
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次回は全微分性と偏微分の関係について解説します。

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