多変数関数の全微分の定義

全微分を導入する動機

1変数関数は微分可能な点において連続であることが保証されます。一方、多変数関数は偏微分可能な点や方向微分可能な点において連続であるとは限りません。偏微分は特定の変数だけを動かす状況を想定した微分概念であり、方向微分はすべての変数を特定の直線に沿って動かす状況を想定した微分概念です。一方、多変数関数の連続性はすべての変数を任意の経路に沿って動かす状況を想定した概念です。したがって、多変数関数に関して微分可能性から連続性を保証するためには、偏微分や方向微分とは異なり、すべての変数を任意の経路に沿って動かす状況を想定した新たな微分概念が要請されます。このような微分概念を全微分（total differential）と呼びます。

では、全微分をどのような形で定義すればよいでしょうか。以下では、1変数関数の微分可能性について復習しながら、それを一般化する形で多変数関数に関する全微分概念を定義します。

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)を任意に選びます。関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から\(h\not=0\)だけ動かした場合の\(f\left( x\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)の場合の極限をとります。この極限が有限な実数として定まる場合、その極限を、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}で表記し、これを\(f\)の点\(a\)における微分係数と呼びます。関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であることとは、そこでの微分係数\(f^{\prime }\left(a\right) \)が有限な実数として定まることを意味します。

多変数関数の全微分可能性を同様の形で定義できるでしょうか。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は定義域の要素であるそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を1つずつ定めます。その上で、\(f\)の定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)を任意に選びます。\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から\(\boldsymbol{h}\not=\left( 0,\cdots ,0\right) \)だけ動かした場合の\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\boldsymbol{h}}=\frac{f\left( a_{1}+h_{1},\cdots
,a_{n}+h_{n}\right) -f\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) }{\left(
h_{1},\cdots ,h_{n}\right) }
\end{equation*}となります。この平均変化率の分子\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right)
=f\left( a_{1}+h_{1},\cdots ,a_{n}+h_{n}\right) -f\left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right)
\end{equation*}は実数である一方で、分母\begin{equation*}
\boldsymbol{h}=\left( h_{1},\cdots ,h_{n}\right)
\end{equation*}はベクトルですが、実数をベクトルで割る演算は定義されていないため、そもそも上のような形で平均変化率を定義できません。平均変化率が定義不可能であるならば、平均変化率の極限として全微分を定義することはできません。したがって、多変数関数については、平均変化率の極限とは異なる形で全微分を定義する必要があります。

全微分の定義

1変数関数に話を戻します。1変数関数の微分可能性は高位の無限小を用いて表現することもできます。具体的には、1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられたとき、これに対して、\begin{equation}f\left( x\right) -f\left( a\right) -c\left( x-a\right) =o\left( x-a\right)
\quad \left( x\rightarrow a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす有限な実数\(c\in \mathbb{R} \)が存在することは、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件であるとともに、以下の関係\begin{equation*}c=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(f^{\prime }\left( a\right) \)は点\(a\)における\(f\)の微分係数です。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であることとは、変数\(x\)に関する関数\begin{equation}f\left( x\right) -f\left( a\right) -c\left( x-a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が、同じく変数\(x\)に関する関数\begin{equation}x-a \quad \cdots (3)
\end{equation}と比べて点\(a\)において高位の無限小になるような有限な実数\(c\)が存在することとして定義されるということです。\(\left( 2\right) \)は、それぞれの点\(x\)に対して関数\(f\left( x\right) \)が定める値と関数\(f\left( a\right) +c\cdot \left( x-a\right) \)が定める値の誤差であり、\(\left( 3\right) \)は点\(x\)が点\(a\)からどれくらい離れているかを表す指標です。したがって\(\left(1\right) \)が成り立つこととは、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +c\left( x-a\right)
\end{equation*}という近似関係が成立することを意味します。加えて、\begin{equation*}
c=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}であることを踏まえると、先の近似式を、\begin{equation*}
f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \left(
x-a\right)
\end{equation*}と表現できます。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であることとは、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、関数\(f\)を変数\(x\)に関する\(1\)次関数\begin{equation*}f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \left( x-a\right)
\end{equation*}で近似できることを意味します。

