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多変数関数の微分

多変数関数の全微分の定義

目次

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全微分を導入する動機

1変数関数は微分可能な点において連続であることが保証されます。一方、多変数関数は偏微分可能な点や方向微分可能な点において連続であるとは限りません偏微分は特定の変数だけを動かす状況を想定した微分概念であり、方向微分はすべての変数を特定の経路に沿って動かす状況を想定した微分概念です。一方、多変数関数の連続性はすべての変数を任意の経路に沿って動かす状況を想定した概念です。したがって、多変数関数に関して微分可能性から連続性を保証するためには、偏微分や方向微分とは異なり、すべての変数を任意の経路に沿って動かす状況を想定した新たな微分概念が要請されます。このような微分概念を全微分(total differential)と呼びます。

では、全微分をどのような形で定義すればよいでしょうか。以下では、1変数関数の微分可能性について復習しながら、それを一般化する形で多変数関数に関する全微分概念を定義します。

 

平均変化率の極限としての微分

1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から\(h\not=0\)だけ動かしたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとります。この極限が有限な実数として定まる場合、その極限を、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}で表記し、これを\(f\)の点\(a\)における微分係数と呼びます。関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であることとは、そこでの微分係数\(f^{\prime }\left(a\right) \)が有限な実数として定まることを意味します。

多変数関数の全微分可能性を同様の形で定義できるでしょうか。多変数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から\(h\not=\left( 0,\cdots,0\right) \)だけ動かしたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}となります。ただ、分子\(f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)は実数として定まる一方で、分母\(h\)は\(n\)次元のベクトルです。実数をベクトルで割る演算は定義されていないため、そもそも上の平均変化率をとることができません。平均変化率が定義不可能であるならば、平均変化率の極限として全微分を定義することはできません。したがって、多変数関数については、平均変化率の極限とは異なる形で全微分を定義する必要があります。

例(多変数関数に関する平均変化率)
2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(\left(a_{1},a_{2}\right) \in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。\(f\)の変数\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)を点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)から\(\left(h_{1},h_{2}\right) \not=\left( 0,0\right) \)だけ動かしたときの\(f\left( x_{1},x_{2}\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( \left( a_{1},a_{2}\right) +\left( h_{1},h_{2}\right) \right)
-f\left( a_{1},a_{2}\right) }{\left( h_{1},h_{2}\right) }=\frac{f\left(
a_{1}+h_{1},a_{2}+h_{2}\right) -f\left( a_{1},a_{2}\right) }{\left(
h_{1},h_{2}\right) }
\end{equation*}となります。分子\(f\left(a_{1}+h_{1},a_{2}+h_{2}\right) -f\left( a_{1},a_{2}\right) \)は実数ですが分母\(\left( h_{1},h_{2}\right) \)は2次元ベクトルであるため、上のような平均変化率は定義不可能です。したがって、平均変化率の極限として2変数関数の全微分を定義することはできません。

 

無限小を用いた微分可能性の定義

1変数関数に話を戻します。1変数関数の微分可能性は高位の無限小を用いて表現することもできます。具体的には、1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域上の点\(a\in X\)について、\begin{equation}f\left( x\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left(
x-a\right) =o\left( x-a\right) \quad \left( x\rightarrow a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす有限な実数\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \)が存在することは、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件です。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であることとは、変数\(x\)に関する関数\begin{equation}f\left( x\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left(
x-a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が、同じく変数\(x\)に関する関数\begin{equation}x-a \quad \cdots (3)
\end{equation}と比べて点\(a\)において高位の無限小になるような有限な実数\(f^{\prime}\left( a\right) \)が存在することとして定義されるということです。\(\left( 2\right) \)は、それぞれの点\(x\)に対して関数\(f\)が定める値と1次関数\(f\left( a\right) +f^{\prime}\left( a\right) \cdot \left( x-a\right) \)が定める値の誤差であり、\(\left(3\right) \)は点\(x\)が点\(a\)からどれくらい離れているかを表す指標です。したがって\(\left( 1\right) \)が成り立つこととは、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right)
\end{equation*}という近似関係が成立することを意味します。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であることとは、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、関数\(f\)を変数\(x\)に関する\(1\)次関数\begin{equation*}f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right)
\end{equation*}で近似できることを意味します。

