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要素需要関数と供給関数の0次同次性

〈　1生産物モデルにおける要素需要関数と供給関数
1生産物モデルにおける利潤最大化問題の解法　〉
要素需要関数と供給関数は価格ベクトルに関して0次同次です。つまり、要素価格と生産物価格が同じ割合で変化する前後において、利潤最大化問題の解は変化しません。
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要素需要関数と供給関数の0次同次性

前節では、価格ベクトルに対して最適な投入ベクトルおよび産出量を対応づける要素需要対応・供給対応を定義し、それらが一意的に定まる場合には要素需要関数・供給関数として表現できることを示しました。

本節では、これらの対応および関数が満たす基本的な性質の一つである0次同次性について考えます。0次同次性とは、すべての価格を同じ正の倍率で変化させても、要素需要や供給は変化しないという性質です。これは、生産者の意思決定が価格の絶対的な大きさではなく、生産要素価格と生産物価格の相対的な関係のみに依存することを表しています。

この性質は、利潤最大化問題の目的関数が価格ベクトルについて線形であることから導かれる、生産者理論における最も基本的な性質の一つです。本節では、その内容を厳密に定式化し、証明します。

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\boldsymbol{z}=\left( \boldsymbol{x},y\right) =\left( x_{1},\cdots
,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に直面した生産者が解くべき利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\quad \text{s.t.}\quad
\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y
\end{equation*}として定式化されます。利潤最大化を目指す生産者の意思決定が利潤最大化対応\begin{equation*}
Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されているものとします。つまり、価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題の解からなる集合は、\begin{equation*}Z^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x}^{\ast
},y^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\ |\ \forall \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y:py^{\ast }-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}^{\ast }\geq py-\boldsymbol{w}\cdot
\boldsymbol{x}\right\}
\end{equation*}です。このとき、要素需要対応と供給対応\begin{eqnarray*}
X^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N} \\
Y^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}はそれぞれ、任意の\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{eqnarray*}X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}^{\ast
}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \exists y\in \mathbb{R} _{+}:\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Z^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \right\} \\
Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) &=&\left\{ y^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Z^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \right\}
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されます。

価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)を出発点として、すべての生産要素と生産物の価格を同じ割合\(\lambda >0\)で変化させると価格ベクトルは\(\left(\lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)へ変化します。変化前の\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの最適な投入量からなる集合は\(X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \)であり、変化後の\(\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) \)のもとでの最適な投入量からなる集合は\(X^{\ast}\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) \)ですが、両者は一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}X^{\ast }\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) =X^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right)
\end{equation*}が成り立ちます。同様に、変化前の\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの最適な産出量からなる集合は\(Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \)であり、変化後の\(\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) \)のもとでの最適な産出量からなる集合は\(Y^{\ast }\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) \)ですが、両者は一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) =Y^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right)
\end{equation*}が成り立ちます。すべての生産要素と生産物の価格が同じ割合で変化する場合には、その変化の前後において、利潤最大化問題の解からなる集合は変化しないということです。

以上の議論は任意の\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)と\(\lambda >0\)について成立します。つまり、\begin{eqnarray*}\forall \left( \boldsymbol{w},p\right) &\in &\mathbb{R} _{++}^{N+1},\ \forall \lambda >0:X^{\ast }\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) =X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \\
\forall \left( \boldsymbol{w},p\right) &\in &\mathbb{R} _{++}^{N+1},\ \forall \lambda >0:Y^{\ast }\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) =Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。要素需要対応\(X^{\ast }\)と供給対応\(Y^{\ast }\)が満たすこの性質を0次同次性（homogeneous of degree 0）と呼びます。

