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DIFFERENTIATION OF SCALAR FIELDS

偏微分可能性と連続性

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微分と偏微分の関係

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能である場合には、点\(a\)における微分係数\begin{equation*}
\frac{df\left( a\right) }{dx}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in \mathbb{R}\end{equation*}が存在します。関数\(f\)は特別なスカラー場(定義域が\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)もしくはその部分集合であるようなスカラー場)であるため、定義域上の点において偏微分可能であるかどうか検討できます。具体的には、関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x\)に関して偏微分可能である場合には点\(a\)における変数\(x\)に関する偏導関数が存在しますが、これは、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x} &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \because \text{偏微分の定義} \\
&=&\frac{df\left( a\right) }{dx}
\end{eqnarray*}となり、点\(a\)における微分係数と一致します。つまり、関数を議論の対象とする場合、偏微分と微分は実質的に等しいということです。

 

偏微分可能性と連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)で微分可能である場合、\(f\)は\(a\)において連続であることが保証されます。関数を議論の対象とする場合、偏微分と微分が概念として一致することを踏まえると、以上の事実は、関数\(f\)が点\(a\)において偏微分可能であるならば\(f\)は\(a\)において連続であることを意味します。では、この主張は一般のスカラー場についても成立するのでしょうか。つまり、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において偏微分可能である場合、\(f\)は\(a\)において連続であることが保証されるのでしょうか。以下の例が示唆するように、このような関係は成り立つとは限りません。

例(偏微分可能性と連続性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f_{x}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{y^{3}-x^{2}y}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & \left( if\
y\not=0\right) \\
0 & \left( if\ y=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、偏導関数\(f_{y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f_{y}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{x^{3}-xy^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & \left( if\
x\not=0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます(確認してください)。したがって、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において偏微分可能です。一方、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。実際、\(f\)の定義より、\begin{equation*}
f\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ一方で、\(\left( x,y\right) \)を以下のような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}
\left\{ \left( x,y\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら\(\left( 0,0\right) \)へ限りなく近づける場合、\begin{eqnarray*}
\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) &\Leftrightarrow &\left(
x,x\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \quad \because x=y \\
&\Leftrightarrow &x\rightarrow 0
\end{eqnarray*}であることに留意すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}}{x^{2}+x^{2}}\right) \quad
\because x=y \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(f\left( 0,0\right) \)と一致しないため、ゆえに\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。

上の例が示唆するように、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において偏微分可能である場合、\(f\)は\(a\)において連続であるとは限りません。偏微分可能性はスカラー場\(f\)をあたかも特定の変数\(x_{k}\)に関する1変数関数とみなした上で\(x_{k}\)を動かした場合の\(f\left( x\right) \)の挙動に関する性質である一方、スカラー場\(f\)の連続性はすべての変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を同時に動かした場合の\(f\left( x\right) \)の挙動に関する性質であるため、偏微分可能性は連続性を必ずしも含意しません(関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそもそも変数を1つしか持たないため例外)。したがって、一般のスカラー場に関して微分可能性から連続性を導くためには、偏微分とは異なる微分概念、すなわちすべての変数を同時に動かす状況を想定した微分概念が必要になります。これを全微分と呼ぶのですが、全微分に関しては場を改めて解説します。

 

演習問題

問題(偏微分可能性と連続性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)を用いて、偏微分可能性は連続性を必ずしも含意しないことを示してください。
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