高位の無限小を用いた微分可能性の定義には平均変化率は登場しないため、多変数関数に対しても同様の考え方を適用できます。つまり、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域上の点であるベクトル\(a\in X\)に対して、\begin{equation}f\left( x\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left(
x-a\right) =o\left( \left\Vert x-a\right\Vert \right) \quad \left(
x\rightarrow a\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たす有限なベクトル\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)が存在する場合には、\(f\)は点\(a\)において全微分可能であるものと定義するということです。つまり、多変数関数\(f\)が点\(a\)において全微分可能であることとは、変数\(x\)に関する関数\begin{equation}f\left( x\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left(
x-a\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}が、同じく変数\(x\)に関する関数\begin{equation}\left\Vert x-a\right\Vert \quad \cdots (6)
\end{equation}と比べて点\(a\)において高位の無限小になるような有限なベクトル\(f^{\prime}\left( a\right) \)が存在することとして定義されるということです。\(\left( 5\right) \)は、それぞれの点\(x\)に対して関数\(f\)が定める値と1次関数\(f\left( a\right) +f^{\prime}\left( a\right) \cdot \left( x-a\right) \)が定める値の誤差であり、\(\left(6\right) \)は点\(x\)が点\(a\)からどれくらい離れているかを表す指標です。したがって\(\left( 4\right) \)が成り立つこととは、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right)
\end{equation*}という近似関係が成立することを意味します。ベクトルである\(f^{\prime }\left( a\right) \)と\(x\)および\(a\)の第\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分を\(f_{i}^{\prime }\left( a\right) \)と\(x_{i}\)および\(a_{i}\)でそれぞれ表記するのであれば、内積の定義より、上の近似式を、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f_{1}^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x_{1}-a_{1}\right) +\cdots +f_{n}^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x_{n}-a_{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +\sum_{i=1}^{n}f_{i}^{\prime
}\left( a\right) \cdot \left( x_{i}-a_{i}\right)
\end{equation*}と表現できます。つまり、多変数関数\(f\)が点\(a\)において全微分可能であることとは、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、関数\(f\)を変数\(x_{1},\cdots,x_{n}\)に関する\(1\)次の多項式関数\begin{equation*}f\left( a\right) +\sum_{i=1}^{n}f_{i}^{\prime }\left( a\right) \cdot \left(
x_{i}-a_{i}\right)
\end{equation*}で近似できることを意味します。

例(無限小を用いた多変数関数の微分)
2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(\left(a_{1},a_{2}\right) \in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)が点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)において全微分可能であることとは、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) -f\left( a_{1},a_{2}\right) -f^{\prime }\left(
a_{1},a_{2}\right) \cdot \left( x_{1}-a_{1},x_{2}-a_{2}\right) =o\left(
\left\Vert \left( x_{1},x_{2}\right) -\left( a_{1},a_{2}\right) \right\Vert
\right) \quad \left( \left( x_{1},x_{2}\right) \rightarrow \left(
a_{1},a_{2}\right) \right)
\end{equation*}を満たす有限なベクトル\(f^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)が存在することを意味します。この場合、点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)に限りなく近い周辺の任意の点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)において、\begin{eqnarray*}f\left( x_{1},x_{2}\right) &\approx &f\left( a_{1},a_{2}\right) +f^{\prime
}\left( a_{1},a_{2}\right) \cdot \left( x_{1}-a_{1},x_{2}-a_{2}\right) \\
&=&f\left( a_{1},a_{2}\right) +f_{1}^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right)
\cdot \left( x_{1}-a_{1}\right) +f_{2}^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right)
\cdot \left( x_{2}-a_{2}\right)
\end{eqnarray*}という近似式が成立します。つまり、2変数関数\(f\)が点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)において全微分可能であることとは、点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)に限りなく近い周辺の任意の点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)において、関数\(f\)を変数\(x_{1},x_{2}\)に関する\(1\)次の多項式関数\begin{equation*}f\left( a_{1},a_{2}\right) +f_{1}^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right) \cdot
\left( x_{1}-a_{1}\right) +f_{2}^{\prime }\left( a_{1},a_{2}\right) \cdot
\left( x_{2}-a_{2}\right)
\end{equation*}で近似できることを意味します。

