多変数関数と1変数関数の合成関数の方向微分
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域と1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の間に、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定める多変数の合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。
関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、その点\(a\)において方向\(e\)に方向微分可能であるならば、そこでの方向微分係数に相当する有限な実数\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) =\left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial e}\right\vert _{x=a}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。加えて、関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、その点\(f\left( a\right) \)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する有限な実数\begin{equation*}g^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) =\left. \frac{dg\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=f\left( a\right) }\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。以上の条件が成り立つとき、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において方向\(e\)に方向微分可能であることが保証されるとともに、そこでの方向微分係数が、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) _{e}^{\prime }\left( a\right) &=&g^{\prime }\left(
f\left( a\right) \right) \cdot f_{e}^{\prime }\left( a\right) \\
&=&\left. \frac{dg\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=f\left( a\right)
}\cdot \left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial e}\right\vert _{x=a}
\end{eqnarray*}として定まることが保証されます。
f\left( a\right) \right) \cdot f_{e}^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
つまり、点\(a\)において方向\(e\)に方向微分可能な多変数関数\(f\)と、点\(f\left( a\right) \)において微分可能な1変数関数\(g\)の合成関数であるような多変数関数\(g\circ f\)が与えられたとき、\(g\circ f\)もまた方向\(e\)に方向微分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の方向微分係数と\(g\)の微分係数の積をとれば\(g\circ f\)の方向微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、2つの関数\(f,g\)の合成関数\(g\circ f\)の方向微分可能性を判定する際には、方向微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それらがそれぞれ必要な点において方向微分・微分可能であることを確認すればよいということになります。
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。ただし、\(Y^{i}\)は\(Y\)の内部です。この場合、点\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(g\)は点\(f\left( x\right) \in Y^{i}\)の周辺の任意の点において定義されていることが保証されます。\(f\)が定義域\(X\)上で方向\(e\)に方向微分可能であり、\(g\)が\(f\left( X\right) \)上で微分可能である場合、先の命題より、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域\(X\)上で方向\(e\)に方向微分可能であり、方向導関数\(\left( g\circ f\right) _{e}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) _{e}^{\prime }\left( x\right) &=&g^{\prime }\left(
f\left( x\right) \right) \cdot f_{e}^{\prime }\left( x\right) \\
&=&\left. \frac{dg\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=f\left( x\right)
}\cdot \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial e}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+y^{2}+1\)と1変数の有理関数\(\frac{1}{z}\)の合成関数であることに注意してください。関数\(x^{2}+y^{2}+1\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で任意の方向\(e\)に方向微分可能であり、関数\(\frac{1}{z}\)は任意の点\(z=x^{2}+y^{2}+1\)において微分可能であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で任意の方向\(e\)に関して偏微分可能であり、方向導関数\(f_{e}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{e}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial e}\left(
\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) \right\vert
_{z=x^{2}+y^{2}+1}\cdot \frac{\partial }{\partial e}\left(
x^{2}+y^{2}+1\right) \quad \because \text{合成関数の方向微分} \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) \right\vert
_{z=x^{2}+y^{2}+1}\cdot \left. \frac{d}{dh}\left( x+he_{1}\right)
^{2}+\left( y+he_{2}\right) ^{2}+1\right\vert _{h=0}\quad \because \text{方向微分と微分の関係} \\
&=&\left. -\frac{1}{z^{2}}\right\vert _{z=x^{2}+y^{2}+1}\cdot \left. 2\left(
x+he_{1}\right) e_{1}+2\left( y+he_{2}\right) e_{2}\right\vert _{h=0} \\
&=&-\frac{1}{\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}\cdot \left(
2xe_{1}+2ye_{2}\right) \\
&=&-\frac{2xe_{1}+2ye_{2}}{\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の単項式関数\(x^{2}y^{3}\)と1変数の正弦関数\(\sin \left( z\right) \)の合成関数であることに注意してください。関数\(x^{2}y^{3}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で任意の方向\(e\)に方向微分可能であり、関数\(\sin \left( z\right) \)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で任意の方向\(b\)に方向微分可能であり、方向導関数\(f_{e}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{e}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial e}\sin \left(
