利潤最大化問題の解であるための必要条件
前節までは、利潤最大化問題の定式化や解の存在、さらに要素需要対応・供給対応およびそれらの基本的な性質について考察してきました。しかし、実際に生産者の行動を分析するためには、利潤最大化問題をどのように解くかを理解することも重要です。
生産関数が存在する場合には、利潤最大化問題は生産関数を用いた最適化問題へ書き換えることができます。このとき、目的関数が微分可能であれば、最適解は一階微分や二階微分を用いて特徴付けることができ、さらに投入量の非負制約を考慮した一般的な場合には、クーン・タッカー条件（KKT条件）によって統一的に扱うことができます。
本章では、まず利潤最大化問題を生産関数を用いた最適化問題として定式化し、KKT条件を用いて最適解が満たす条件を導出します。その後、内点解ではKKT条件が通常の一階条件へ帰着することを示し、さらに凹生産関数のもとではKKT条件が利潤最大化の必要十分条件となることを確認します。最後に、具体例を通じて要素需要関数と供給関数の求め方を体系的に学びます。
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に直面した生産者が解くべき利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\quad \text{s.t.}\quad
\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y
\end{equation*}として定式化されますが、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する場合、この問題は以下の問題\begin{equation*}\max_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}}pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}
\end{equation*}と等価です。
利潤最大化を目指す生産者の意思決定が要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)および供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題の解であるような投入ベクトルおよび産出量からなる集合はそれぞれ、\begin{eqnarray*}X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}^{\ast
}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:pf\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) -\boldsymbol{w}\cdot
\boldsymbol{x}^{\ast }\geq pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\right\} \\
Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) &=&\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ \boldsymbol{x}\in X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \right\}
\end{eqnarray*}です。要素需要対応\(X^{\ast }\)と供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとる場合には、\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解\(\left( x^{\ast },f\left( x^{\ast }\right) \right) \)をとることができます。利潤最大化問題の定義より、これは以下のような不等式制約下での最適化問題\begin{array}{cl}
\max\limits_{x\in \mathbb{R}^{N}} & pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\\
s.t. & x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}
の解です。\(x^{\ast }\)が満たすべき条件をクーン・タッカーの定理より明らかにします。
クーン・タッカーの定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{equation*}g_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) =x_{n}\quad \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}を定める多変数関数\(g_{n}:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)を定義すると、先の利潤最大化問題を、
\begin{array}{cl}
\max\limits_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^{N}} & pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}
\\
s.t. & g_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 0 \\
& \vdots \\
& g_{N}\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 0
\end{array}
と言い換えることができます。
この問題に対してクーン・タッカーの定理を適用するためには、上の問題の制約系が適切な制約想定（constraint qualification）を満たすことを確認しておく必要があります。制約想定として様々なバリエーションがありますが、ここでは正規条件（regularity condition）を利用します。つまり、最適解\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)においてバインドする関数\(g_{n}\)の勾配ベクトルどうしが1次独立であること、すなわち、以下の集合\begin{equation*}B\left( x^{\ast }\right) =\left\{ \nabla g_{n}\left( x^{\ast }\right) \in \mathbb{R} ^{N}\ |\ n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \ \text{s.t.}\ g_{n}\left( x^{\ast
}\right) =0\right\}
\end{equation*}の要素であるベクトルどうしが1次独立であるという条件です。実際、正規条件は満たされるためクーン・タッカーの定理を利用できます。
&&\left( B\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast }
\left[ w_{n}-p\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{n}}\right] =0 \\
&&\left( C\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast
}\geq 0
\end{eqnarray*}が成り立つ。
先の命題は、与えられた利潤最大化問題に解が存在することが判明している状況において、解を具体的に特定するために利用されることに注意してください。具体的には、利潤最大化問題に解が存在することが判明しており、なおかつ生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合には、クーン・タッカー条件を満たす投入ベクトル\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)だけが利潤最大化問題の解の候補になり得るため、そのような投入ベクトルをすべて特定した上で、その中で最大の利潤をもたらすものを特定すればよいということになります。
このような事情を踏まえると、以下のように考えればよいことになります。
- 利潤最大化問題に解が存在することを確認する。
- 生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級であることを確認する。その上で、クーン・タッカーの条件を満たす投入ベクトルを特定し、その中から最大の利潤をもたらすものを特定すれば、それは利潤最大化問題の解である。
