多変数の初等関数の全微分

多変数の定数関数の全微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある特定の実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}という形で表すことができるということです。定数関数は偏微分可能であるとともに、それぞれの変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)の偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めます。つまり、偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }\)は定数関数であるため連続です。任意の変数\(x_{k}\)に関して同様であるため、\(f\)は\(C^{1}\)級であることが明らかになりました。\(C^{1}\)級の関数は全微分可能であるため、\(f\)は全微分可能です。

多変数の座標関数の全微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関する座標関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}であるということです。座標関数は偏微分可能であるとともに、それぞれの変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)の偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ l=k\right) \\
0 & \left( if\ l\not=k\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。つまり、偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }\)は定数関数であるため連続です。任意の変数\(x_{k}\)に関して同様であるため、\(f\)は\(C^{1}\)級であることが明らかになりました。\(C^{1}\)級の関数は全微分可能であるため、\(f\)は全微分可能です。

多変数の多項式関数の全微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{n}\cdots \sum_{k_{n}=0}^{n}c_{k_{1},\cdots
,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}という形で表すことができるということです。多項式関数は偏微分可能であるとともに、それぞれの変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)の偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた多項式関数であるため連続です。したがって、\(f\)は\(C^{1}\)級であることが明らかになりました。\(C^{1}\)級の関数は全微分可能であるため、\(f\)は全微分可能です。

多変数の有理関数の全微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有理関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、2つの多項式関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}という形で表すことができるということです。有理関数は偏微分可能であるとともに、それぞれの変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)の偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた有理関数であるため連続です。したがって、\(f\)は\(C^{1}\)級であることが明らかになりました。\(C^{1}\)級の関数は全微分可能であるため、\(f\)は全微分可能です。

初等関数からなる多変数関数の全微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は多変数の定数関数・座標関数・多項式関数・有理関数または1変数の微分可能な関数（三角関数・指数関数・対数関数など）どうしに四則演算を適用することで得られる関数であるものとします。このような関数\(f\)は偏微分可能であるとともに、それぞれの変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)の偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は連続です。したがって、\(f\)は\(C^{1}\)級であることが明らかになりました。\(C^{1}\)級の関数は全微分可能であるため、\(f\)は全微分可能です。