多変数関数の定数倍の全微分
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定める新たな多変数関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。
関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、その点\(a\)において全微分可能であるならば、そこでの全微分係数に相当する有限な点\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\nabla f\left( a\right) \quad \because \text{全微分と偏微分の関係} \\
&=&\left. \left( \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right) \right\vert _{x=a}
\\
&\in &\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}が存在します。以上の条件が成り立つとき、関数\(cf\)もまた点\(a\)において全微分可能であることが保証されるとともに、そこでの全微分係数が、\begin{eqnarray*}\left( cf\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&cf^{\prime }\left( a\right)
\\
&=&c\nabla f\left( a\right) \\
&=&c\left. \left( \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right) \right\vert
\end{eqnarray*}として定まることが保証されます。
\\
&=&c\nabla f\left( a\right)
\end{eqnarray*}を満たす。
つまり、点\(a\)において全微分可能な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた点\(a\)において全微分可能であることが保証されるとともに、点\(a\)における\(f\)の全微分係数すなわち勾配ベクトルを定数\(c\)倍すれば、点\(a\)における\(cf\)の全微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)の全微分可能性を検討する際には、全微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が全微分可能であることを検討すればよいということになります。
\\
&=&c\nabla f\left( x\right) \\
&=&c\left( \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\quad \because \text{関数の定数倍の全微分} \\
&=&-\left( \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right) \\
&=&\left( -\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,-\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数の定数倍であるため全微分可能であり、全導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x,y\right) &=&-\frac{1}{2}\nabla \left(
x^{2}+y^{3}+1\right) \quad \because \text{関数の定数倍の全微分} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \frac{\partial }{\partial x}\left(
x^{2}+y^{3}+1\right) ,\frac{\partial }{\partial y}\left(
x^{2}+y^{3}+1\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 2x,3y^{2}\right) \\
&=&\left( -x,-\frac{3}{2}y^{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の単項式関数と正弦関数の合成関数の定数倍であるため全微分可能であり、全導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{1}{\pi }\nabla \sin \left(
x^{2}y^{3}\right) \quad \because \text{関数の定数倍の全微分} \\
&=&\frac{1}{\pi }\left( \frac{\partial }{\partial x}\sin \left(
x^{2}y^{3}\right) ,\frac{\partial }{\partial y}\sin \left( x^{2}y^{3}\right)
\right) \\
&=&\frac{1}{\pi }\left( 2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right)
,3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) \right) \\
&=&\left( \frac{2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi },\frac{3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi }\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。全導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。全導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。全導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。全導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。全導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。全導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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