 

全微分係数

議論を整理しましょう。多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。このとき、\begin{equation*}f\left( x\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left(
x-a\right) =o\left( \left\Vert x-a\right\Vert \right) \quad \left(
x\rightarrow a\right)
\end{equation*}を満たす有限なベクトル\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)が存在する場合には、このベクトル\(f^{\prime }\left(a\right) \)を\(f\)の\(a\)における全微分係数(total diferential coefficient of \(f\) at \(a\))と呼びます。\(f\)の点\(a\)における全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)を、\begin{equation*}\frac{df\left( a\right) }{dx},\quad \frac{d}{dx}f\left( a\right) ,\quad
\left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などと表記することもできます。全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において全微分可能(total differentiable at \(a\))であると言います。

全微分可能性を以下のような形で表現することもできます。

命題(全微分の代替的な定義)
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとする。このとき、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }=0
\end{equation*}を満たす有限なベクトル\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)が存在することは、\(f\)が点\(a\)において全微分可能であるための必要十分条件である。
証明

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以上の命題より、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能であることを検証するためには以下の手順を踏むことになります。

  1. 全微分係数となり得るベクトル\(f^{\prime }\left( a\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)の候補を何らかの手段を通じて特定する。以降ではこのベクトルを、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\left( f_{1}^{\prime }\left( a\right) \cdots,f_{n}^{\prime }\left( a\right) \right)
    \end{equation*}で表記する。
  2. 問題としている点\(a\)および全微分係数の候補であるベクトル\(f^{\prime }\left( a\right) \)から、\begin{equation}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert } \quad \cdots (1)
    \end{equation}を構成する。内積およびノルムの定義より、これを、\begin{equation*}
    \frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right)
    -\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}^{\prime }\left( a\right) h_{i}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}h_{i}^{2}}}
    \end{equation*}と具体的に表現できる。
  3. 構成した\(\left( 1\right) \)をベクトル\(h=\left( h_{1},\cdots ,h_{2}\right) \)を変数として持つ多変数関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)すなわち\(\left(h_{1},\cdots ,h_{n}\right) \rightarrow \left( 0,\cdots ,0\right) \)の場合の極限をとる。その上で、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }=0
    \end{equation*}が成り立つことを示す。

