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DERIVATIVES OF MULTIVARIABLE FUNCTIONS

多変数関数と1変数関数の合成関数の全微分

目次

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多変数関数と1変数関数の合成関数の全微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域と1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の間に、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定める多変数の合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。

関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、その点\(a\)において全微分可能であるならば、そこでの全微分係数に相当する点が存在するとともに、それは勾配ベクトル\begin{equation*}\nabla f\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と一致します。加えて、関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、その点\(f\left( a\right) \)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する有限な実数\begin{equation*}g^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。以上の条件が成り立つとき、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において全微分可能であることが保証されるとともに、そこでの全微分係数が、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) =g^{\prime }\left( f\left(
a\right) \right) \cdot \nabla f\left( a\right)
\end{equation*}として定まることが保証されます。

命題(多変数関数と1変数関数の合成関数の全微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)という関係が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能であるとともに、\(g\)が点\(f\left( a\right) \)において微分可能である場合には、\(g\circ f\)もまた点\(a\)において全微分可能であり、そこでの全微分係数は、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) =g^{\prime }\left( f\left(
a\right) \right) \cdot \nabla f\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

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つまり、点\(a\)において全微分可能な多変数関数\(f\)と、点\(f\left( a\right) \)において微分可能な1変数関数\(g\)の合成関数であるような多変数関数\(g\circ f\)が与えられたとき、\(g\circ f\)もまた点\(a\)において全微分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の勾配ベクトルと\(g\)の微分係数の積をとれば\(g\circ f\)の全微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、2つの関数\(f,g\)の合成関数\(g\circ f\)の全微分可能性を判定する際には、全微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それらがそれぞれ必要な点において全微分・微分可能であることを確認すればよいということになります。

例(多変数関数と1変数関数の合成関数の全微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において全微分可能でしょうか。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+y^{2}+1\)と1変数関数\(\frac{1}{x}\)の合成関数であることに注意してください。多変数の多項式関数は\(C^{1}\)級であるため関数\(x^{2}+y^{2}+1\)は点\(\left( a,b\right) \)において\(C^{1}\)級であるとともに、\begin{eqnarray*}\left. \nabla \left( x^{2}+y^{2}+1\right) \right\vert _{\left( x,y\right)
=\left( a,b\right) } &=&\left. \left( 2x,2y\right) \right\vert _{\left(
x,y\right) =\left( a,b\right) } \\
&=&\left( 2a,2b\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left. \nabla \left( x^{2}+y^{2}+1\right) \right\vert _{\left( x,y\right)
=\left( a,b\right) }=\left( 2a,2b\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。関数\(\frac{1}{x}\)は点\(a^{2}+b^{2}+1\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\left. \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x}\right) \right\vert _{x=a^{2}+b^{2}+1}
&=&\left. -\frac{1}{x^{2}}\right\vert _{x=a^{2}+b^{2}+1} \\
&=&-\frac{1}{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left. \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x}\right) \right\vert _{x=2a}=-\frac{1}{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって先の命題より、関数\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において全微分可能であり、そこでの全微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a,b\right) &=&\left. d\left( \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\right) \right\vert _{\left( x,y\right) =\left( a,b\right) }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x}\right) \right\vert _{x=2a}\cdot
\left. \nabla \left( x^{2}+y^{2}+1\right) \right\vert _{\left( x,y\right)
=\left( a,b\right) }\quad \because \text{合成関数の全微分} \\
&=&-\frac{1}{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}\cdot \left( 2a,2b\right)
\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( -\frac{2a}{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}},-\frac{2b}{\left(
a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}\right)
\end{eqnarray*}となります。任意の\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について同様であるため、\(f\)の全導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} ^{2}\)であり、これはそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x,y\right) =\left( -\frac{2x}{\left( x^{2}+y^{2}+1\right)
^{2}},-\frac{2y}{\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

