ノルム関数の偏微分
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がノルム関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\Vert x\right\Vert
\end{equation*}であるということです。ノルムの定義より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}=\left(
x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert \)は多変数の多項式関数\(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\)と1変数の無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数であるため、\(\left\Vert x\right\Vert \)がゼロベクトル\(0\)とは異なる定義域上の点\(a\in X\backslash \left\{ 0\right\} \)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)は点\(a\)において任意の変数に関して偏微分可能です。偏微分係数は以下の通りです。
命題（ノルム関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\Vert x\right\Vert
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)がゼロベクトルとは異なる定義域上の点\(a\in X\backslash \left\{ 0\right\} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるとともに、\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) =\frac{a_{k}}{\left\Vert a\right\Vert }
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)がゼロベクトルとは異なる定義域上の点\(a\in X\backslash \left\{ 0\right\} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるとともに、\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) =\frac{a_{k}}{\left\Vert a\right\Vert }
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題ではノルム関数\(f\left( x\right) =\left\Vert x\right\Vert \)が偏微分可能な点の候補からゼロベクトル\(0\)が除かれています。実際、ノルム関数は点\(0\)において偏微分可能ではありません（演習問題）。
例（ノルム関数の偏微分）
ノルム関数は\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義可能であるため、それぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\Vert x\right\Vert
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるため、ゼロベクトルとは異なる点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において任意の変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能です。\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様であるため、変数\(x_{k}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)上において\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( x\right) =\frac{x_{k}}{\left\Vert x\right\Vert }
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるため、ゼロベクトルとは異なる点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において任意の変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能です。\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様であるため、変数\(x_{k}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)上において\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( x\right) =\frac{x_{k}}{\left\Vert x\right\Vert }
\end{equation*}を定めます。
例（ノルム関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数のノルム関数\(\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \)と1変数の自然対数関数\(\ln\left( x\right) \)の合成関数であるため、非ゼロベクトルであるような点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right)
\right\vert _{z=\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=\left\Vert \left( x,y\right)
\right\Vert }\cdot \frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{1}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\cdot \frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}} \\
&=&\frac{x}{x^{2}+y^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。また、\(f\)は変数\(y\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{y}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right)
\right\vert _{z=\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=\left\Vert \left( x,y\right)
\right\Vert }\cdot \frac{y}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{1}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\cdot \frac{y}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{y}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}} \\
&=&\frac{y}{x^{2}+y^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数のノルム関数\(\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \)と1変数の自然対数関数\(\ln\left( x\right) \)の合成関数であるため、非ゼロベクトルであるような点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right)
\right\vert _{z=\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=\left\Vert \left( x,y\right)
\right\Vert }\cdot \frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{1}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\cdot \frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}} \\
&=&\frac{x}{x^{2}+y^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。また、\(f\)は変数\(y\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{y}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right)
\right\vert _{z=\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=\left\Vert \left( x,y\right)
\right\Vert }\cdot \frac{y}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{1}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\cdot \frac{y}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{y}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}} \\
&=&\frac{y}{x^{2}+y^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
ノルム関数の勾配ベクトル
先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。
命題（ノルム関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\Vert x\right\Vert
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)がゼロベクトルとは異なる定義域上の点\(a\in X\backslash \left\{ 0\right\} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において偏微分可能であるとともに、\begin{equation*}\nabla f\left( a\right) =\left( \frac{a_{1}}{\left\Vert a\right\Vert },\cdots ,\frac{a_{n}}{\left\Vert a\right\Vert }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)がゼロベクトルとは異なる定義域上の点\(a\in X\backslash \left\{ 0\right\} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において偏微分可能であるとともに、\begin{equation*}\nabla f\left( a\right) =\left( \frac{a_{1}}{\left\Vert a\right\Vert },\cdots ,\frac{a_{n}}{\left\Vert a\right\Vert }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（ノルム関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\Vert x\right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はノルム関数であるため偏微分可能であり、先の命題より、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x\right) =\left( \frac{x_{1}}{\left\Vert x\right\Vert },\cdots ,\frac{x_{n}}{\left\Vert x\right\Vert }\right)
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はノルム関数であるため偏微分可能であり、先の命題より、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x\right) =\left( \frac{x_{1}}{\left\Vert x\right\Vert },\cdots ,\frac{x_{n}}{\left\Vert x\right\Vert }\right)
\end{equation*}を定めます。
例（ノルム関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数のノルム関数\(\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \)と1変数の自然対数関数\(\ln\left( x\right) \)の合成関数であるため\(\mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right)
\right\vert _{z=\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\cdot \nabla
\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=\left\Vert \left( x,y\right)
\right\Vert }\cdot \left( \frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert },\frac{y}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\right) \\
&=&\frac{1}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\cdot \left( \frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert },\frac{y}{\left\Vert \left(
x,y\right) \right\Vert }\right) \\
&=&\left( \frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}},\frac{y}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}}\right) \\
&=&\left( \frac{x}{x^{2}+y^{2}},\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数のノルム関数\(\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \)と1変数の自然対数関数\(\ln\left( x\right) \)の合成関数であるため\(\mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right)
\right\vert _{z=\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\cdot \nabla
\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=\left\Vert \left( x,y\right)
\right\Vert }\cdot \left( \frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert },\frac{y}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\right) \\
&=&\frac{1}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\cdot \left( \frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert },\frac{y}{\left\Vert \left(
x,y\right) \right\Vert }\right) \\
&=&\left( \frac{x}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}},\frac{y}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}}\right) \\
&=&\left( \frac{x}{x^{2}+y^{2}},\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
問題（ノルム関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)を偏微分してください。
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)を偏微分してください。
問題（ノルム関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}/\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =e^{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)を偏微分してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)を偏微分してください。
問題（ノルム関数はゼロベクトルにおいて偏微分可能ではない）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\Vert x\right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)において任意の変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能ではないことを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)において任意の変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能ではないことを示してください。
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