全微分係数の候補を特定する方法については後述します。

例(全微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が点\(\left(0,0\right) \)において全微分可能であることを示します。天下り的ですが、全微分係数の候補として点\(\left( 0,0\right) \)を採用するのであれば、\begin{equation*}\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{f\left(
0+h_{1},0+h_{2}\right) -f\left( 0,0\right) -\left( 0,0\right) \cdot \left(
h_{1},h_{2}\right) }{\left\Vert \left( h_{1},h_{2}\right) \right\Vert }=0
\end{equation*}を示すことが目標になります。\(f\)の定義とノルムの定義より、これは、\begin{equation*}\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{h_{1}h_{2}}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}=0
\end{equation*}となります。\(\left( h_{1},h_{2}\right)\rightarrow \left( 0,0\right) \)のときの極限をとるために極座標を導入します。つまり、\(r>0\)かつ\(0\leq \theta <2\pi \)を満たす\(\left( r,\theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を用いて、\begin{equation}h_{1}=r\cos \left( \theta \right) ,\quad h_{2}=r\sin \left( \theta \right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}とするということです。このとき、\begin{equation}
\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}\rightarrow 0\Leftrightarrow r\rightarrow 0
\quad \cdots (2)
\end{equation}という関係が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{h_{1}h_{2}}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}} &=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^{2}\cos \left( \theta \right) \sin \left( \theta \right) }{\sqrt{r^{2}\cos
^{2}\left( \theta \right) +r^{2}\sin ^{2}\left( \theta \right) }}\quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^{2}\cos \left( \theta \right) \sin \left(
\theta \right) }{\left\vert r\right\vert } \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}\left( r\cos \left( \theta \right) \sin \left(
\theta \right) \right) \quad \because r>0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 0,0\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

例(全微分係数)
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるものとします。つまり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つということです。このとき、\(f\)が点\(a\)において全微分可能であり、そこでの全微分係数が微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)と一致することを示します。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert } &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot
h}{\left\vert h\right\vert }\quad \because h\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{\left\vert h\right\vert }-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime }\left(
a\right) \cdot h}{\left\vert h\right\vert } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。つまり、全微分は微分の一般化です。

 

全微分可能な点の候補に関する留意点

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における全微分可能性を検証する際に、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。

関数\(f\)の点\(a\)において全微分可能であることとは、以下の関係\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }=0
\end{equation*}を満たす有限なベクトル\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)が存在することを意味します。以上の関係が成り立つこととは、\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h=\left( h_{1},\cdots ,h_{n}\right) \)に関する多変数関数とみなしたとき、\(h\)がどのような経路で点\(0=\left( 0,\cdots,0\right) \)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left(a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }\)が必ずゼロへ収束することを意味します。ただ、そもそも以上の検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって点\(0\)へ限りなく近づく場合にも、その経路上の任意の点\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }\)が定義されている必要があります。言い換えると、点\(0\)に限りなく近い任意の点\(h\)において\( \frac{f\left( a+h\right)-f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }\)が定義されている必要があるということです。関数\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、点\(0\)に限りなく近い任意の点\(h\)において\(f\left( a+h\right) \)が定義されていることになるため、そのような任意の点\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right)-f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }\)もまた定義されていることになります。したがってこの場合、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }\)がゼロへ収束するか検証できます。

 

関数は全微分可能であるとは限らない

多変数関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(f\left( a\right) \)が定義されていない場合には\(\frac{f\left( a+h\right)-f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert
h\right\Vert }\)もまた定義されていないため、この場合には\(f\)が点\(a\)において全微分可能であるか検証できず、したがって\(f\)は点\(a\)において全微分可能ではありません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(a\)において全微分可能ではないということです。

例(全微分可能ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0,0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されていないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能ではありません。

多変数関数\(f\)が点\(a\)において定義されている一方で、点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとは言えない場合には、ゼロベクトル\(0\)に限りなく近い任意の点\(h\)において\(f\left( a+h\right) \)が定義されているとは言えません。すると、ゼロベクトル\(0\)に限りなく近い任意の点\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left(a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }\)が定義されているとも言えず、この場合には\(f\)が点\(a\)において全微分可能であるか検証できないため、\(f\)は点\(a\)において全微分可能ではありません。

例(全微分可能ではない関数)
有界な閉区間の直積上に定義された関数\(f:\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能であることを検証するためには、何らかのベクトル\(f^{\prime }\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)のもとで、\begin{equation*}\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{f\left(
\left( 0,0\right) +\left( h_{1},h_{2}\right) \right) -f\left( 0,0\right)
-f^{\prime }\left( 0,0\right) \cdot \left( h_{1},h_{2}\right) }{\left\Vert
\left( h_{1},h_{2}\right) \right\Vert }=0
\en