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DERIVATIVES OF MULTIVARIABLE FUNCTIONS

ヘッセ行列

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ヘッセ行列

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において任意の2つの変数の組み合わせに関して2階偏微分可能である場合には、すなわち、2つの変数\(x_{k},x_{l}\ \left( k,l=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだときに、点\(a\)における変数\(x_{k}x_{l}\)に関する2階偏微分係数\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( a\right) =\frac{\partial ^{2}f\left(
a\right) }{\partial x_{l}\partial x_{k}}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在する場合には、これを\(k\)行\(l\)列成分とする\(n\)次の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
f_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime }\left( a\right) & \cdots &
f_{x_{1}x_{n}}^{\prime \prime }\left( a\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{x_{n}x_{1}}^{\prime \prime }\left( a\right) & \cdots &
f_{x_{n}x_{n}}^{\prime \prime }\left( a\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{\partial ^{2}f\left( a\right) }{\partial x_{1}\partial x_{1}} & \cdots
& \frac{\partial ^{2}f\left( a\right) }{\partial x_{n}\partial x_{1}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial ^{2}f\left( a\right) }{\partial x_{1}\partial x_{n}} & \cdots
& \frac{\partial ^{2}f\left( a\right) }{\partial x_{n}\partial x_{n}}\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が存在します。これを\(f\)の\(a\)におけるヘッセ行列(Hesse matrix at \(a\))と呼び、\begin{equation*}H_{f}\left( a\right) ,\quad \nabla ^{2}f\left( a\right)
\end{equation*}などで表記します。また、点\(a\)におけるヘッセ行列\(H_{f}\left( a\right) \)が存在する場合、すなわち関数\(f\)が点\(a\)において任意の2つの変数の組み合わせ\(x_{k}x_{l}\)に関して偏微分可能である場合には、\(f\)は\(a\)において2階偏微分可能である(second order partially differentiable at \(a\))と言います。

例(ヘッセ行列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{4}-x^{2}y^{2}+y^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。偏導関数は、\begin{eqnarray*}
f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) &=&4x^{3}-2xy^{2} \\
f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) &=&-2x^{2}y+4y^{3}
\end{eqnarray*}であり、2階偏導関数は、\begin{eqnarray*}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&12x^{2}-2y^{2} \\
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&-4xy \\
f_{yx}^{\prime }\left( x,y\right) &=&-4xy \\
f_{yy}^{\prime }\left( x,y\right) &=&-2x^{2}+12y^{2}
\end{eqnarray*}であるため、点\(\left( a,b\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、そこでのヘッセ行列は、\begin{eqnarray*}H_{f}\left( a,b\right) &=&\begin{pmatrix}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( a,b\right) & f_{xy}^{\prime \prime }\left(
a,b\right) \\
f_{yx}^{\prime \prime }\left( a,b\right) & f_{yy}^{\prime \prime }\left(
a,b\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{ヘッセ行列の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
12a^{2}-2b^{2} & -4ab \\
-4ab & -2a^{2}+12b^{2}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
H_{f}\left( 1,2\right) &=&\begin{pmatrix}
12\cdot 1^{2}-2\cdot 2^{2} & -4\cdot 1\cdot 2 \\
-4\cdot 1\cdot 2 & -2\cdot 1^{1}+12\cdot 2^{2}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
4 & -8 \\
-8 & 46\end{pmatrix}\end{eqnarray*}です。