命題（要素需要対応と供給対応の0次同次性）
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて利潤最大化対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が非空値をとる場合、要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} \)もまた非空値をとるとともに、\begin{eqnarray*}\forall \left( \boldsymbol{w},p\right) &\in &\mathbb{R} _{++}^{N+1},\ \forall \lambda >0:X^{\ast }\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) =X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \\
\forall \left( \boldsymbol{w},p\right) &\in &\mathbb{R} _{++}^{N+1},\ \forall \lambda >0:Y^{\ast }\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) =Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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要素需要対応\(X^{\ast }\)と供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとるとともに像が常に1点集合である場合には要素需要関数と供給関数\begin{eqnarray*}x^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N} \\
y^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}が存在して、任意の\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)において、\begin{eqnarray*}X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) &=&\left\{ x^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right) \right\} \\
Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) &=&\left\{ y^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right) \right\}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。先の命題を利用することにより要素需要関数と供給関数もまた0次同次であることを示すことができます。

命題（要素需要関数と供給関数の0次同次性）
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する場合、\begin{eqnarray*}\forall \left( \boldsymbol{w},p\right) &\in &\mathbb{R} _{++}^{N+1},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:x^{\ast }\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) =x^{\ast
}\left( \boldsymbol{w},p\right) \\
\forall \left( \boldsymbol{w},p\right) &\in &\mathbb{R} _{++}^{N+1},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:y^{\ast }\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) =y^{\ast
}\left( \boldsymbol{w},p\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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例（要素需要関数と供給関数の0次同次性）
1生産要素1生産物モデルにおいて要素需要関数と供給関数\begin{eqnarray*}
x^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+} \\
y^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}が存在する場合、先の命題より、任意の価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)および\(\lambda >0\)について、\begin{eqnarray*}x^{\ast }\left( \lambda w,\lambda p\right) &=&x^{\ast }\left( w,p\right) \\
y^{\ast }\left( \lambda w,\lambda p\right) &=&y^{\ast }\left( w,p\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例（要素需要関数と供給関数の0次同次性）
2生産要素1生産物モデルにおいて要素需要関数と供給関数\begin{eqnarray*}
x^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2} \\
y^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}が存在する場合、先の命題より、任意の価格ベクトル\(\left( w_{1},w_{2},p\right)\in \mathbb{R} _{++}^{3}\)および\(\lambda >0\)について、\begin{eqnarray*}x^{\ast }\left( \lambda w_{1},\lambda w_{2},\lambda p\right) &=&x^{\ast
}\left( w_{1},w_{2},p\right) \\
y^{\ast }\left( \lambda w_{1},\lambda w_{2},\lambda p\right) &=&y^{\ast
}\left( w_{1},w_{2},p\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
x_{1}^{\ast }\left( \lambda w_{1},\lambda w_{2},\lambda p\right)
&=&x_{1}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( \lambda w_{1},\lambda w_{2},\lambda p\right)
&=&x_{2}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) \\
y^{\ast }\left( \lambda w_{1},\lambda w_{2},\lambda p\right) &=&y^{\ast
}\left( w_{1},w_{2},p\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例（要素需要関数と供給関数の0次同次性）
1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{2}{3}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{2}{3}}
\end{equation*}を定めます。価格ベクトルを\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)とする場合、利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}py-wx\quad \text{s.t.}\quad \left( x,y\right) \in Y
\end{equation*}ですが、これは以下の問題\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} }px^{\frac{2}{3}}-wx
\end{equation*}と等価です。目的関数を、\begin{equation*}
g\left( x\right) =px^{\frac{2}{3}}-wx
\end{equation*}と置く場合、任意の\(x>0\)において、\begin{eqnarray*}g^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{2}{3}px^{-\frac{1}{3}}-w \\
g^{\prime \prime }\left( x\right) &=&-\frac{2}{9}px^{-\frac{4}{3}}<0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(g\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で狭義凹関数です。さらに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}g^{\prime }\left( x\right) &=&+\infty \\
\lim_{x\rightarrow +\infty }g^{\prime }\left( x\right) &=&-w<0
\end{eqnarray*}であるため、停留点が利潤最大化問題の解です。停留点を求めると、\begin{equation*}
\frac{2}{3}px^{-\frac{1}{3}}-w=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x=\left( \frac{2p}{3w}\right) ^{3}
\end{equation*}を得ます。したがって、要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left( \frac{2p}{3w}\right) ^{3}
\end{equation*}を定め、供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、\begin{eqnarray*}y^{\ast }\left( p,w\right) &=&f\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) \\
&=&\left( \frac{2p}{3w}\right) ^{2}
\end{eqnarray*}を定めます。\(x^{\ast }\)と\(y^{\ast }\)はともに相対関数\(\frac{p}{w}\)に関する関数であることに注意してください。任意の\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と\(\lambda >0\)のもとで、\begin{eqnarray*}x^{\ast }\left( \lambda p,\lambda w\right) &=&\left( \frac{2\lambda p}{3\lambda w}\right) ^{3} \\
&=&\left( \frac{2p}{3w}\right) ^{3} \\
&=&x^{\ast }\left( p,w\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、\begin{eqnarray*}
y^{\ast }\left( \lambda p,\lambda w\right) &=&\left( \frac{2\lambda p}{3\lambda w}\right) ^{2} \\
&=&\left( \frac{2p}{3w}\right) ^{2} \\
&=&y^{\ast }\left( p,w\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(x^{\ast }\)と\(y^{\ast }\)は0次同次性を満たします。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

