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生産者理論

生産集合の中立性

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生産集合の後退錐

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)として表現されているとともに、\(Y\)は非空凸集合であるものとします。このとき、ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{N}\)が、\begin{equation*}\forall y\in Y:y+v\in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
Y+v\subset Y
\end{equation*}を満たすならば、\(v\)を\(Y \)の後退ベクトル(recession vector)と呼びます。これは、技術的に選択可能な生産ベクトル\(y\in Y\)を任意に選んだとき、それに\(v\)を足すことで得られる生産ベクトルもまた技術的に選択可能であることを意味します。

例(生産集合の後退ベクトル)
非空の生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が与えられたとき、生産ベクトル\(y\in Y\)を選ぶことができます。このとき、\begin{equation*}y+0=y\in Y
\end{equation*}が成り立つため、\(0\)は\(Y\)の後退ベクトルです。つまり、ゼロベクトルは任意の非空な生産集合の後退ベクトルです。
例(生産集合の後退ベクトル)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

図:無償廃棄可能性と後退ベクトル
図:無償廃棄可能性と後退ベクトル

生産ベクトル\(y\in Y\)を任意に選んだとき、それより左下の部分にある任意の点、すなわち\(y-\mathbb{R} _{+}^{2}\)の任意の点が\(Y\)の点になりますが、これは\(Y\)が無償廃棄可能性を満たすことを意味します。つまり、\begin{equation*}Y-\mathbb{R} _{+}^{2}\subset Y
\end{equation*}が成り立つということです。これは、\begin{equation*}
Y+\mathbb{R} _{-}^{2}\subset Y
\end{equation*}と必要十分ですが、以上の事実は\(\mathbb{R} _{-}^{2}\)の任意の要素が\(Y\)の後退ベクトルであることを意味します。つまり、\(\mathbb{R} _{-}^{2}\)の任意の点、すなわちすべての成分が非正の実数であるような任意のベクトルは、無償廃棄可能性を満たす生産集合の後退ベクトルです。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が非空性と凸性を満たすものとします。その上で、\(Y\)のすべての後退ベクトルからなる集合を\(Y\)の後退錐(recession cone)と呼び、これを、\begin{eqnarray*}\mathrm{recc}\left( Y\right) &=&\left\{ v\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ \forall y\in Y:y+v\in Y\right\} \\
&=&\left\{ v\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ Y+v\in Y\right\}
\end{eqnarray*}で表記します。

先の例から明らかであるように、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が非空性と凸性に加えて無償廃棄可能性を満たす場合、すべての成分が非正の実数であるような任意のベクトルは生産集合の後退ベクトルになります。したがって以下を得ます。

命題(後退錐の性質)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たす場合には、\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}^{N}\subset \mathrm{recc}\left( Y\right)\end{equation*}が成り立つ。

証明

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生産集合の中立性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たす場合には、\begin{equation}\mathbb{R} _{-}^{N}\subset \mathrm{recc}\left( Y\right) \quad \cdots (1)\end{equation}という関係が成り立つことが明らかになりましたが、逆に、\begin{equation}
\mathrm{recc}\left( Y\right) \subset \mathbb{R} _{-}^{N} \quad \cdots (2)
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。そこで、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合、\(Y\)は中立性(neutrality)を満たすと言います。\(\left( 1\right) \)が常に成り立つことを踏まえると、\(\left( 2\right) \)が成り立つことは、\begin{equation*}\mathrm{recc}\left( Y\right) =\mathbb{R} _{-}^{N}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たす生産集合\(Y\)が中立性を満たすこととは、すべての成分が非正の実数であるような任意のベクトルが\(Y\)の後退ベクトルであるとともに、それ以外に\(Y\)の後退ベクトルが存在しないことを意味します。

例(中立性)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

図:中立性
図:中立性

この生産集合は非空性、凸性、無償廃棄性を満たすため、\(\mathbb{R} _{-}^{N}\)に属する任意のベクトルは\(Y\)の後退ベクトルです。その一方で、\(\mathbb{R} _{-}^{N}\)に属さないベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}y+v\not\in Y
\end{equation*}を満たす生産ベクトル\(y\in Y\)がそれぞれ存在するため(上図)、\(v\)は\(Y\)の後退ベクトルではありません。したがって、\begin{equation*}\mathrm{recc}\left( Y\right) =\mathbb{R} _{-}^{2}
\end{equation*}が成り立つため、\(Y\)は中立性を満たします。

例(中立性)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

図:中立性
図:中立性

この生産集合は非空性、凸性、無償廃棄性を満たすため、\(\mathbb{R} _{-}^{N}\)に属する任意のベクトルは\(Y\)の後退ベクトルです。加えて、図中の\(v\)は\(\mathbb{R} _{-}^{N}\)に属さないベクトルである一方、\begin{equation*}\forall y\in Y:y+v\in Y
\end{equation*}が成り立つため(上図)、\(v\)は\(Y\)の後退ベクトルです。したがって、\(Y\)は中立性を満たしません。

