多変数関数の商の偏微分

多変数関数の商の偏微分

定義域を共有する多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める新たな多変数関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ゼロで割ることはできないため、\(g\)は非ゼロを値としてとる関数である点に注意してください。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺にある任意の点において定義されているならば、\(f,g\)が点\(a\)においてそれぞれの変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるか検討できます。\(f,g\)がともに点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるならば、そこでの偏微分係数に相当する有限な実数\begin{eqnarray*}f_{x_{k}}\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \\
g_{x_{k}}\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在します。この場合、\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの偏微分係数が、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) _{x_{k}}\left( a\right) =\frac{f_{x_{k}}\left(
a\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g_{x_{k}}\left(
a\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}として定まることが保証されます。

つまり、点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)が与えられたとき、\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの偏微分係数が上のように定まることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)の偏微分可能性を検討する際には、偏微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、\(f\)と\(g\)がともに偏微分可能であることを検討すればよいということになります。

勾配ベクトルの商

先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。