 

要素需要対応と供給対応の0次同次性とニュメレール

要素需要対応と供給対応の0次同次性は、貨幣単位の付け替えが経済学的には意味を持たないことを示唆しています。貨幣単位が「円」である場合、価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であるような投入ベクトルからなる集合と産出量からなる集合は\(X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \)と\(Y^{\ast}\left( \boldsymbol{w},p\right) \)です。ここで、貨幣単位を「銭」に変換すると先の価格ベクトルは\(\left( 100\boldsymbol{w},100p\right) \)と表現され、そこでの利潤最大化問題の解であるような投入ベクトルからなる集合と産出量からなる集合は\(X^{\ast }\left(100w,100p\right) \)と\(Y^{\ast }\left( 100\boldsymbol{w},100p\right) \)になります。ただし、要素需要対応\(X^{\ast }\)と供給対応\(Y^{\ast }\)は0次同次であるため、このとき、\begin{eqnarray*}X^{\ast }\left( 100\boldsymbol{w},100p\right) &=&X^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right) \\
Y^{\ast }\left( 100\boldsymbol{w},100p\right) &=&Y^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、貨幣単位を「円」から「銭」に変更しても利潤最大化問題の解は変化しません。通貨を「円」から「ドル」や「ユーロ」などに変更する場合にも同様の議論が成り立ちます。つまり、要素需要対応と供給対応が価格ベクトルに関して0次同次である場合には、貨幣の種類や単位を変更しても利潤最大化問題の解は変化しません。

要素需要対応と供給対応の0次同次性は、利潤最大化を目指す生産者の意思決定が相対価格にのみ依存することも意味します。実際、価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)と正の実数\(\lambda \)が与えられたとき、0次同次性より、\begin{eqnarray*}X^{\ast }\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) &=&X^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right) \\
Y^{\ast }\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) &=&Y^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、\(p>0\)ゆえに、\begin{equation*}\lambda =\frac{1}{p}
\end{equation*}を採用することにより、\begin{eqnarray*}
X^{\ast }\left( \frac{1}{p}\boldsymbol{w},1\right) &=&X^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right) \\
Y^{\ast }\left( \frac{1}{p}\boldsymbol{w},1\right) &=&Y^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
X^{\ast }\left( \frac{w_{1}}{p},\cdots ,\frac{w_{N}}{p},1\right) &=&X^{\ast
}\left( w_{1},\cdots ,w_{N},p\right) \\
Y^{\ast }\left( \frac{w_{1}}{p},\cdots ,\frac{w_{N}}{p},1\right) &=&Y^{\ast
}\left( w_{1},\cdots ,w_{N},p\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