x^{2}y^{3}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\left( \sin \left( z\right) \right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot \frac{\partial }{\partial e}\left( x^{2}y^{3}\right)
\quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\left( \sin \left( z\right) \right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot \left. \frac{d}{dh}\left( x+he_{1}\right) ^{2}\left(
y+he_{2}\right) ^{3}\right\vert _{h=0}\quad \because \text{方向微分と微分の関係} \\
&=&\cos \left( x^{2}y^{3}\right) \cdot xy^{2}\left( 3xe_{2}+2ye_{1}\right)
\\
&=&xy^{2}\left( 3xe_{2}+2ye_{1}\right) \cos \left( x^{2}y^{3}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
連続微分可能な多変数関数と1変数関数の合成関数の方向微分
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において\(C^{1}\)級である場合には、\(f\)は点\(a\)において任意の方向\(e\)に方向微分可能であるとともに、方向\(e\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) =\nabla f\left( a\right) \cdot e
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の事実と先の命題より以下を得ます。
f\left( a\right) \right) \times \left[ \nabla f\left( a\right) \cdot e\right] \end{equation*}を満たす。
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。ただし、\(Y^{i}\)は\(Y\)の内部です。この場合、点\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(g\)は点\(f\left( x\right) \in Y^{i}\)の周辺の任意の点において定義されていることが保証されます。\(f\)が定義域\(X\)上で\(C^{1}\)級であり、\(g\)が\(f\left( X\right) \)上で微分可能である場合、先の命題より、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域\(X\)上で任意の方向\(e\)に方向微分可能であり、方向導関数\(\left( g\circ f\right) _{e}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) _{e}^{\prime }\left( x\right) =g^{\prime }\left(
f\left( x\right) \right) \times \left[ \nabla f\left( x\right) \cdot e\right] \end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+y^{2}+1\)と1変数の有理関数\(\frac{1}{z}\)の合成関数であることに注意してください。先ほど、方向\(e\)を任意に選んだとき、方向導関数\(f_{e}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( x,y\right) =-\frac{2xe_{1}+2ye_{2}}{\left(
x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めることを示しましたが、多項式関数\(x^{2}+y^{2}+1\)は\(C^{1}\)級であり、関数\(\frac{1}{z}\)は任意の点\(z=x^{2}+y^{2}+1\)において微分可能であるため、上の命題を用いることもできます。実際、\begin{eqnarray*}f_{e}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) \right\vert _{z=x^{2}+y^{2}+1}\times \left[ \nabla \left(
x^{2}+y^{2}+1\right) \cdot \left( e_{1},e_{2}\right) \right] \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) \right\vert
_{z=x^{2}+y^{2}+1}\times \left[ \left( 2x,2y\right) \cdot \left(
e_{1},e_{2}\right) \right] \\
&=&\left. -\frac{1}{z^{2}}\right\vert _{z=x^{2}+y^{2}+1}\times \left(
2xe_{1}+2ye_{2}\right) \\
&=&-\frac{2xe_{1}+2ye_{2}}{\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となるため、同じ結果が得られました。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の単項式関数\(x^{2}y^{3}\)と1変数の正弦関数\(\sin \left( z\right) \)の合成関数であることに注意してください。先ほど、方向\(e\)を任意に選んだとき、方向導関数\(f_{e}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( x,y\right) =xy^{2}\left( 3xe_{2}+2ye_{1}\right) \cos
\left( x^{2}y^{3}\right)
\end{equation*}を定めることを示しましたが、関数\(x^{2}y^{3}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で\(C^{1}\)級であり、関数\(\sin \left( z\right) \)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため、上の命題を用いることもできます。実際、\begin{eqnarray*}f_{e}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\left( \sin \left(
z\right) \right) \right\vert _{z=x^{2}y^{3}}\times \left[ \nabla \left(
x^{2}y^{3}\right) \cdot \left( e_{1},e_{2}\right) \right] \\
&=&\cos \left( x^{2}y^{3}\right) \times \left[ \left(
2xy^{3},3x^{2}y^{2}\right) \cdot \left( e_{1},e_{2}\right) \right] \\
&=&\cos \left( x^{2}y^{3}\right) \times \left(
2xy^{3}e_{1}+3x^{2}y^{2}e_{2}\right) \\
&=&xy^{2}\left( 3xe_{2}+2ye_{1}\right) \cos \left( x^{2}y^{3}\right)
\end{eqnarray*}となるため、同じ結果が得られました。
3つ以上の関数の合成の方向微分
3つ以上の関数の合成についても同様に考えます。具体的には、以下の3つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の関数の間に、\begin{eqnarray*}
f\left( X\right) &\subset &Y \\
g\left( Y\right) &\subset &Z