高位の無限小を用いた微分可能性の定義には平均変化率は登場しないため、多変数関数に対しても同様の考え方を適用できます。つまり、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)が与えられたとき、これに対して、\begin{equation}f\left( \boldsymbol{x}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) -\boldsymbol{c}\cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right) =o\left( \left\Vert
\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert \right) \quad \left( \boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たすベクトル\(\boldsymbol{c}\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在する場合には、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において全微分可能であるものと定義するということです。その上で、\(f\)の点\(\boldsymbol{a}\)における全微分係数を、\begin{equation*}f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) =\boldsymbol{c}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と定義します。つまり、多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において全微分可能であることとは、変数\(\boldsymbol{x}\)に関する多変数関数\begin{equation}f\left( \boldsymbol{x}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) -\boldsymbol{c}\cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}が、同じく変数\(\boldsymbol{x}\)に関する多変数関数\begin{equation}\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}} \quad \cdots (6)
\end{equation}と比べて点\(\boldsymbol{a}\)において高位の無限小になるようなベクトル\(\boldsymbol{c}\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在することとして定義されるということです。\(\left( 5\right) \)は、それぞれの点\(\boldsymbol{x}\)に対して関数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が定める値と関数\(f\left( \boldsymbol{a}\right) +\boldsymbol{c}\cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right) \)が定める値の誤差であり、\(\left( 6\right) \)は点\(\boldsymbol{x}\)が点\(\boldsymbol{a}\)からどれくらい離れているかを表す指標です。したがって\(\left( 4\right) \)が成り立つこととは、点\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近い周辺の任意の点\(\boldsymbol{x}\)において、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) \approx f\left( \boldsymbol{a}\right) +\boldsymbol{c}\cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}という近似関係が成立することを意味します。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{c}=f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}であることを踏まえると、先の近似式を、\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{x}\right) \approx f\left( \boldsymbol{a}\right)
+f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}と表現できます。つまり、多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において全微分可能であることとは、点\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近い周辺の任意の点\(\boldsymbol{x}\)において、多変数関数\(f\)を変数\(\boldsymbol{x}\)に関する多変数関数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}\right) +f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot
\left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}で近似できることを意味します。これを点\(\boldsymbol{a}\)における\(f\)の1次のテイラー近似多項式（1st degree Taylor approximating polynomial of \(f\) at \(\boldsymbol{a}\)）と呼びます。

全微分係数\(f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は\(n\)次元ベクトルであるため、その成分を明示したい場合には、\begin{equation*}f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left( f_{1}^{\prime }\left(
a_{1},\cdots ,a_{n}\right) ,\cdots ,f_{n}^{\prime }\left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) \right)
\end{equation*}と表記するものと定めます。以上の表記を踏まえた上で、先の近似多項式\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{a}\right) +f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot
\left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}をベクトルの成分を明示する形で表現するのであれば、\begin{eqnarray*}
&&f\left( \boldsymbol{a}\right) +f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right)
\cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right) \\
&=&f\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) +f^{\prime }\left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) \cdot \left( \left( x_{1},\cdots x_{n}\right) -\left(
a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \right) \\
&=&f\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) +\left( f_{1}^{\prime }\left(
a_{1},\cdots ,a_{n}\right) ,\cdots ,f_{n}^{\prime }\left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) \right) \cdot \left( \left( x_{1},\cdots x_{n}\right) -\left(
a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \right) \\
&=&f\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) +\left( f_{1}^{\prime }\left(
a_{1},\cdots ,a_{n}\right) ,\cdots ,f_{n}^{\prime }\left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) \right) \cdot \left( x_{1}-a_{1},\cdots ,x_{n}-a_{n}\right)
\quad \because \text{ベクトル差の定義} \\
&=&f\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) +f_{1}^{\prime }\left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) \left( x_{1}-a_{1}\right) +\cdots +f_{n}^{\prime }\left(
a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \left( x_{n}-a_{n}\right) \quad \because \text{内積の定義} \\
&=&f\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) +\sum_{i=1}^{n}f_{i}^{\prime }\left(
a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \left( x_{i}-a_{i}\right)
\end{eqnarray*}となります。これは変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する1次の多項式関数です。以上を踏まえた上で、先の近似式\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) \approx f\left( \boldsymbol{a}\right)
+f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}を成分を明示する形で表現すると、\begin{equation*}
f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \approx f\left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) +\sum_{i=1}^{n}f_{i}^{\prime }\left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) \left( x_{i}-a_{i}\right)
\end{equation*}となります。

