偏微分可能な多変数関数は連続であるとは限らない
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(f\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定めるということです。
多変数関数\(f\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において偏微分可能であることとは、点\(a\)において任意の変数に関して偏微分可能であること、すなわち、点\(a\)における勾配ベクトル\begin{equation*}\nabla f\left( a\right) =\left( \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial
x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{equation*}が有限なベクトルとして定まることを意味します。
一方、多変数関数が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において連続であることとは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
1変数関数は微分可能な点において連続であることが保証されますが、多変数関数の偏微分可能性と連続性の間にも同様の関係が成り立つのでしょうか。まずは偏微分可能かつ連続な多変数関数の例を挙げます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y}\right) \quad
\because \text{勾配ベクトルの定義} \\
&=&\left( \frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}+xy+y^{2}\right) ,\frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}+xy+y^{2}\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 2x+y,x+2y\right)
\end{eqnarray*}を定めます。また、\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。以上より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点において偏微分可能かつ連続であることが明らかになりました。
実際には、偏微分可能な多変数関数は連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において偏微分可能であり、点\(\left( 0,0\right) \)における変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( 0,0\right) }{\partial x} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}\quad \because \text{偏微分係数の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ \frac{\left( 0+h\right) 0}{\left(
0+h\right) ^{2}+0^{2}}-0\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ 0-0\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、点\(\left( 0,0\right) \)における変数\(y\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( 0,0\right) }{\partial y} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0,0+h\right) -f\left( 0,0\right) }{h}\quad \because \text{偏微分係数の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ \frac{0\left( 0+h\right) }{0^{2}+\left( 0+h\right) ^{2}}-0\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ 0-0\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。その一方で、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。実際、\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}である一方で、変数\(\left( x,y\right) \)が以下の集合\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら\(\left( 0,0\right) \)へ限りなく近づく場合、\begin{eqnarray*}\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) &\Leftrightarrow &\left(
x,x\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \quad \because x=y \\
&\Leftrightarrow &x\rightarrow 0
\end{eqnarray*}であることに留意すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}}{x^{2}+x^{2}}\right) \quad
\because x=y \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
\not=f\left( 0,0\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではないことが明らかになりました。
上の例が示唆するように、多変数関数\(f\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)が定義域上の点において偏微分可能である場合、\(f\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)はその点において連続であるとは限りません。偏微分は多変数関数\(f\left( x_{1},\cdots,x_{n}\right) \)をあたかも特定の変数\(x_{k}\)に関する1変数関数とみなした上で\(x_{k}\)を動かした場合の\(f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)の挙動に関する性質である一方で、多変数関数\(f\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)の連続性はすべての変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を同時かつ任意の経路に沿って動かした場合の\(f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)の挙動に関する性質であるため、偏微分可能性は連続性を必ずしも含意しません。多変数関数\(f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)に関して微分可能性から連続性を導くためには、偏微分とは異なる微分概念、すなわちすべての変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を同時かつ任意の経路にそって動かす状況を想定した微分概念が必要です。これを全微分と呼びますが、詳しくは場を改めて解説します。
偏微分可能な多変数関数から生成される1変数関数の連続性
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}X_{k}\subset \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。つまり、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in X\Leftrightarrow x_{k}\in X_{k}
\end{equation*}を満たすものとして\(X_{k}\)を定義するということです。変数\(x_{k}\)以外のすべての変数からなる組を、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{-k}=\left( x_{1},\cdots ,x_{k-1},x_{k+1},\cdots
,x_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、\(\boldsymbol{x}_{-k}\)がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}X_{-k}=X_{1}\times \cdots X_{k-1}\times X_{k+1}\times \cdots X_{n}
\end{equation*}で表記します。\(\boldsymbol{x}_{-k}\in X_{-k}\)です。このとき、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{k},\boldsymbol{x}_{-k}\right) \in X_{k}\times
X_{-k}=X
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
多変数関数\(f\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な定義域上の点\(\boldsymbol{a}=\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in X\)を選びます。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\begin{equation}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{k}+h,\boldsymbol{a}_{-k}\right)
-f\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{h} \quad \cdots (1)
\end{equation}が有限な実数として定まるということです。以上の点\(\boldsymbol{a}\)を念頭においた上で、それぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定める変数\(x_{k}\)に関する1変数関数\begin{equation*}f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) :\mathbb{R} \supset X_{k}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、偏微分と微分の関係より、この1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)の点\(a_{k}\)における微分係数について以下の関係\begin{equation*}\left. \frac{df\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{dx_{k}}\right\vert
_{x_{k}=a_{k}}=\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、多変数関数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることと、1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)が点\(a_{k}\)において微分可能であることは必要十分であるとともに、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数（右辺）と1変数関数\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)の点\(a_{k}\)における微分係数（左辺）は一致するということです。1変数関数は微分可能な点において連続であるため、この場合、1変数関数である\(f\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)は点\(a_{k}\)において連続です。
f\left( x_{k},a_{-k}\right) :\mathbb{R} \supset X_{k}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義する。多変数関数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるならば、1変数関数\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)は点\(a_{k}\)において連続である。
\begin{array}{cc}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この多変数関数\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において偏微分可能である一方で不連続です。以上の点\(\left( 0,0\right) \)を念頭においた上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\left( x,0\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める1変数関数\begin{equation*}f\left( x,0\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、先の命題より、この関数\(f\left( x,0\right) \)は点\(0\)において連続であるはずです。実際、\(f\)の定義より、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x,0\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{x\cdot 0}{x^{2}+0^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right. \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため\(f\left( x,0\right) \)は定数関数です。したがって\(f\left( x,0\right) \)は点\(0\)において連続です。また、それぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して\(f\left( 0,y\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める1変数関数\begin{equation*}f\left( 0,y\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、先の考察より、この関数\(f\left( 0,y\right) \)は点\(0\)において連続であるはずです。実際、\(f\)の定義より、任意の\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( 0,y\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{0\cdot y}{0^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right. \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため\(f\left( 0,y\right) \)は定数関数です。したがって\(f\left( 0,y\right) \)は点\(0\)において連続です。
演習問題
\begin{array}{ll}
\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において偏微分可能である一方で連続ではないことを示してください。
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