0次同次性の微分形

要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する場合、任意の価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)と正の実数\(\lambda >0\)のもとで、\begin{equation*}x^{\ast }\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) =x^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、それぞれの生産要素\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の要素需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)についても、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) =x_{n}^{\ast
}\left( \boldsymbol{w},p\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

点\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)を任意に選んで固定し、それぞれの\(\lambda \in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( \lambda \right) =\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right)
\end{equation*}を値として定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{v}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}^{N+1}
\end{equation*}を定義します。その上で合成関数\begin{equation*}
x_{n}^{\ast }\circ \boldsymbol{v}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}^{N+1}
\end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(\lambda \in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( x_{n}^{\ast }\circ \boldsymbol{v}\right) \left( \lambda \right)
&=&x_{n}^{\ast }\left( \boldsymbol{v}\left( \lambda \right) \right) \quad
\because \text{合成関数の定義} \\
&=&x_{n}^{\ast }\left( \lambda \boldsymbol{w},\lambda p\right) \quad
\because \boldsymbol{v}\text{の定義} \\
&=&x_{n}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \quad \because 0\text{次同次性}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x_{n}^{\ast }\circ \boldsymbol{v}\right) \left( \lambda \right)
=x_{n}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right)
\end{equation*}を定めます。その上で、両辺を\(\lambda \)で微分し、それを\(\lambda =1\)で評価することにより、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) }{\partial w_{i}}\cdot w_{i}\right] +\frac{\partial x_{n}^{\ast
}\left( \boldsymbol{w},p\right) }{\partial p}\cdot p=0
\end{equation*}を得ます。同様の議論は任意の価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)および生産要素\(n\)について成立します。

左辺中の\(\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) }{\partial w_{i}}\)は生産要素\(i\)の価格\(w_{i}\)が限界的に変化したときの生産要素\(n\)の投入量の変化であるため、これと生産要素\(i\)の価格\(w_{i}\)の積である、\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) }{\partial w_{i}}\cdot w_{i}
\end{equation*}は、生産要素\(i\)の価格が\(w_{i}\)だけ変化したときの生産要素\(n\)の投入量の変化を表します。一方、\(\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) }{\partial p}\)は生産物の価格\(p\)が限界的に変化したときの生産要素\(n\)の投入量の変化であるため、これと生産物の価格\(p\)の積である、\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) }{\partial p}\cdot p
\end{equation*}は、生産物の価格が\(p\)だけ変化したときの生産要素\(n\)の投入量の変化を表します。したがって、生産要素\(n\)について、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) }{\partial w_{i}}\cdot w_{i}\right] +\frac{\partial x_{n}^{\ast
}\left( \boldsymbol{w},p\right) }{\partial p}\cdot p=0
\end{equation*}が成り立つこととは、任意の\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)を出発点としたときに、それぞれの生産要素\(i\)の価格を\(w_{i}\)だけ変化させるとともに生産物の価格を\(p\)だけ変化させても生産要素\(i\)の投入量は変化しないことを意味します。同様の議論は任意の生産要素について成立するため、結局、任意の\(\left( p,\boldsymbol{w}\right) \)を出発点としたとき、それぞれの生産要素\(i\)の価格を\(w_{i}\)だけ変化させるとともに生産物の価格を\(p\)だけ変化させても投入ベクトルは変化しません。

命題（要素需要関数に関する0次同次性の微分形）
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産要素\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)に関する要素需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在するとともに全微分可能であるならば、任意の\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)において、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) }{\partial w_{i}}\cdot w_{i}\right] +\frac{\partial x_{n}^{\ast
}\left( \boldsymbol{w},p\right) }{\partial p}\cdot p=0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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供給関数についても同様の主張が成り立ちます。

