オイラーの定理（同次関数の微分）

オイラーの定理

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(f\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定めるということです。その上で、関数\(f\)が以下の3つの条件を満たす状況を想定します。

1つ目の条件として、実数\(k\in \mathbb{R} \)について、関数\(f\)は定義域\(X\)上において\(k\)次の同次関数であるものと定めます。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda >0:\left[ \lambda \boldsymbol{x}\in X\Rightarrow f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda ^{k}f\left(
\boldsymbol{x}\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。以上の事実は、関数\(f\)に入力するベクトル\(\boldsymbol{x}\)をスカラー\(\lambda \)倍すると関数\(f\)が出力する値が\(\lambda ^{k}\)倍されることを意味します。

2つ目の条件として、関数\(f\)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の錐であるものと定めます。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda >0:\lambda \boldsymbol{x}\in X
\end{equation*}が成り立つということです。以上の事実は、\(X\)が正のスカラー倍について閉じていることを意味します。この場合、\(f\)が\(X\)上において\(k\)次の同次関数であることを、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda >0:f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda ^{k}f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}と表現できます。

3つ目の条件として、関数\(f\)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるとともに、\(f\)が\(X\)上において全微分可能であるものとします。全微分可能な関数は偏微分可能であり、全微分可能な関数の全導関数は勾配ベクトル場\begin{equation*}\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と一致することに注意してください。なお、勾配ベクトル場\(\nabla f\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値は勾配ベクトル\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left( \frac{\partial f\left(
\boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left(
\boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{equation*}です。

以上の諸条件が満たされる場合には、任意の\(\boldsymbol{x}\in X\)において、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}\cdot \nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) =kf\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}}+\cdots
+x_{n}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}=kf\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。これをオイラーの定理（Euler’s theorem）と呼びます。

同次関数の特徴づけ

先の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の開集合かつ錐}
\\
&&\left( b\right) \ f\text{は}X\text{上で全微分可能} \\
&&\left( c\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{x}\cdot \nabla
f\left( \boldsymbol{x}\right) =kf\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、関数\(f\)は\(X\)上で\(k\)次の正の同次関数になります。したがって以下を得ます。

演習問題