生産集合\(Y\)が中立性であることは何を意味するのでしょうか。\(Y\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性に加えて中立性を満たす場合、すなわち、\begin{equation*}\mathrm{recc}\left( Y\right) \subset \mathbb{R} _{-}^{N}
\end{equation*}が成り立つ場合、これは、\begin{equation*}
\forall v\in \mathbb{R} ^{N}:\left[ v\in \mathrm{recc}\left( Y\right) \Rightarrow v\in \mathbb{R} _{-}^{N}\right] \end{equation*}を意味しますが、対偶をとると、\begin{equation*}
\forall v\in \mathbb{R} ^{N}:\left[ v\not\in \mathbb{R} _{-}^{N}\Rightarrow v\not\in \mathrm{recc}\left( Y\right) \right] \end{equation*}を得ます。後退錐の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall v\in \mathbb{R} ^{N}:\left[ v\not\in \mathbb{R} _{-}^{N}\Rightarrow \exists y\in Y:y+v\not\in Y\right] \end{equation*}を意味します。\(v\not\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)が成り立つこととは、\(v\)の成分の中に正の実数が存在することを意味します。したがって、中立性の仮定とは、何らかの生産物の純産出量を増やそうとする行為が技術的に不可能であるような局面が必ず到来することを意味します。

逆に、生産集合\(Y\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たす一方で中立性を満たさない場合には、上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists v\in \mathbb{R} ^{N}:\left[ v\not\in \mathbb{R} _{-}^{N}\wedge \forall y\in Y:y+v\in Y\right] \end{equation*}を得ます。つまり、中立性の仮定が成り立たない場合には、技術的に選択可能な生産ベクトル\(y\)を任意に選んだとき、さらにそこから何らかの商品の純産出量を増やすことが技術的に可能です。中立性はこのような可能性を排除します。

 

変換関数の性質としての中立性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が与えられたとき、変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は任意の\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ y\in Y\Leftrightarrow F\left( y\right) \leq 0 \\
&&\left( b\right) \ y\in Y^{f}\Leftrightarrow F\left( y\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されます。先の議論より、\(Y\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たす場合、\(Y\)が中立性を満たすことは、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{R} ^{N}:\left[ v\not\in \mathbb{R} _{-}^{N}\Rightarrow \exists y\in Y:y+v\not\in Y\right] \end{equation*}と必要十分ですが、変換関数\(F\)を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{R} ^{N}:\left[ v\not\in \mathbb{R} _{-}^{N}\Rightarrow \exists y\in \mathbb{R} ^{N}:F\left( y\right) \leq 0\wedge F\left( y+v\right) >0\right] \end{equation*}となります。

命題(変換関数の性質としての中立性)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たすものとする。変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{R} ^{N}:\left[ v\not\in \mathbb{R} _{-}^{N}\Rightarrow \exists y\in \mathbb{R} ^{N}:F\left( y\right) \leq 0\wedge F\left( y+v\right) >0\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(Y\)が中立性を満たすための必要十分条件である。
例(中立性)
2財モデルにおいて生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします(下図)。

図:中立性
図:中立性

\(Y\)は非空性、凸性、無償廃棄性を明らかに満たします。変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y_{2}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}} & \left( if\ y_{1}\leq
0\right) \\
>0 & \left( if\ y_{1}>0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を満たします。\(\left(v_{1},v_{2}\right) \not\in \mathbb{R} _{-}^{2}\)を満たすベクトル\(\left( v_{1},v_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選びます。\(v_{1}>0\)を満たす場合には、生産ベクトル\(\left( 0,0\right)\in Y\)に関して、\begin{eqnarray*}F\left( 0+v_{1},0+v_{2}\right) &=&F\left( v_{1},v_{2}\right) \\
&>&0\quad \because v_{1}>0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(v_{1}=0\)かつ\(v_{2}>0\)を満たす場合には、\begin{eqnarray*}F\left( 0+v_{1},0+v_{2}\right) &=&F\left( 0,v_{2}\right) \quad \because
v_{1}=0 \\
&=&v_{2} \\
&>&0\quad \because v_{2}>0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(v_{1}<0\)かつ\(v_{2}>0\)を満たす場合には、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =0
\end{equation*}すなわち\begin{equation*}
y_{2}=\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を満たす点\(\left( y_{1},y_{2}\right) \)の中でも\(y_{1}\)が十分小さいものをとることにより、\begin{equation*}y_{2}+v_{2}>\left\vert y_{1}+v_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
F\left( y_{1}+v_{1},y_{2}+v_{2}\right) >0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(Y\)は中立性を満たします。

先の命題より、生産集合\(Y\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たす一方で、変換関数\(F\)に関して、\begin{equation*}\exists v\in \mathbb{R} ^{N}:\left[ v\not\in \mathbb{R} _{-}^{N}\wedge \forall y\in \mathbb{R} ^{N}:F\left( y\right) \leq 0\wedge F\left( y+v\right) \leq 0\right] \end{equation*}が成り立つ場合には、\(Y\)は中立性を満たしません。

例(中立性)
2財モデルにおいて生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします(下図)。

図:中立性
図:中立性

\(Y\)は非空性、凸性、無償廃棄性を明らかに満たします。変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =y_{2}+y_{1}
\end{equation*}です。ベクトル\(\left( -1,\frac{1}{2}\right) \in \mathbb{R} _{-}^{2}\)に注目した場合、任意の生産ベクトル\(\left( y_{1},y_{2}\right) \in Y\)に対して、\begin{eqnarray*}F\left( y_{1}-1,y_{2}+\frac{1}{2}\right) &=&\left( y_{2}+\frac{1}{2}\right)
+\left( y_{1}-1\right) \\
&=&y_{2}+y_{1}-\frac{1}{2} \\
&\leq &0-\frac{1}{2}\quad \because \left( y_{1},y_{2}\right) \in Y \\
&\leq &0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(Y\)は中立性を満たしません。

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