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DIFFERENTIATION OF SCALAR FIELDS

全微分と偏微分の関係

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全微分可能なスカラー場は偏微分可能

スカラー場\(f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能であることとは、\begin{equation*}
\lim_{\left\Vert h\right\Vert \rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -\left[
f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot h\right] }{\left\Vert
h\right\Vert }=0
\end{equation*}を満たすベクトル\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R}^{n}\)が存在することとして定義されます。したがって、\(f\)が点\(a\)において全微分可能であることを示すためには全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)の候補が必要ですが、それをどのように特定すればよいでしょうか。実は、スカラー場\(f\)が点\(a\)において全微分可能である場合、\(f\)はその点\(a\)において偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)と一致することが保証されます。

命題(全微分可能なスカラー場は偏微分可能)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能であるならば、\(f\)は\(a\)において偏微分可能であり、さらに、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\nabla f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明

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スカラー場\(f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が点\(a\in X\)において全微分可能である場合、\(f\)の\(a\)における全微分は、\begin{equation*}
df\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right) \cdot h=f_{1}^{\prime }\left(
a\right) dx_{1}+\cdots +f_{n}^{\prime }\left( a\right) dx_{n}
\end{equation*}となりますが、上の命題を踏まえると、これを、\begin{equation*}
df\left( a\right) =\nabla f\left( a\right) \cdot h=\frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x_{1}}dx_{1}+\cdots +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}dx_{n}
\end{equation*}と表現できます。

スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において全微分可能である場合、\(f\)は\(a\)において偏微分可能であることが示されましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において偏微分可能であるとき、\(f\)は\(a\)において全微分可能であるとは限りません。そもそもスカラー場\(f\)が点\(a\)において全微分可能でない場合、たとえ\(f\)が\(a\)において偏微分可能であっても、得られた勾配ベクトルは全微分係数ではないということです。以下の例から明らかです。

例(偏微分可能だが全微分可能ではないスカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において偏微分可能である一方、全微分可能ではありません。実際、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( 0,0\right) }{\partial x} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{0-0}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}0=0 \\
\frac{\partial f\left( 0,0\right) }{\partial y} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{0-0}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}0=0
\end{eqnarray*}であるため\(f\)は\(\left( 0,0\right) \)において偏微分可能です。その一方で\(f\)は\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能ではありません。実際、\(f\)の定義より、\begin{equation*}
f\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ一方で、\(\left( x,y\right) \)を以下のような\(\mathbb{R}^{2}\)の部分集合\begin{equation*}
\left\{ \left( x,y\right) \in
\mathbb{R}^{2}\ |\ x=y^{2}\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら\(\left( 0,0\right) \)へ限りなく近づける場合、\begin{eqnarray*}
\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) &\Leftrightarrow &\left(
y^{2},y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \quad \because x=y^{2} \\
&\Leftrightarrow &y\rightarrow 0
\end{eqnarray*}であることに留意すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( \frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( \frac{y^{4}}{y^{4}+y^{4}}\right) \quad
\because x=y^{2} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(f\left( 0,0\right) \)と一致しないため、ゆえに\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。スカラー場が点において全微分可能であるとき、そのスカラー場はその点において連続です。対偶より、\(f\)は\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能ではないことが示されました。

以上を踏まえると、全微分係数を求めるために偏微分を行うという手法は与えられたスカラー場が全微分可能である場合にのみ利用できるものであるため、結局のところ、スカラー場が全微分可能であることを示す手続きを避けることはできません。ただ、わざわざ全微分可能性の定義に立ち返らず、比較的簡単な方法によってスカラー場が全微分可能であることを示す方法が存在します。詳細は場を改めて解説します。

 

スカラー場が全微分可能であることの証明

スカラー場が全微分可能であることを示す際には全微分係数の候補が必要になりますが、先の命題はそのような候補を得るために利用できます。具体的には、スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において全微分可能である場合、先の命題より、そこでの全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)と一致することが保証されます。したがって、勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)を求めた上で、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -\nabla
f\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }=0
\end{equation*}が成り立つことを示せば、全微分可能性の定義より、\(f\)は\(a\)において全微分可能であることを示したことになります。