命題（供給関数に関する0次同次性の微分形）
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産要素\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)に関する供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在するとともに全微分可能であるならば、任意の\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)において、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right)
}{\partial w_{i}}\cdot w_{i}\right] +\frac{\partial y^{\ast }\left(
\boldsymbol{w},p\right) }{\partial p}\cdot p=0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例（要素需要関数と供給関数の0次同次性の微分形）
1生産要素1生産物モデルにおいて要素需要関数と供給関数\begin{eqnarray*}
x^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+} \\
y^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}が存在するとともに全微分可能である場合、先の命題より、任意の価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)において、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x^{\ast }\left( w,p\right) }{\partial w}\cdot w+\frac{\partial x^{\ast }\left( w,p\right) }{\partial p}\cdot p &=&0 \\
\frac{\partial y^{\ast }\left( w,p\right) }{\partial w}\cdot w+\frac{\partial y^{\ast }\left( w,p\right) }{\partial p}\cdot p &=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例（要素需要関数と供給関数の0次同次性の微分形）
2生産要素1生産物モデルにおいて要素需要関数と供給関数\begin{eqnarray*}
x^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2} \\
y^{\ast } &:&\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}が存在するとともに全微分可能である場合、先の命題より、任意の価格ベクトル\(\left( w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)において、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) }{\partial w_{1}}\cdot w_{1}+\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) }{\partial w_{2}}\cdot w_{2}+\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left(
w_{1},w_{2},p\right) }{\partial p}\cdot p &=&0 \\
\frac{\partial x_{2}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) }{\partial w_{1}}\cdot w_{1}+\frac{\partial x_{2}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) }{\partial w_{2}}\cdot w_{2}+\frac{\partial x_{2}^{\ast }\left(
w_{1},w_{2},p\right) }{\partial p}\cdot p &=&0 \\
\frac{\partial y^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) }{\partial w_{1}}\cdot
w_{1}+\frac{\partial y^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) }{\partial w_{2}}\cdot w_{2}+\frac{\partial y^{\ast }\left( w_{1},w_{2},p\right) }{\partial p}\cdot p &=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例（要素需要関数と供給関数の0次同次性の微分形）
1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{2}{3}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。先に示したように、この場合、要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left( \frac{2p}{3w}\right) ^{3}
\end{equation*}を定めます。\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選びます。すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x^{\ast }\left( w,p\right) }{\partial w}\cdot w+\frac{\partial x^{\ast }\left( w,p\right) }{\partial p}\cdot p &=&\left[ \frac{\partial }{\partial w}\left( \frac{2p}{3w}\right) ^{3}\right] \cdot w+\left[
\frac{\partial }{\partial p}\left( \frac{2p}{3w}\right) ^{3}\right] \cdot p
\\
&=&-\frac{8}{9}\frac{p^{3}}{w^{4}}\cdot w+\frac{8}{9}\frac{p^{2}}{w^{3}}\cdot p \\
&=&-\frac{8}{9}\frac{p^{3}}{w^{3}}+\frac{8}{9}\frac{p^{3}}{w^{3}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)についても同様です。

 

演習問題

問題（要素需要関数と供給関数の0次同次性）
1生産要素1生産物モデルにおける生産関数が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{1}{4}}
\end{equation*}として与えられているものとします。価格ベクトルを\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)とします。以下の問いに答えてください。

  1. 利潤最大化問題を定式化してください。
  2. 要素需要関数\(x^{\ast }\left(w,p\right) \)を求めてください。
  3. 供給関数\(y^{\ast }\left( w,p\right) \)を求めてください。
  4. 要素需要関数と供給関数が価格に関して0次同次であることを確認してください。
  5. 問2で求めた要素需要関数\(x^{\ast }\left( w,p\right) \)について、\begin{equation*}\frac{\partial x^{\ast }\left( w,p\right) }{\partial w}w+\frac{\partialx^{\ast }\left( w,p\right) }{\partial p}p=0
    \end{equation*}が成り立つことを確認してください。
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〈　1生産物モデルにおける要素需要関数と供給関数
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