\end{eqnarray*}という関係が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\left( h\circ g\circ f\right) \left( x\right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( h\circ g\circ f\right) \left( x\right) &=&\left( h\circ g\right)
\left( f\left( x\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&h\left( g\left( f\left( x\right) \right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において方向\(e\)に方向微分可能であり、\(g\)が点\(f\left( a\right) \)において微分可能であり、さらに\(h\)が点\(g\left(f\left( a\right) \right) \)において微分可能である場合には、\(h\circ g\circ f\)もまた点\(a\)において方向\(e\)に方向微分可能であり、そこでの方向微分係数は、\begin{eqnarray*}\left( h\circ g\circ f\right) _{e}^{\prime }\left( a\right) &=&\left(
h\circ g\right) ^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) \cdot
f_{e}^{\prime }\left( a\right) \quad \because \text{合成関数の方向微分} \\
&=&h^{\prime }\left( g\left( f\left( a\right) \right) \right) \cdot
g^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) \cdot f_{e}^{\prime }\left(
a\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{dh\left( z\right) }{dz}\right\vert _{z=g\left( f\left(
a\right) \right) }\cdot \left. \frac{dg\left( y\right) }{dy}\right\vert
_{y=f\left( a\right) }\cdot \left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial e}\right\vert _{x=a}
\end{eqnarray*}となります。特に、\(f\)が\(C^{1}\)級の場合には、\begin{equation*}\left( h\circ g\circ f\right) _{e}^{\prime }\left( a\right) =\left. \frac{dh\left( z\right) }{dz}\right\vert _{z=g\left( f\left( a\right) \right)
}\times \left. \frac{dg\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=f\left( a\right)
}\times \left[ \nabla f\left( a\right) \cdot e\right]
\end{equation*}となります。4つ以上の関数の合成についても同様です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\left\Vert x\right\Vert \)は点\(x\)のノルムであり、\begin{equation*}\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}=\left(
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}と定義されるため、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{\left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これは多変数の多項式関数\(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\)と1変数の無理関数\(y^{\frac{1}{2}}\)と1変数の有理関数\(\frac{1}{z}\)の合成関数です。\(x\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)であることを踏まえると、\(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\)は\(C^{1}\)級であり、\(e\)に関して偏微分可能であり、\(y^{\frac{1}{2}}\)は任意の点\(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\left\Vert x\right\Vert ^{2}\)において微分可能であり、\(\frac{1}{z}\)は任意の点\(\left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}=\left\Vert x\right\Vert \)において微分可能であるため\(f\)は任意の方向\(e\)に関して偏微分可能であり、方向導関数\(f_{e}:\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f_{e}^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{\partial }{\partial e}\left( \frac{1}{\left\Vert x\right\Vert }\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\partial }{\partial e}\left( \frac{1}{\left(
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}}\right) \quad \because \text{ノルムの定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) \right\vert _{z=\left\Vert
x\right\Vert }\times \left. \frac{d}{dy}y^{\frac{1}{2}}\right\vert
_{y=\left\Vert x\right\Vert ^{2}}\times \left[ \nabla \left(
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) \cdot e\right] \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. -\frac{1}{z^{2}}\right\vert _{z=\left\Vert x\right\Vert }\times
\left. \frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}\right\vert _{y=\left\Vert x\right\Vert
^{2}}\times \left[ \left( 2x_{1},\cdots ,2x_{2}\right) \cdot \left(
e_{1},\cdots ,e_{n}\right) \right] \\
&=&-\frac{1}{\left\Vert x\right\Vert ^{2}}\times \frac{1}{2}\left(
\left\Vert x\right\Vert ^{2}\right) ^{-\frac{1}{2}}\times \left( 2x\cdot
e\right) \quad \because \text{ノルムの定義} \\
&=&-\frac{x\cdot e}{\left\Vert x\right\Vert ^{3}}
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)を任意に選んだときの方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)を任意に選んだときの方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)を任意に選んだときの方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\)を求めてください。
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