例(多変数関数と1変数関数の合成関数の全微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x^{2}y^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において全微分可能でしょうか。\(f\)は多変数の単項式関数\(x^{2}y^{2}\)と1変数関数\(\sin \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。多変数の多項式関数は\(C^{1}\)級であるため関数\(x^{2}y^{2}\)は点\(\left( a,b\right) \)において\(C^{1}\)級であるとともに、\begin{eqnarray*}\left. \nabla \left( x^{2}y^{2}\right) \right\vert _{\left( x,y\right)
=\left( a,b\right) } &=&\left. \left( 2x,2y\right) \right\vert _{\left(
x,y\right) =\left( a,b\right) } \\
&=&\left( 2a,2b\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left. \nabla \left( x^{2}y^{2}\right) \right\vert _{\left( x,y\right)
=\left( a,b\right) }=\left( 2a,2b\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。関数\(\sin \left( x\right) \)は点\(a^{2}b^{2}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\left. \frac{d}{dx}\left( \sin \left( x\right) \right) \right\vert
_{x=a^{2}b^{2}} &=&\left. \cos \left( x\right) \right\vert _{x=a^{2}b^{2}} \\
&=&\cos \left( a^{2}b^{2}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left. \frac{d}{dx}\left( \sin \left( x\right) \right) \right\vert
_{x=a^{2}b^{2}}=\cos \left( a^{2}b^{2}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって先の命題より、関数\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において全微分可能であり、そこでの全微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a,b\right) &=&\left. d\left( \sin \left(
x^{2}y^{2}\right) \right) \right\vert _{\left( x,y\right) =\left( a,b\right)
}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left( \sin \left( x\right) \right) \right\vert
_{x=a^{2}b^{2}}\cdot \left. \nabla \left( x^{2}y^{2}\right) \right\vert
_{\left( x,y\right) =\left( a,b\right) }\quad \because \text{合成関数の全微分} \\
&=&\cos \left( a^{2}b^{2}\right) \cdot \left( 2a,2b\right) \quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( 2a\cos \left( a^{2}b^{2}\right) ,2b\cos \left( a^{2}b^{2}\right)
\right)
\end{eqnarray*}となります。任意の\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について同様であるため、\(f\)の全導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} ^{2}\)であり、これはそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x,y\right) =\left( 2x\cos \left( x^{2}y^{2}\right) ,2y\cos
\left( x^{2}y^{2}\right) \right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

連鎖公式

合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を全微分する場合、通常は、問題としている点\(a\in X\)において多変数関数\(f\)が全微分可能であることを確認し、なおかつ1変数関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)において微分可能であることを確認した上で、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) =g^{\prime }\left( f\left(
a\right) \right) \cdot \nabla f\left( a\right)
\end{equation*}という関係式を利用して全微分係数\(\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) \)を求めることになります。一方、\(g\circ f\)の全導関数\(\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) \)が与えられている場合には、その変数\(x\)に\(a\)を代入すれば全微分係数\(\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) \)がただちに得られるため簡単です。したがって、全導関数\(\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) \)を特定できるのであればより望ましいということになります。ここで役に立つのが先の命題です。つまり、\(f\)が全微分可能かつ\(g\)が微分可能である場合には\(g\circ f\)もまた全微分可能であり、その全導関数\(\left( g\circ f\right)^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) =g^{\prime }\left( f\left(
x\right) \right) \cdot \nabla f\left( x\right)
\end{equation*}を定めることが保証されます。この命題を具体的にどのように利用すればよいでしょうか。以下で解説します。

ある多変数関数が与えられており、それを全微分しようとしている状況を想定します。もし、その関数が多変数関数\(f\)と1変数関数\(g\)の合成関数\(g\circ f\)であることに気が付くことができれば、\(f\)が全微分可能かつ\(g\)が微分可能であるという条件のもと、合成関数の全微分公式\begin{equation}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) =g^{\prime }\left( f\left(
x\right) \right) \cdot \nabla f\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を利用することで、もとの関数を全微分できるはずです。

