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DIFFERENTIATION OF SCALAR FIELDS

全微分係数

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全微分係数

復習になりますが、1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能である場合、\(f\)は\(a\)において連続であることが保証されます。一方、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において偏微分可能である場合、\(f\)は\(a\)において必ずしも連続ではありません。同様に、スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において任意の方向に方向微分可能である場合にも、\(f\)は\(a\)において連続であるとは限りません。したがって、一般のスカラー場に関して微分可能性から連続性を導くためには、偏微分や方向微分とは異なる微分概念が必要になります。では、そのような微分概念をどのような形で定義すればよいでしょうか。以下では1変数関数の微分可能性について振り返りながら、それを一般化する形でスカラー場に関する微分概念を定義します。

1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているものとします。この関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であることの意味は様々な形で表現できますが、もっとも基本的な定義は、点\(a\)における微分係数に相当する有限な実数\begin{equation}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}が存在するというものです。ただ、この定義をそのままスカラー場に対して適用できません。なぜなら、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in X\)と非ゼロベクトル\(h=\left( h_{1},\cdots ,h_{2}\right) \not=0\)が与えられたとき、上の定義中の平均変化率に相当する、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとると、その分子\(f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \)は実数である一方で分母\(h\)はベクトルですが、実数をベクトルで割る演算はそもそも定義されておらず、したがって上の平均変化率もまた定義不可能だからです。したがって、\(\left( 1\right) \)を拡張する形でスカラー場の微分を定義することはできません。

ただ、1変数関数の微分可能性は別の形で表現することもできます。具体的には、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とその定義域上の点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( a+h\right) =f\left( a\right) +c\cdot h+o\left( h\right) \quad \left(
h\rightarrow 0\right)
\end{equation*}を満たす有限な実数\(c\in \mathbb{R} \)が存在することは、\(f\)が\(a\)において微分可能であるための必要十分条件であり、さらにこのとき、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =c
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(f\)が点\(a\)において微分可能であることとは、ある有限な実数\(c\)が存在して、点\(0\)において\(f\left( a+h\right) -\left[ f\left( a\right) +c\cdot h\right] \)が\(h\)よりも高位の無限小になることを意味します。言い換えると、\(f\)は点\(a\)において微分可能であることとは、\(0\)に十分近い任意の\(h\)において\(f\left( a+h\right) \)を\(h\)に関する1次式\begin{equation*}
f\left( a\right) +c\cdot h
\end{equation*}で近似できることを意味します。

以上を踏まえた上で、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in X\)において微分可能であることを以下のように定義します。つまり、ベクトル\(h=\left( h_{1},\cdots ,h_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)のノルム\(\left\Vert h\right\Vert \)は実数を値としてとり得る変数であることを踏まえた上で、\(0\)に十分近い任意の\(\left\Vert h\right\Vert \)において\(f\left( a+h\right) \)を\(h\)に関する1次式\begin{equation*}
f\left( a\right) +c\cdot h=f\left( a\right) +\sum_{i=1}^{n}c_{i}h_{i}
\end{equation*}で近似できるとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるものと定めます。より具体的には、\begin{equation*}
f\left( a+h\right) =f\left( a\right) +c\cdot h+o\left( \left\Vert
h\right\Vert \right) \quad \left( \left\Vert h\right\Vert \rightarrow
0\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left\Vert h\right\Vert \rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -\left[
f\left( a\right) +c\cdot h\right] }{\left\Vert h\right\Vert }=0
\end{equation*}を満たすベクトル\(c\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において微分可能であるものと定義するということです。このような微分概念を全微分(total differential)と呼びます。スカラー場\(f\)は定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能であるとは限りません。つまり、上の関係を満たすベクトル\(c\in \mathbb{R} ^{n}\)は存在するとは限りませんが、仮に存在する場合、このベクトル\(c\)を\(f\)の\(a\)における全微分係数(total diferential coefficient of \(f\) at \(a\))と呼び、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) ,\quad \frac{df\left( a\right) }{dx},\quad \frac{d}{dx}f\left( a\right) ,\quad \left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert
_{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
\lim_{\left\Vert h\right\Vert \rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -\left[
f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot h\right] }{\left\Vert
h\right\Vert }=0
\end{equation*}を満たすものとして全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)は定義されるということです。全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において全微分可能(differentiable at \(a\))であると言います。

ちなみに、ノルムの定性より、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert =0\Leftrightarrow x=0
\end{equation*}という関係が成り立つため、スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において全微分可能であることを、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -\left[ f\left( a\right)
+f^{\prime }\left( a\right) \cdot h\right] }{\left\Vert h\right\Vert }=0
\end{equation*}を満たすベクトル\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)が存在することとして表現することもできます。

