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DERIVATIVES OF MULTIVARIABLE FUNCTIONS

方向微分可能性と連続性

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方向微分可能性と連続性

復習になりますが、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において偏微分可能である場合、\(f\)は\(a\)において連続であるとは限りません。偏微分可能性はスカラー場\(f\)をあたかも特定の変数\(x_{k}\)に関する1変数関数とみなした上で\(x_{k}\)を動かした場合の\(f\left( x\right) \)の挙動に関する性質である一方、スカラー場\(f\)の連続性はすべての変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を同時に動かした場合の\(f\left( x\right) \)の挙動に関する性質であるため、偏微分可能性は連続性を必ずしも含意しません。

では、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において任意の方向ベクトル\(e\in \mathbb{R} ^{n}\)に関して方向微分可能である場合、\(f\)は\(a\)において連続であることが保証されるのでしょうか。方向微分は偏微分の一般化であり、方向ベクトル\(e\)を適当に選べば、方向微分可能性はすべての変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を同時に動かした場合の\(f\left( x\right) \)の挙動に関する性質になるため、これは連続性を含意しそうです。しかし、実際には方向微分可能性もまた連続性を必ずしも含意しません。以下の例から明らかです。

例(方向微分可能性と連続性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において任意の方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に方向微分可能であることを示します。まず、\(e_{1}\not=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}
f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0+he_{1},0+he_{2}\right) -f\left( 0,0\right) }{h}\quad
\because \text{方向微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},he_{2}\right) -f\left(
0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ \frac{he_{1}h^{2}e_{2}^{2}}{h^{2}e_{1}^{2}+h^{4}e_{2}^{4}}-0\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e_{1}e_{2}^{2}}{e_{1}^{2}+h^{2}e_{2}^{4}} \\
&=&\frac{e_{1}e_{2}^{2}}{e_{1}^{2}} \\
&=&\frac{e_{2}^{2}}{e_{1}}
\end{eqnarray*}となりますが、\(e_{1}\not=0\)よりこれは有限な実数であるため、この場合、\(f\)は\(\left( 0,0\right) \)において\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能です。一方、\(e_{1}=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}
f_{\left( 0,e_{2}\right) }\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0+h0,0+he_{2}\right) -f\left( 0,0\right) }{h}\quad \because \text{方向微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0,he_{2}\right) -f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{0-0}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、この場合にも\(f\)は\(\left( 0,0\right) \)において\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能です。したがって、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において任意の方向\(e\)に方向微分可能です。一方、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。実際、\(f\)の定義より、\begin{equation*}
f\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ一方で、\(\left( x,y\right) \)を以下のような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}
\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=y^{2}\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら\(\left( 0,0\right) \)へ限りなく近づける場合、\begin{eqnarray*}
\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) &\Leftrightarrow &\left(
y^{2},y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \quad \because x=y^{2} \\
&\Leftrightarrow &y\rightarrow 0
\end{eqnarray*}であることに留意すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( \frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( \frac{y^{4}}{y^{4}+y^{4}}\right) \quad
\because x=y^{2} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(f\left( 0,0\right) \)と一致しないため、ゆえに\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。

上の例が示唆するように、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において任意の方向に方向微分可能である場合にも、\(f\)は\(a\)において連続であるとは限りません。したがって、一般のスカラー場に関して微分可能性から連続性を導くためには、方向微分とは異なる微分概念が必要になります。これを全微分と呼ぶのですが、全微分に関しては場を改めて解説します。

 

演習問題

問題(方向微分可能性と連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において任意の方向に関して方向微分可能である場合、\(f\)は点\(a\)において連続であることを証明してください。
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次回は全微分について解説します。

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