議論を整理しましょう。多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)が与えられているものとします。このとき、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) -f^{\prime
}\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right) =o\left( \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert \right)
\quad \left( \boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) -f\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
-\sum_{i=1}^{n}f_{i}^{\prime }\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
&=&o\left( \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}\right) \quad
\left( \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \rightarrow \left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) \right)
\end{eqnarray*}を満たす\(n\)次元ベクトル\begin{equation*}f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left( f_{1}^{\prime }\left(
a_{1},\cdots ,a_{n}\right) ,\cdots ,f_{n}^{\prime }\left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が存在する場合には、このベクトル\(f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \)を関数\(f\)の点\(\boldsymbol{a}\)における全微分係数（total diferential coefficient of \(f\)at \(\boldsymbol{a}\)）と呼びます。\(f\)の点\(\boldsymbol{a}\)における全微分係数\(f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \)を、\begin{equation*}\frac{df\left( \boldsymbol{a}\right) }{d\boldsymbol{x}},\quad \frac{d}{d\boldsymbol{x}}f\left( \boldsymbol{a}\right) ,\quad \left. \frac{df\left(
\boldsymbol{x}\right) }{d\boldsymbol{x}}\right\vert _{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}
\end{equation*}などと表記することもできます。全微分係数\(f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において全微分可能（total differentiable at \(\boldsymbol{a}\)）であると言います。

全微分の代替的な定義

多変数関数の全微分可能性を以下のように表現することもできます。

以上の命題より、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(\boldsymbol{a}\in X\)において全微分可能であることを検証するためには以下の手順を踏むことになります。

1. 全微分係数となり得るベクトル\(f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)の候補を何らかの手段を通じて特定する。以降ではこのベクトルを、\begin{equation*}f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left( f_{1}^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \cdots ,f_{n}^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right)
   \right) \in \mathbb{R} ^{n}
   \end{equation*}で表記する。
2. 問題としている点\(\boldsymbol{a}\)および全微分係数の候補であるベクトル\(f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \)から、\begin{equation}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) -f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{h}}{\left\Vert \boldsymbol{h}\right\Vert } \quad \cdots (1)\end{equation}を構成する。内積およびノルムの定義より、これを、\begin{equation*}
   \frac{f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) -\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right)
   h_{i}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}h_{i}^{2}}}
   \end{equation*}と具体的に表現できる。
3. \(\left( 1\right) \)をベクトル\(\boldsymbol{h}=\left( h_{1},\cdots ,h_{n}\right) \)を変数として持つ多変数関数とみなした上で、\(\boldsymbol{h}\rightarrow \boldsymbol{0}\)すなわち\(\left(h_{1},\cdots ,h_{n}\right) \rightarrow \left( 0,\cdots ,0\right) \)の場合の極限をとる。その上で、\begin{equation*}\lim_{\boldsymbol{h}\rightarrow \boldsymbol{0}}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) -f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{h}}{\left\Vert \boldsymbol{h}\right\Vert }=0
   \end{equation*}が成り立つことを示す。

全微分係数の候補を特定する方法については後述します。

全微分可能な点の候補に関する留意点

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(\boldsymbol{a}\in X\)における全微分可能性を検証する際に、\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)の周辺の任意の点において定義されていることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。