例(スカラー場が全微分可能であることの証明)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能であることを示します。点\(\left( 0,0\right) \)における勾配ベクトルは、\begin{equation*}
\nabla f\left( 0,0\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}であるため(確認してください)、仮に\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能であるならば、\begin{equation*}
\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{f\left(
0+h_{1},0+h_{2}\right) -f\left( 0,0\right) -\nabla f\left( 0,0\right) \cdot
\left( h_{1},h_{2}\right) }{\left\Vert \left( h_{1},h_{2}\right) \right\Vert
}=0
\end{equation*}が成り立つはずですが、実際にはこれは成り立つため(演習問題にします)、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能です。

 

スカラー場が全微分可能でないことの証明

スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において全微分可能である場合、\(f\)は点\(a\)において偏微分可能であることが明らかになりました。対偶より、\(f\)が点\(a\)において偏微分可能でないならば、すなわち\(f\)が点\(a\)において少なくとも1つの変数\(x_{k}\)について偏微分可能でない場合には、\(f\)は点\(a\)において全微分可能ではありません。したがって、スカラー場が全微分可能でないことを示すためには、そのスカラー場が偏微分可能ではないことを示せばよいということになります。

例(スカラー場が全微分可能でないことの証明)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能でないことを示すために、\(f\)が\(\left( 0,0\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能でないことを示します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h} &=&\frac{f\left(
h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\frac{\sqrt{h^{2}}}{h} \\
&=&\frac{\left\vert h\right\vert }{h}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=1 \\
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=-1
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能ではありません。したがって\(f\)は\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能でないことが示されました。

スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において全微分可能でないことを証明する際に、先の命題を別の形で利用することもできます。具体的には、まず、スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において全微分可能であるものと仮定します。すると先の命題より、そこでの全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)と一致することが保証されます。すると全微分の定義より、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -\nabla
f\left( a\right) \cdot h}{\left\Vert h\right\Vert }=0
\end{equation*}が成り立つはずです。したがって、上の関係が成り立たないことを示せば、\(f\)は\(a\)において全微分可能でないことを示したことになります。

例(スカラー場が全微分可能でないことの証明)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能でないことを示します。点\(\left( 0,0\right) \)における勾配ベクトルは、\begin{equation*}
\nabla f\left( 0,0\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}であるため(確認してください)、仮に\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能であるならば、\begin{equation*}
\lim_{\left( h_{1},h_{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{f\left(
0+h_{1},0+h_{2}\right) -f\left( 0,0\right) -\nabla f\left( 0,0\right) \cdot
\left( h_{1},h_{2}\right) }{\left\Vert \left( h_{1},h_{2}\right) \right\Vert
}=0
\end{equation*}が成り立つはずですが、実際にはこれは成り立たないため(演習問題)、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能ではありません。

 

全微分係数の一意性

繰り返しになりますが、スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において全微分可能である場合、そこでの全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)と勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)は一致します。スカラー場\(f\)が点\(a\)において偏微分可能である場合、そこでの勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)は一意的に定まるため、勾配ベクトルと一致する全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)もまた一意的に定まることになります。

命題(全微分係数の一意性)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能であるとき、全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R}^{n}\)は一意的に定まる。

 

演習問題

問題(全微分と偏微分の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R}^{2}\)において全微分可能であるかどうか、理由とともに答えてください。
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問題(全微分と偏微分の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R}^{2}\)において全微分可能であるかどうか、理由とともに答えてください。
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問題(全微分と偏微分の関係)
スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において全微分可能である場合、\(f\)は点\(a\)において偏微分可能であるとともに連続です。一方、\(f\)が点\(a\)において偏微分可能であるとき、\(f\)は点\(a\)において全微分可能であるとは限りません。加えて、\(f\)が点\(a\)において連続であるとき、\(f\)は点\(a\)において全微分可能であるとは限りません。では、\(f\)が点\(a\)において偏微分可能かつ連続である場合、\(f\)は点\(a\)において全微分可能であることを保証できるでしょうか。この主張は成り立ちません。スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left( xy\right) ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において偏微分可能かつ連続である一方で全微分可能ではないことを証明してください。
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次回は全微分と方向微分の関係について解説します。

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