要素需要関数と供給関数の0次同次性

要素需要関数と供給関数の0次同次性

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)ないし生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているとともに、利潤最大化を目指す生産者の意思決定が要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されており、なおかつ\(X^{\ast }\)と\(Y^{\ast }\)は非空値をとるものとします。価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}pf\left( x\right) -w\cdot x
\end{equation*}の解であるような投入ベクトルおよび産出量からなる集合はそれぞれ、\begin{eqnarray*}
X^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:pf\left( x\right) -w\cdot x\geq pf\left( x^{\prime }\right) -w\cdot
x^{\prime }\right\} \\
Y^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in X^{\ast }\left( w,p\right) \right\}
\end{eqnarray*}です。すべての商品の価格を同じ割合\(\lambda >0\)で上昇させたとき、変化後の価格ベクトル\(\left( \lambda w,\lambda p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であるような投入ベクトルからなる集合と産出量からなる集合はそれぞれ、\begin{eqnarray*}X^{\ast }\left( \lambda w,\lambda p\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\lambda pf\left( x\right) -\lambda w\cdot x\geq \lambda pf\left(
x^{\prime }\right) -\lambda w\cdot x^{\prime }\right\} \\
Y^{\ast }\left( \lambda w,\lambda p\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in X^{\ast }\left( \lambda w,\lambda p\right) \right\}
\end{eqnarray*}となりますが、実際には、\begin{eqnarray*}
X^{\ast }\left( \lambda w,\lambda p\right) &=&X^{\ast }\left( w,p\right) \\
Y^{\ast }\left( \lambda w,\lambda p\right) &=&Y^{\ast }\left( w,p\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます（演習問題）。つまり、すべての商品の価格を同じ割合\(\lambda \)で変化させる場合、その変化の前後において、利潤最大化問題の解からなる集合は変化しません。

以上の議論は任意の\(\left( w,p\right) \)と\(\lambda \)について成立するため、要素需要対応\(X^{\ast }\)と供給対応\(Y^{\ast }\)について、\begin{eqnarray*}\forall \left( w,p\right) &\in &\mathbb{R} _{++}^{N+1},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:X^{\ast }\left( \lambda w,\lambda p\right) =X^{\ast }\left( w,p\right)
\\
\forall \left( w,p\right) &\in &\mathbb{R} _{++}^{N+1},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:Y^{\ast }\left( \lambda w,\lambda p\right) =Y^{\ast }\left( w,p\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、要素需要対応\(X^{\ast }\)と供給対応\(Y^{\ast }\)は価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)に関して0次同次であるということです。

要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する場合には、価格ベクトル\(\left( w,p\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題からなる解からなる集合は常に1点集合であり、\begin{eqnarray*}\forall \left( w,p\right) &\in &\mathbb{R} _{++}^{N+1}:X^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{ x^{\ast }\left( w,p\right) \right\}
\\
\forall \left( w,p\right) &\in &\mathbb{R} _{++}^{N+1} :Y^{\ast }\left( w,p\right) =\left\{ y^{\ast }\left( w,p\right) \right\}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。先と同様の議論を繰り返すことにより、要素需要関数と供給関数が価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)に関して0次同次であることを示すことができます。

要素需要対応と供給対応の0次同次性とニュメレール

要素需要対応と供給対応の0次同次性は、貨幣単位の付け替えが経済学的には意味を持たないことを示唆しています。貨幣単位が「円」である場合、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であるような投入ベクトルからなる集合と産出量からなる集合は\(X^{\ast }\left( w,p\right) \)と\(Y^{\ast }\left( w,p\right) \)です。ここで、貨幣単位を「銭」に変換すると先の価格ベクトルは\(\left( 100w,100p\right) \)と表現され、そこでの利潤最大化問題の解であるような投入ベクトルからなる集合と産出量からなる集合は\(X^{\ast}\left( 100w,100p\right) \)と\(Y^{\ast }\left( 100w,100p\right) \)になります。ただし、要素需要対応\(X^{\ast }\)と供給対応\(Y^{\ast }\)は0次同次であるため、このとき、\begin{eqnarray*}X^{\ast }\left( 100w,100p\right) &=&X^{\ast }\left( w,p\right) \\
Y^{\ast }\left( 100w,100p\right) &=&Y^{\ast }\left( w,p\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、貨幣単位を「円」から「銭」に変更しても利潤最大化問題の解は変化しません。通貨を「円」から「ドル」や「ユーロ」などに変更する場合にも同様の議論が成り立ちます。つまり、要素需要対応と供給対応が価格ベクトルに関して0次同次である場合には、貨幣の種類や単位を変更しても利潤最大化問題の解は変化しません。