方向微分と微分の関係
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定めるということです。
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)において方向\(\boldsymbol{e}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に関して方向微分可能であるものとします。内点の定義より、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(0\)に十分近い任意の実数\(h\)に対して\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)が有限な実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、\(0\)に十分近いそれぞれの実数\(h\in N_{\varepsilon }\left( 0\right) \)に対して、以下の実数\begin{equation*}g\left( h\right) =f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right)
\end{equation*}を値として定める1変数関数\begin{equation*}
g:\mathbb{R} \supset N_{\varepsilon }\left( 0\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( 0\right) \)は点\(0\)を中心とする半径\(\varepsilon>0\)の近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( 0\right) =\left( -\varepsilon ,\varepsilon \right)
\end{equation*}です。
関数\(g\left( h\right) =f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)は変数\(h\)に関する1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}:\mathbb{R} \supset N_{\varepsilon }\left( 0\right) \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}の合成関数であることに注意してください。ベクトル値関数\(\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\)は点\(0\)において微分可能であるため、多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において\(C^{1}\)級である場合には（実際には、後に導入する全微分可能性が満たされていればよい）、合成関数の微分より、関数\(g\)もまた点\(0\)において微分可能であるとともに、関数\(g\)の点\(0\)における微分係数\(\frac{dg\left( 0\right) }{dh}\)は、もとの多変数関数\(f\)の点\(\boldsymbol{a}\)における方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)と一致することが保証されます。つまり、以下の関係\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}=\frac{dg\left( 0\right) }{dh}
\end{equation*}が成り立つということです。
\end{equation*}を定める1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset N_{\varepsilon }\left( 0\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において\(C^{1}\)級である場合には、\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分可能であることと、\(g\)が点\(0\)において微分可能であることは必要十分であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}=\frac{dg\left( 0\right) }{dh}
\end{equation*}が成り立つ。
関数\(g\)の定義を踏まえると、先の命題の結論を、\begin{equation}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}=\left. \frac{df\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) }{dh}\right\vert _{h=0} \quad \cdots (1)
\end{equation}と表現できます。つまり、多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において\(C^{1}\)級である場合には、\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を\(\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\)に置き換えて変数\(h\)に関する1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)を生成した上で、この関数の点\(h=0\)における微分係数（\(\left( 1\right) \)の右辺）を求めれば、それはもとの多変数関数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の点\(\boldsymbol{a}\)における方向\(\boldsymbol{e}\)の方向微分係数（\(\left( 1\right) \)の左辺）と一致することが保証されます。つまり、多変数関数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)を点\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}\)において\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分するプロセスは、1変数関数\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)を点\(h=0\)において微分するプロセスと実質的に等しいため、多変数関数を方向微分する際には方向微分の定義にもとづいて考える必要はなく、1変数関数の微分に関する知識を動員できるということです。ただし、この手法はもとの多変数関数\(f\)が\(C^{1}\)級であるような点\(\boldsymbol{a}\)に関してのみ利用可能であることに注意してください。
\end{equation*}が成り立ちます。
e_{1},e_{2},e_{3}\right) }=\left. \frac{df\left(
a+he_{1},b+he_{2},c+he_{3}\right) }{dh}\right\vert _{h=0}
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)を任意に選びます。この関数\(f\)は多変数の有理関数であるため\(C^{1}\)級です。したがって、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能であり、方向微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }
&=&\left. \frac{df\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) }{dh}\right\vert
_{h=0}\quad \because \text{方向微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dh}\left( \frac{1}{\left( a+he_{1}\right) ^{2}+\left(
b+he_{2}\right) ^{2}+1}\right) \right\vert _{h=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{-\left[ \left( a+he_{1}\right) ^{2}+\left( b+he_{2}\right)
^{2}+1\right] ^{\prime }}{\left[ \left( a+he_{1}\right) ^{2}+\left(
b+he_{2}\right) ^{2}+1\right] ^{2}}\right\vert _{h=0}\quad \because \text{商の微分} \\
&=&\left. \frac{-\left[ 2\left( a+he_{1}\right) e_{1}+2\left(
b+he_{2}\right) e_{2}\right] }{\left[ \left( a+he_{1}\right) ^{2}+\left(
b+he_{2}\right) ^{2}+1\right] ^{2}}\right\vert _{h=0} \\
&=&\frac{-\left( 2ae_{1}+2be_{2}\right) }{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上において方向\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)に方向微分可能であり、方向導関数\(\frac{\partial f}{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }=\frac{-\left( 2xe_{1}+2ye_{2}\right) }{\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。
先の命題が要求する条件の吟味
先の命題の主張はもとの多変数関数\(f\)が\(C^{1}\)級であるような点\(\boldsymbol{a}\)に関して成り立ちます。\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において\(C^{1}\)級ではない場合、先の命題の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{ll}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において\(\left( 1,1\right) \)方向に方向微分可能でしょうか。方向微分係数の本来の定義にもとづいて方向微分係数を求めると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( 0,0\right) }{\partial \left( 1,1\right) }
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0+h,0+h\right) -f\left( 0,0\right) }{h}\quad \because \text{方向微分係数の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( h,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ \frac{1}{h}\left( \frac{h^{2}}{h^{2}+h^{2}}-0\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{2h} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において方向\(\left(1,1\right) \)に方向微分可能ではありません。一方、先の手法にもとづいて方向微分係数を求めると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( 0,0\right) }{\partial \left( 1,1\right) } &=&\left.
\frac{df\left( 0+h,0+h\right) }{dh}\right\vert _{h=0}\quad \because \text{方向微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{df\left( h,h\right) }{dh}\right\vert _{h=0} \\
&=&\left. \frac{d}{dh}\frac{h^{2}}{h^{2}+h^{2}}\right\vert _{h=0}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dh}\frac{1}{2}\right\vert _{h=0} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において方向\(\left( 1,1\right) \)に方向微分可能であるという結論になり、誤りです。この関数\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において\(C^{1}\)級ではないため、そもそも先の命題の適用対象外です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は方向\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)において方向微分可能であることを示すとともに、方向導関数\(\frac{\partial f}{\partial \left(e_{1},e_{2}\right) }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。方向ベクトル\(\left(2,1\right) \)に関して\(f\)を方向微分してください。
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