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DERIVATIVES OF MULTIVARIABLE FUNCTIONS

ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の微分

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ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の微分

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の値域と多変数関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\subset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の間に、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定める1変数の合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。

ベクトル値関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、その点\(a\)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する点\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が存在します。加えて、多変数関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、その点\(f\left( a\right) \)において全微分可能であるならば、そこでの全微分係数が存在するとともに、それは勾配ベクトル\begin{equation*}\nabla f\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}と一致します。以上の条件が成り立つとき、合成関数\(g\circ f\)が点において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) =\nabla g\left( f\left(
a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}として定まることが保証されます。

命題(ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の微分)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)と多変数関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\subset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)という関係が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるとともに、\(g\)が点\(f\left(a\right) \)において全微分可能である場合には、\(g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) =\nabla g\left( f\left(
a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =x^{2}y
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\)において微分可能でしょうか。\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\left( -\sin \left( a\right) ,\cos \left(
a\right) \right)
\end{equation*}です。\(g\)は点\(f\left( a\right) =\left( \cos\left( a\right) ,\sin \left( a\right) \right) \)において全微分可能であり、そこでの全導関数は、\begin{eqnarray*}\nabla g\left( f\left( a\right) \right) &=&\left. \nabla g\left( x,y\right)
\right\vert _{\left( x,y\right) =\left( \cos \left( a\right) ,\sin \left(
a\right) \right) } \\
&=&\left. \left( 2xy,x^{2}\right) \right\vert _{\left( x,y\right) =\left(
\cos \left( a\right) ,\sin \left( a\right) \right) } \\
&=&\left( 2\cos \left( a\right) \sin \left( a\right) ,\cos ^{2}\left(
a\right) \right)
\end{eqnarray*}です。したがって先の命題より、関数\(g\circ f\)は点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&\nabla g\left( f\left(
a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left( 2\cos \left( a\right) \sin \left( a\right) ,\cos ^{2}\left(
a\right) \right) \cdot \left( -\sin \left( a\right) ,\cos \left( a\right)
\right) \\
&=&-2\sin ^{2}\left( a\right) \cos \left( a\right) +\cos ^{3}\left( a\right)
\end{eqnarray*}となります。ちなみに、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =\cos ^{2}\left( x\right) \sin \left(
x\right)
\end{equation*}を定めるため、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left[ \cos
^{2}\left( x\right) \sin \left( x\right) \right] ^{\prime }\right\vert _{x=a}
\\
&=&\left. -2\cos \left( x\right) \sin ^{2}\left( x\right) +\cos ^{3}\left(
x\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&-2\sin ^{2}\left( a\right) \cos \left( a\right) +\cos ^{3}\left( a\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。

 

連鎖公式

合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を全微分する場合、通常は、問題としている点\(a\in X\)においてベクトル値関数\(f\)が微分可能であることを確認し、なおかつ多変数関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)において全微分可能であることを確認した上で、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) =\nabla g\left( f\left(
a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}という関係式を利用して微分係数\(\left( g\circ f\right)^{\prime }\left( a\right) \)を求めることになります。一方、\(g\circ f\)の導関数\(\left( g\circ f\right) ^{\prime}\left( x\right) \)が与えられている場合には、その変数\(x\)に\(a\)を代入すれば微分係数\(\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left(a\right) \)がただちに得られるため簡単です。したがって、導関数\(\left(g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) \)を特定できるのであればより望ましいということになります。ここで役に立つのが先の命題です。つまり、\(f\)が微分可能かつ\(g\)が全微分可能である場合には\(g\circ f\)もまた微分可能であり、その導関数\(\left( g\circ f\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) =\nabla g\left( f\left(
x\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めることが保証されます。この命題を具体的にどのように利用すればよいでしょうか。以下で解説します。

ある関数が与えられており、それを微分しようとしている状況を想定します。もし、その関数がベクトル値関数\(f\)と多変数関数\(g\)の合成関数\(g\circ f\)であることに気が付くことができれば、\(f\)が微分可能かつ\(g\)が全微分可能であるという条件のもと、合成関数の全微分公式\begin{equation}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) =\nabla g\left( f\left(
x\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を利用することで、もとの関数を全微分できるはずです。

合成関数の定義より\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \)となるため、合成関数とは、最初に入力した\(x\)に対して合成関数の「内側」のベクトル値関数\(f\)が値\(y=f\left(x\right) \)を定め、さらにその値\(y\)に対して合成関数の「外側」の多変数関数\(g\)が値\(g\left( y\right) \)を定めるという2段階構造になっています。言い換えると、合成関数\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) \)は「外側」の関数\(g\left( y\right) \)と「内側」の関数\(y=f\left( x\right) \)に分離可能であるということです。これらの表記を利用して\(\left( 1\right) \)を言い換えると、\begin{equation}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) =\nabla g\left( y\right)
\cdot f^{\prime }\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。つまり、微分しようとしている関数が2つの関数\(f,g\)の合成関数\(g\circ f\)であることに気が付いた場合には、\(f\)が微分かつ\(g\)が全微分可能であることを確認した上で、\(f,g\)をそれぞれ微分ないし全微分し、得られた結果の積をとれば良いということになります。ただし、\(\left( 2\right) \)の右辺中の\(\nabla g\left(y\right) \)は変数\(y\)に関する関数であるため、\(\left( 1\right) \)のようにこれを\(\nabla g\left(f\left( x\right) \right) \)にするためには\(\nabla g\left( y\right) \)の変数に\(y=f\left(x\right) \)を代入する必要があります。このような代入を明示的に表現するのであれば、\(\left( 2\right) \)は、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) =\left. \nabla g\left(
y\right) \right\vert _{y=f\left( x\right) }\cdot f^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}となります。これを連鎖公式(chain rule)と呼びます。

例(連鎖公式)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =x^{2}y
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、\(g\)は全微分可能であるため、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は微分可能であり、導関数\(\left( g\circ f\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left. \nabla g\left( p,q\right) \right\vert
_{\left( p,q\right) =\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) }\cdot f^{\prime }\left( x\right) \quad \because \text{連鎖公式} \\
&=&\left. \nabla p^{2}q\right\vert _{\left( p,q\right) =\left( \cos \left(
x\right) ,\sin \left( x\right) \right) }\cdot \left( \cos \left( x\right)
,\sin \left( x\right) \right) ^{\prime }\quad \because f,g\text{の定義} \\
&=&\left. \left( 2pq,p^{2}\right) \right\vert _{\left( p,q\right) =\left(
\cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) }\cdot \left( -\sin
\left( x\right) ,\cos \left( x\right) \right) \\
&=&\left( 2\cos \left( x\right) \sin \left( x\right) ,\cos ^{2}\left(
x\right) \right) \cdot \left( -\sin \left( x\right) ,\cos \left( x\right)
\right) \\
&=&-2\cos \left( x\right) \sin ^{2}\left( x\right) +\cos ^{3}\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

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