例(ヘッセ行列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x\sin \left( y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。偏導関数は、\begin{eqnarray*}
f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\sin \left( y\right) \\
f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) &=&x\cos \left( y\right)
\end{eqnarray*}であり、2階偏導関数は、\begin{eqnarray*}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&1 \\
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&\cos \left( y\right) \\
f_{yx}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\cos \left( y\right) \\
f_{yy}^{\prime }\left( x,y\right) &=&-x\sin \left( x\right)
\end{eqnarray*}であるため、点\(\left( a,b\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、そこでのヘッセ行列は、\begin{eqnarray*}H_{f}\left( a,b\right) &=&\begin{pmatrix}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( a,b\right) & f_{xy}^{\prime \prime }\left(
a,b\right) \\
f_{yx}^{\prime \prime }\left( a,b\right) & f_{yy}^{\prime \prime }\left(
a,b\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{ヘッセ行列の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & \cos \left( b\right) \\
\cos \left( b\right) & -a\sin \left( a\right)
\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
H_{f}\left( \frac{\pi }{2},\pi \right) &=&\begin{pmatrix}
1 & \cos \left( \pi \right) \\
\cos \left( \pi \right) & -\frac{\pi }{2}\sin \left( \frac{\pi }{2}\right)
\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & -\frac{1}{2}\pi
\end{pmatrix}\end{eqnarray*}です。

 

行列値関数としてのヘッセ行列

繰り返しになりますが、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において2階偏微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)において任意の2つの変数の組み合わせ\(x_{k}x_{l}\)に関して偏微分可能であることを意味し、このとき、点\(a\)におけるヘッセ行列\begin{equation*}H_{f}\left( a\right) =\begin{pmatrix}
f_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime }\left( a\right) & \cdots &
f_{x_{1}x_{n}}^{\prime \prime }\left( a\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{x_{n}x_{1}}^{\prime \prime }\left( a\right) & \cdots &
f_{x_{n}x_{n}}^{\prime \prime }\left( a\right)
\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が存在します。2階偏微分係数が存在する場合には1つの実数として定まるため、ヘッセ行列が存在する場合には実数を成分として持つ1つの\(n\)次の正方行列として定まります。以上を踏まえると、\(f\)が2階偏微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでのヘッセ行列\(H_{f}\left( a\right) \in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を値として定める多変数の行列値関数\begin{equation*}H_{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)のヘッセ行列(Hesse matrix)と呼び、\begin{equation*}H_{f}\left( x\right) ,\quad \nabla ^{2}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において2階偏微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が2階偏微分可能ではない点が存在する場合、すなわち、\(X\)の少なくとも1つの点において少なくとも1つの変数の組み合わせ\(x_{k}x_{l}\)について\(f\)が2階偏微分可能ではない場合、ヘッセ行列\(H_{f}\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)のヘッセ行列\(H_{f}\)は、もとの関数\(f\)が2階偏微分可能な点においてのみ定義される行列値関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)とヘッセ行列\(H_{f}\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において2階偏微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で2階偏微分可能である(second order partially differentiable)と言います。

例(ヘッセ行列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{4}-x^{2}y^{2}+y^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は2階偏微分可能であり、\(H_{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)はそれぞれの\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}H_{f}\left( x\right) &=&\begin{pmatrix}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) & f_{xy}^{\prime \prime }\left(
x,y\right) \\
f_{yx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) & f_{yy}^{\prime \prime }\left(
x,y\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{ヘッセ行列の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
12x^{2}-2y^{2} & -4xy \\
-4xy & -2x^{2}+12y^{2}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を定めます。

例(ヘッセ行列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x\sin \left( y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は2階偏微分可能であり、\(H_{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)はそれぞれの\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}H_{f}\left( x\right) &=&\begin{pmatrix}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) & f_{xy}^{\prime \prime }\left(
x,y\right) \\
f_{yx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) & f_{yy}^{\prime \prime }\left(
x,y\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{ヘッセ行列の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & \cos \left( y\right) \\
\cos \left( y\right) & -x\cos \left( x\right)
\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(ヘッセ行列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。ヘッセ行列\(H_{f}\left(x\right) \)を求めてください。
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問題(ヘッセ行列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =e^{x+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。ヘッセ行列\(H_{f}\left(x\right) \)を求めてください。
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問題(ヘッセ行列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( 3x\right) \cos \left( 2y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ヘッセ行列\(H_{f}\left(x\right) \)を求めてください。
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問題(ヘッセ行列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =x^{2}z+yz^{3}+xyz
\end{equation*}を定めるものとします。ヘッセ行列\(H_{f}\left(x\right) \)を求めてください。
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