例(全微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるものとします。つまり、\begin{equation}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}が存在するということです。このスカラー場\(f\)が点\(a\)において全微分可能であることを示します。そこで、\(c\in \mathbb{R} \)を全微分係数の候補とするならば、\(h\not=0\)について、\begin{equation}
\left\Vert h\right\Vert \rightarrow 0\Leftrightarrow h\rightarrow 0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left\Vert h\right\Vert \rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -\left[
f\left( a\right) +c\cdot h\right] }{\left\Vert h\right\Vert }
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -\left[ f\left( a\right)
+c\cdot h\right] }{h}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ \frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}-\frac{c\cdot h}{h}\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ \frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}-c\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}-\lim_{h\rightarrow 0}c\quad \because \left( 1\right) \\
&=&f^{\prime }\left( a\right) -c\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{equation*}
c=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}であるとき、そしてその場合にのみ\(f\)は点\(a\)において全微分可能であり、\(a\)における微分係数と全微分係数は一致することが明らかになりました。したがって、全微分は微分の一般化です。
例(全微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能であることを示します。全微分係数の候補として点\(\left( 0,0\right) \)を採用します。さらに、\(\left( h_{1},h_{2}\right) \not=\left( 0,0\right) \)を極座標で表示します。つまり、\(r>0\)と\(0\leq \theta <2\pi \)を満たす\(\left( r,\theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を用いて、\begin{equation}
h_{1}=r\cos \theta ,\quad h_{2}=r\sin \theta \quad \cdots (1)
\end{equation}で表すということです。このとき、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( 0+h_{1},0+h_{2}\right) -\left[ f\left( 0,0\right) +\left(
0,0\right) \cdot \left( h_{1},h_{2}\right) \right] }{\left\Vert \left(
h_{1},h_{2}\right) \right\Vert } &=&\frac{f\left( h_{1},h_{2}\right)
-f\left( 0,0\right) }{\left\Vert \left( h_{1},h_{2}\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{h_{1}h_{2}}{\left\Vert \left( h_{1},h_{2}\right) \right\Vert }\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{h_{1}h_{2}}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}\quad \because \text{ノルムの定義} \\
&=&\frac{r^{2}\cos \theta \sin \theta }{\sqrt{r^{2}\cos ^{2}\theta
+r^{2}\sin ^{2}\theta }}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{r^{2}\cos \theta \sin \theta }{\left\vert r\right\vert } \\
&=&r\cos \theta \sin \theta \quad \because r>0
\end{eqnarray*}となります。さらに、\(\left\Vert \left( h_{1},h_{2}\right) \right\Vert =r\)より、\begin{equation*}
\left\Vert \left( h_{1},h_{2}\right) \right\Vert \rightarrow
0\Leftrightarrow r\rightarrow 0
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left\Vert \left( h_{1},h_{2}\right) \right\Vert \rightarrow 0}\frac{f\left( 0+h_{1},0+h_{2}\right) -\left[ f\left( 0,0\right) +\left( 0,0\right)
\cdot \left( h_{1},h_{2}\right) \right] }{\left\Vert \left(
h_{1},h_{2}\right) \right\Vert } &=&\lim_{r\rightarrow 0}\left( r\cos \theta
\sin \theta \right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能であり、そこでの全微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 0,0\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。この例では全微分係数の候補\(\left( 0,0\right) \)を天下り的に導入しましたが、全微分可能なスカラー場の全微分係数の候補を特定する方法については場を改めて解説します。

 

全微分

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において全微分可能である場合、定義より、\begin{equation*}
f\left( a+h\right) =f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
h+o\left( \left\Vert h\right\Vert \right) \quad \left( \left\Vert
h\right\Vert \rightarrow 0\right)
\end{equation*}を満たすベクトル\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)が存在します。ノルムの定性より、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert =0\Leftrightarrow x=0
\end{equation*}という関係が成り立つため、上の関係を、\begin{equation*}
f\left( a+h\right) =f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
h+o\left( \left\Vert h\right\Vert \right) \quad \left( h\rightarrow 0\right)
\end{equation*}と言い換えることができます。つまり、ゼロベクトル\(0\)に十分近い任意のベクトル\(h\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation*}
f\left( a+h\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot h
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \approx f^{\prime }\left( a\right)
\cdot h \quad \cdots (1)
\end{equation}という近似関係が成り立つということです。特に、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\left( f_{1}^{\prime }\left( a\right) ,\cdots
,f_{n}^{\prime }\left( a\right) \right) \\
h &=&\left( h_{1},\cdots ,h_{n}\right)
\end{eqnarray*}とそれぞれ表記するのであれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}
f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \approx f_{1}^{\prime }\left( a\right)
h_{1}+\cdots +f_{n}^{\prime }\left( a\right) h_{n}
\end{equation*}と表現することもできます。いずれにせよ、スカラー場\(f\)が点\(a\)において全微分可能である場合、変数\(x\)の増分\(h\)をゼロベクトルに十分近づければ(\(h\rightarrow 0\))、それに対応する\(f\left( x\right) \)の増分(\(\left( 1\right) \)の左辺)は、全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)と\(x\)の増分の内積(\(\left( 1\right) \)の右辺)として近似できるということです。そこで、その内積を\(f\left( x\right) \)の増分の主要部分(main part)や\(f\)の\(a\)における全微分(total derivative at \(a\))と呼び、これを\(df\)で表記します。つまり、\begin{equation}
df =f^{\prime }\left( a\right) \cdot h=f_{1}^{\prime }\left(
a\right) h_{1}+\cdots +f_{n}^{\prime }\left( a\right) h_{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(h\)がゼロベクトル\(0\)に十分近い場合には、\begin{equation*}
f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \approx df
\end{equation*}という近似関係が成り立つということです。一方、それぞれの変数\(x_{i}\)に関する関数\(x_{i}\)に関して、その微分は、\begin{equation*}
dx_{i}=h_{i}
\end{equation*}となるため、これを使って\(\left( 2\right) \)を書き換えると、\begin{equation*}
df =f^{\prime }\left( a\right) \cdot h=f_{1}^{\prime }\left(
a\right) dx_{1}+\cdots +f_{n}^{\prime }\left( a\right) dx_{n}
\end{equation*}という関係を得ます。

 

演習問題

問題(全微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\vert xy\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において全微分可能であるかどうか、理由とともに答えてください。
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問題(全微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R}^{2}\)において全微分可能ではないことを証明してください。
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次回は全微分可能性と連続性の関係について解説します。

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