瞬間変化率としての多変数関数の偏微分

多変数関数の特定の変数に関する平均変化率と偏微分係数の解釈

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(f\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定めるということです。

多変数関数\(f\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられたとき、\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から特定の変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値は\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)から\(f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) \)まで変化します。そこで、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の変化量と\(x_{k}\)の変化量の比\begin{equation*}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}=\frac{f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots
,a_{n}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}をとり、これを関数\(f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する平均変化率と呼びました。

変数\(x_{k}\)以外のすべての変数\(x_{1},\cdots ,x_{k-1},x_{k+1},\cdots ,x_{n}\)の値を\(a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k+1},\cdots ,a_{n}\)に固定した状態において、変数\(x_{k}\)の値が\(a_{k}\)から\(h\)だけ変化していくという全体のプロセスの中の異なる複数に注目したとき、それらの瞬間における\(f\left( x\right) \)の変化量は同じであるとは限りません。\(f\left( x\right) \)の値は同じペースで変化し続けているとは限らないからです。ただ、平均変化率について考える際には、それぞれの瞬間における\(f\left(x\right) \)の変化量の違いを無視し、プロセス全体において平均でどれくらいのペースで\(f\left( x\right) \)が変化したかに注目します。このような意味において、この指標は「平均変化率」と呼ばれます。一方、関数\(f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数は、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right)
-f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f\left(
\boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}と定義されますが、これは変数\(x_{k}\)の値が\(a_{k}\)と一致する瞬間における\(f\left( x\right) \)の値の変化を表します。このような意味において、偏微分係数は「瞬間変化率（instantaneous rate of change）」とも呼ばれます。両者の違いをより深く理解するためいくつか例を挙げます。

平均勾配と勾配

それぞれの地点の標高を計測した上で、それを2変数関数\(f\)として整理しました。つまり、経度が\(x\)であり緯度が\(y\)であるような地点の標高が、\begin{equation*}f\left( x,y\right)
\end{equation*}であるということです。このとき、変数\(x\)に関する平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( x+h,y\right) -f\left( x,y\right) }{h}
\end{equation*}はどのような意味を持つ指標でしょうか。地点\(\left( x,y\right) \)を出発点とした上で、緯度を\(y\)に固定したまま緯線に沿って\(h\)メートルだけ移動すると標高は\(f\left( x+h,y\right) -f\left( x,y\right) \)だけ変化します。この標高差\(f\left( x+h,y\right) -f\left( x,y\right) \)を移動距離\(h\)で割ったものが上の平均変化率です。\(h\)メートル移動する間、標高が変化するペースは一定であったとは限りません。途中で登り道や下り道があったり、また道の傾きも一定であるとは限らないからです。ただ、そのような違いを無視した上で、\(h\)メートルを移動する間に標高が平均でどれくらいのペースで変化するかを表す指標が上の平均変化率です。つまり、変数\(x\)に関する平均変化率は緯線に沿った平均勾配に相当する概念です。ここで、移動距離\(h\)を短くすれば、より短い移動距離の中での平均勾配が得られます。最終的に\(h\)を\(0\)に限りなく近づければ、すなわち、偏微分係数\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+h,y\right) -f\left( x,y\right) }{h}
\end{equation*}をとれば、それは地点\(\left( x,y\right) \)において道が緯線方向にどれくらい傾いているかが判明します。つまり、変数\(x\)に関する偏微分係数は緯線に沿った勾配に相当する概念です。

気温の平均的な変化と瞬間的な変化

各地点の各時点における気温を計測した上で、それを3変数関数\(f\)として整理しました。つまり、経度が\(x\)であり緯度が\(y\)であるような地点の時点\(t\)における気温が、\begin{equation*}f\left( x,y,t\right)
\end{equation*}であるということです。このとき、変数\(t\)に関する平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( x,y,t+h\right) -f\left( x,y,t\right) }{h}
\end{equation*}はどのような意味を持つ指標でしょうか。時点と時間\(\left( x,y,t\right) \)を出発点とした上で、地点\(\left( x,y\right) \)を固定したまま\(h\)時間だけ時間を進めると気温は\(f\left(x,y,t+h\right) -f\left( x,y,t\right) \)だけ変化します。この気温差\(f\left( x,y,t+h\right) -f\left( x,y,t\right) \)を経過時点\(h\)で割ったものが上の平均変化率です。\(h\)時間が経過する間、気温が変化するペースは一定であったとは限りません。ただ、そのような違いを無視した上で、\(h\)時間が経過する間に気温が平均でどれくらいのペースで変化するかを表す指標が上の平均変化率です。つまり、変数\(t\)に関する平均変化率は気温の平均的な変化を表す概念です。ここで、経過時間\(h\)を短くすれば、より短い経過時間の中での気温の平均的な変化が得られます。最終的に\(h\)を\(0\)に限りなく近づければ、すなわち、偏微分係数\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x,y,t+h\right) -f\left( x,y,t\right) }{h}
\end{equation*}をとれば、地点\(\left( x,y\right) \)において時点\(t\)に気温がどれくらい変化するかが判明します。つまり、変数\(t\)に関する偏微分係数は気温の瞬間的な変化を表す概念です。

平均生産性と限界生産性

労働と資本を投入して商品を生産する生産者の技術を2変数関数\(f\)として整理しました。つまり、労働を\(L\)だけ投入し、資本を\(K\)だけ投入する場合、商品が、\begin{equation*}f\left( L,K\right)
\end{equation*}だけ生産されるということです。このとき、変数\(L\)に関する平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( L+h,K\right) -L\left( L,K\right) }{h}
\end{equation*}はどのような意味を持つ指標でしょうか。投入量\(\left( L,K\right) \)を出発点とした上で、資本の投入量\(K\)を固定したまま労働の投入量を\(h\)だけ増やすと商品の生産量は\(f\left( L+h,K\right) -L\left( L,K\right) \)だけ変化します。この増産量\(f\left( L+h,K\right) -L\left( L,K\right) \)を追加的な労働投入量\(h\)で割ったものが上の平均変化率です。労働を\(h\)だけ追加投入する間、増産ペースは一定であったとは限りません。ただ、そのような違いを無視した上で、労働を\(h\)だけ追加投入する間に増産量が平均でどれくらいのペースで変化するかを表す指標が上の平均変化率です。つまり、変数\(L\)に関する平均変化率は労働の平均生産性を表す概念です。ここで、追加的な労働投入量\(h\)を減少すれば、より少ない労働の追加投入量のもとでの平均的な増産量が得られます。最終的に\(h\)を\(0\)に限りなく近づければ、すなわち、偏微分係数\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( L+h,K\right) -L\left( L,K\right) }{h}
\end{equation*}をとれば、投入量\(\left(L,K\right) \)から労働の投入量\(L\)だけをわずかに増やした場合の増産量が得られます。つまり、変数\(L\)に関する偏微分係数は労働の限界生産性を表す概念です。

演習問題