関数\(f\)の点\(\boldsymbol{a}\)において全微分可能であることとは、以下の関係\begin{equation*}\lim_{\boldsymbol{h}\rightarrow \boldsymbol{0}}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) -f^{\prime }\left(
\boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{h}}{\left\Vert \boldsymbol{h}\right\Vert }=0
\end{equation*}を満たす有限なベクトル\(f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)が存在することを意味します。以上の関係が成り立つこととは、\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\boldsymbol{h}}\)を変数\(\boldsymbol{h}=\left( h_{1},\cdots ,h_{n}\right) \)に関する多変数関数とみなしたとき、\(\boldsymbol{h}\)がどのような経路で点\(\boldsymbol{0}=\left( 0,\cdots ,0\right) \)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left(\boldsymbol{a}\right) -f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{h}}{\left\Vert \boldsymbol{h}\right\Vert }\)が必ずゼロへ収束することを意味します。ただ、そもそも以上の検証を行うためには、\(\boldsymbol{h}\)がどのような経路をたどって点\(\boldsymbol{0}\)へ限りなく近づく場合にも、その経路上の任意の点\(\boldsymbol{h}\)において\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right)-f^{\prime }\left(\boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{h}}{\left\Vert \boldsymbol{h}\right\Vert }\)が定義されている必要があります。言い換えると、点\(\boldsymbol{0}\)に限りなく近い任意の点\(\boldsymbol{h}\)において\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) -f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{h}}{\left\Vert \boldsymbol{h}\right\Vert }\)が定義されている必要があるということです。関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)の周辺の任意の点において定義されている場合、点\(\boldsymbol{0}\)に限りなく近い任意の点\(\boldsymbol{h}\)において\(f\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) \)が定義されていることになるため、そのような任意の点\(\boldsymbol{h}\)において\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left(\boldsymbol{a}\right) -f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{h}}{\left\Vert \boldsymbol{h}\right\Vert }\)もまた定義されていることになります。したがってこの場合、\(\boldsymbol{h}\rightarrow \boldsymbol{0}\)のときに\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) -f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{h}}{\left\Vert \boldsymbol{h}\right\Vert }\)がゼロへ収束するか検証できます。

関数は全微分可能であるとは限らない

多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されていない場合、すなわち\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)が定義されていない場合には\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) -f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{h}}{\left\Vert \boldsymbol{h}\right\Vert }\)もまた定義されていないため、この場合には\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において全微分可能であるか検証できず、したがって\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において全微分可能ではありません。つまり、関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において全微分可能ではないということです。

多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されている一方で、点\(\boldsymbol{a}\)の周辺の任意の点において定義されているとは言えない場合には、ゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\)に限りなく近い任意の点\(\boldsymbol{h}\)において\(f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) \)が定義されているとは言えません。すると、ゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\)に限りなく近い任意の点\(\boldsymbol{h}\)において\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right)
-f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{h}}{\left\Vert
\boldsymbol{h}\right\Vert }\)が定義されているとも言えず、この場合には\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において全微分可能であるか検証できないため、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において全微分可能ではありません。

多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されており、なおかつ点\(\boldsymbol{a}\)の周辺の任意の点において定義されている場合においても、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において全微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

全微分係数の一意性

多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において全微分可能である場合、そこでの全微分係数\(f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は1つの有限なベクトルとして定まります。

全導関数

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)において全微分可能であることとは、以下の条件\begin{equation*}\lim_{\boldsymbol{h}\rightarrow \boldsymbol{0}}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) -f^{\prime }\left(
\boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{h}}{\left\Vert \boldsymbol{h}\right\Vert }=0
\end{equation*}を満たすベクトル\(f^{\prime}\left( \boldsymbol{a}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)が存在することを意味します。しかも、先に示したように全微分係数\(f^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は1つのベクトルとして定まります。以上を踏まえると、\(f\)が全微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記する場合、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in Y\)に対して、そこでの全微分係数\(f^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)を値として定める多変数のベクトル値関数\begin{equation*}f^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の全導関数（total derivative）と呼び、\begin{equation*}f^{\prime }(\boldsymbol{x}),\quad \frac{df(\boldsymbol{x})}{d\boldsymbol{x}},\quad \frac{d}{d\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x})
\end{equation*}などで表記します。

一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において全微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が全微分可能ではない点が存在する場合、導関数\(f^{\prime }\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の全導関数\(f^{\prime }\)は、もとの関数\(f\)が全微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と全導関数\(f^{\prime }\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において全微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で全微分可能（total differentiable on \(X\)）であるとか全微分可能である（total differentiable）などと言います。

演習問題