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PRODUCER THEORY

生産集合の中立性

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生産集合の後退ベクトル

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が非空性と凸性を満たすものとします。つまり、\(Y\)が非空な凸集合であるということです。このとき、ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{N}\)が、\begin{equation*}\forall y\in Y:y+v\in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
Y+v\subset Y
\end{equation*}を満たすならば、\(v\)を\(X\)の後退ベクトル(recession vector)と呼びます。これは、技術的に選択可能な生産ベクトル\(y\)を任意に選んだときに、それに\(v\)を足して得られる生産ベクトルもまた技術的に選択可能であることが保証されることを意味します。

例(生産集合の後退ベクトル)
非空の生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が与えられたとき、生産ベクトル\(y\in Y\)を選ぶことができます。このとき、\begin{equation*}y+0=y\in Y
\end{equation*}が成り立つため、\(0\)は\(X\)の後退ベクトルです。つまり、ゼロベクトルは任意の非空な生産集合の後退ベクトルです。
例(生産集合の後退ベクトル)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。\(y\in Y\)を任意に選んだとき、それより左下の部分にある任意の点、すなわち\(y-\left\{ \mathbb{R} _{+}^{2}\right\} \)の任意の点が\(Y\)の点になりますが、これは\(Y\)が無償廃棄可能性を満たすことを意味します。同じことを別の形で表現すると、\(y\in Y\)を任意に選んだとき、それに対して\(v\in \mathbb{R} _{-}^{2}\)を任意に選ぶと\(y+v\in Y\)が成り立つということです。これは\(v\)が\(Y\)の後退ベクトルであることを意味します。つまり、\(\mathbb{R} _{-}^{2}\)の任意の点、すなわちすべての成分が非正の実数であるような任意のベクトルは、無償廃棄可能性を満たす生産集合の後退ベクトルです。

図:無償廃棄可能性と後退ベクトル
図:無償廃棄可能性と後退ベクトル

 

生産集合の後退錐

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が非空性と凸性を満たすものとします。その上で、\(Y\)のすべての後退ベクトルからなる集合を\(Y\)の後退錐(recession cone)と呼び、これを、\begin{eqnarray*}\mathrm{recc}\left( Y\right) &=&\left\{ v\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ \forall y\in Y:y+v\in Y\right\} \\
&=&\left\{ v\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ Y+v\in Y\right\}
\end{eqnarray*}で表記します。

先の例から明らかであるように、生産集合が非空性と凸性に加えて無償廃棄可能性を満たす場合、すべての成分が非正の実数であるような任意のベクトルは生産集合の後退ベクトルになります。したがって以下の命題を得ます。

命題(後退錐の性質)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たす場合には、\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}^{n}\subset \mathrm{recc}\left( Y\right) \end{equation*}が成り立つ。

証明

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中立性を満たす生産集合

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が非空性、凸性、無償廃棄可能性を満たす場合には、\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}^{n}\subset \mathrm{recc}\left( Y\right) \end{equation*}という関係が常に成り立つことが明らかになりましたが、逆に、\begin{equation*}
\mathrm{recc}\left( Y\right) \subset \mathbb{R} _{-}^{n}
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。そこで、生産集合\(Y\)の後退錐に関して後者の包含関係が成立する場合、\(Y\)は中立性(neutrality)を満たすと言います。

生産集合\(Y\)が中立性であることは何を意味するのでしょうか。\(Y\)が中立性を満たす場合、\(v\in \mathbb{R} ^{N}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}v\in \mathrm{recc}\left( Y\right) \Rightarrow v\in \mathbb{R} _{-}^{n}
\end{equation*}が成り立ちますが、対偶より、\begin{equation*}
v\not\in \mathbb{R} _{-}^{n}\Rightarrow v\not\in \mathrm{recc}\left( Y\right)
\end{equation*}を得ます。後退錐の定義より、これは、\begin{equation*}
v\not\in \mathbb{R} _{-}^{n}\Rightarrow \exists y\in Y:y+v\not\in Y
\end{equation*}が成り立つことを意味します。\(v\not\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)が成り立つこととは、\(v\)の成分の中に正の実数が存在することを意味します。これと何らかの\(y\in Y\)の間に\(y+v\not\in Y\)が成り立つということは、技術的に選択可能な生産ベクトル\(y\)を出発点に何らかの生産物の生産量を増やそうとすると、それはもう技術的に選択可能ではなくなってしまうことを意味します。

逆に、生産集合\(Y\)が中立性を満たさない場合にはどのような事態が起こり得るのでしょうか。この場合、\(\mathbb{R} _{-}^{n}\)は\(\mathrm{recc}\left( Y\right) \)の真部分集合になるため、\(v\in \mathrm{recc}\left( Y\right) \)かつ\(v\not\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)を満たす\(v\in \mathbb{R} ^{N}\)が存在します。後退錐の定義より、これは、任意の\(y\in Y\)に対して\(y+v\in Y\)になるような\(v\in \mathbb{R} ^{N}\)が存在し、しかもそれは\(v\not\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)を満たすことを意味します。\(v\not\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)が成り立つこととは、\(v\)の成分の中に正の実数が存在することを意味します。したがって、生産集合が中立性を満たさない場合には、技術的に選択可能な生産ベクトル\(y\)を任意に選んだとき、さらにそこから何らかの商品の生産量を増やすことができます。中立性はこのような可能性を排除します。

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