合成関数の定義より\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \)となるため、合成関数とは、最初に入力した\(x\)に対して合成関数の「内側」の多変数関数\(f\)が値\(y=f\left( x\right) \)を定め、さらにその値\(y\)に対して合成関数の「外側」の1変数関数\(g\)が値\(g\left( y\right) \)を定めるという2段階構造になっています。言い換えると、合成関数\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) \)は「外側」の関数\(g\left( y\right) \)と「内側」の関数\(y=f\left( x\right) \)に分離可能であるということです。これらの表記を利用して\(\left( 1\right) \)を言い換えると、\begin{equation}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) =\frac{d}{dy}g\left(
y\right) \cdot \nabla f\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。つまり、全微分しようとしている関数が2つの関数\(f,g\)の合成関数\(g\circ f\)であることに気が付いた場合には、\(f\)が全微分かつ\(g\)が微分可能であることを確認した上で、\(f,g\)をそれぞれ全微分ないし微分し、得られた結果の積をとれば良いということになります。ただし、\(\left( 2\right) \)の右辺中の\(\frac{dg\left( y\right) }{dy}\)すなわち\(g^{\prime}\left( y\right) \)は変数\(y\)に関する関数であるため、\(\left(1\right) \)のようにこれを\(g^{\prime}\left( f\left( x\right) \right) \)にするためには\(\frac{dg\left( y\right) }{dy}\)の変数に\(y=f\left( x\right) \)を代入する必要があります。このような代入を明示的に表現するのであれば、\(\left( 2\right) \)は、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) =\left. \frac{d}{dy}g\left(
y\right) \right\vert _{y=f\left( x\right) }\cdot \nabla f\left( x\right)
\end{equation*}となります。これを連鎖公式(chain rule)と呼びます。

例(連鎖公式)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+y^{2}+1\)と1変数関数\(\frac{1}{x}\)の合成関数であることに注意してください。多変数の多項式関数は全微分可能であるため\(x^{2}+y^{2}+1\)は全微分可能であり、\(\frac{1}{x}\)は任意の点\(x^{2}+y^{2}+1\ \left(\not=0\right) \)において微分可能であるため\(f\)は全微分可能であり、全導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x,y\right) &=&\left( \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\right)
^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) \right\vert
_{y=x^{2}+y^{2}+1}\cdot \nabla \left( x^{2}+y^{2}+1\right) \quad \because
\text{連鎖公式} \\
&=&\left. -\frac{1}{z^{2}}\right\vert _{y=x^{2}+y^{2}+1}\cdot \left(
2x,2y\right) \\
&=&-\frac{1}{\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}\cdot \left( 2x,2y\right) \\
&=&\left( -\frac{2x}{\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}},-\frac{2y}{\left(
x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(連鎖公式)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x^{2}y^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の単項式関数\(x^{2}y^{2}\)と1変数関数\(\sin \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。多変数の単項式関数は全微分可能であるため\(x^{2}y^{2}\)は全微分可能であり、\(\sin \left( x\right) \)は任意の点\(x^{2}y^{2}\)において微分可能であるため\(f\)は全微分可能であり、全導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x,y\right) &=&\left( \sin \left( x^{2}y^{2}\right)
\right) ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\left( \sin \left( z\right) \right) \right\vert
_{y=x^{2}y^{2}}\cdot \nabla \left( x^{2}y^{2}\right) \quad \because \text{連鎖公式} \\
&=&\left. \cos \left( z\right) \right\vert _{y=x^{2}y^{2}}\cdot \left(
2x,2y\right) \\
&=&\cos \left( x^{2}y^{2}\right) \cdot \left( 2x,2y\right) \\
&=&\left( 2x\cos \left( x^{2}y^{2}\right) ,2y\cos \left( x^{2}y^{2}\right)
\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

次回はベクトル値関数と多変数関数の合成関数を全微分する方法について解説します。

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