利潤最大化問題の解であるための必要十分条件
利潤最大化問題に解が存在する場合、その解が満たす条件をクーン・タッカー条件として表現しました。ただ、この条件は投入ベクトルが利潤最大化問題の解であるための必要条件であり、十分条件ではありません。つまり、クーン・タッカー条件を満たす投入ベクトルの中には利潤最大化問題の解ではないものが含まれる可能性があるため、利潤最大化問題の解を特定するためには、クーン・タッカー条件を満たす投入ベクトルどうしを比較し、その中から利潤を最大化するものを特定する必要があります。ただ、一定の条件のもとでは、クーン・タッカー条件は投入ベクトルが利潤最大化問題の解であるための必要十分条件になります。順番に解説します。
利潤最大化問題と等価な制約付き最大化問題
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{N}} & pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\\
s.t. & g_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 0 \\ & \vdots \\ & g_{N}\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 0\end{array}$$
に対してクーン・タッカーの定理を適用するために、先に制約想定を採用しましたが、以下ではスレーター条件（Slater’s condition）を採用します。これは、すべての関数\(g_{n}\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)が凹関数であるとともに、やはりすべての関数\(g_{n}\)に対して、\begin{equation*}g_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) >0
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{N}\)が存在するという条件です。実際、スレーター条件は満たされるためクーン・タッカーの定理を利用できます。さらに、生産関数\(f\)が凹関数である場合には目的関数\(pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\)は凹関数であるため、この場合、クーン・タッカー条件は利潤最大化のための必要条件であるだけでなく、十分条件にもなります。
&&\left( B\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast }
\left[ w_{n}-p\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{n}}\right] =0 \\
&&\left( C\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast
}\geq 0
\end{eqnarray*}を満たすことは、\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)が\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとで利潤最大化問題の解であるための必要十分条件である。
先の命題とは異なり、こちらの命題では利潤最大化問題の解が存在することが前提になっていないことに注意してください。生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級の凹関数である場合には、クーン・タッカー条件を満たす投入ベクトル\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)が利潤最大化問題の解になるということです。逆に、クーン・タッカー条件を満たす投入ベクトルが存在しない場合、利潤最大化問題には解は存在しないとまで言えます。
利潤最大化問題の解き方
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)および生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。先の2つの命題を踏まえると、価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題\begin{equation*}\max_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}}pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}
\end{equation*}の解法を以下のようにまとめることができます。
- 生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級の凹関数である場合には、クーン・タッカー条件を満たす投入ベクトルが存在するか検討する。そのような投入ベクトル\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)が存在する場合、それは利潤最大化問題の解である。逆に、そのような投入ベクトルが存在しない場合には、利潤最大化問題の解が存在しない。
- 生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級である一方で凹関数ではないものの、何らかの根拠により利潤最大化問題に解が存在することが保証される場合には、クーン・タッカー条件を満たす投入ベクトル\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)が利潤最大化問題の解の候補となる。さらに、その中から最大の利潤をもたらすものを特定すれば、それは利潤最大化問題の解である。
クーン・タッカー条件を用いて利潤最大化問題の解を特定するためには、目的関数および制約関数が、候補となる点においてクーン・タッカーの定理が要求する微分可能性の条件を満たしている必要があります。しかし、生産関数によっては、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点やその他の点において微分可能でない場合があります。
そのような点は、クーン・タッカー条件を満たす点としては抽出されないものの、利潤最大化問題の解となる可能性があります。したがって、生産関数が実行可能領域の一部で微分可能でない場合には、クーン・タッカー条件を満たす点だけを調べるのでは不十分です。微分不可能点や、クーン・タッカーの定理を直接適用できない境界点についても、利潤を個別に評価し、他の候補点と比較する必要があります。
特に、生産関数が\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上で\(C^{1}\)級である一方、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界では微分可能でない場合には、まず内点においてクーン・タッカー条件を用いて候補を特定し、その後、境界上の実行可能点を別途検討するという手順を採用します。したがって、クーン・タッカー条件は解を絞り込むための強力な道具ですが、微分可能性の仮定が満たされない点まで自動的に処理するものではないことに注意が必要です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(C^{1}\)級の凹関数であるため、クーン・タッカー条件を満たす投入ベクトルが存在するならば、それは利潤最大化問題の解です。価格ベクトル\(\left( w,p\right) =\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} }x^{\frac{1}{2}}-x\quad \text{s.t.}\quad x\geq 0
\end{equation*}です。ラグランジュ関数を、\begin{equation*}
L\left( x,\lambda \right) =x^{\frac{1}{2}}-x+\lambda x
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカー条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L\left( x,\lambda \right) }{\partial x}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-1+\lambda =0 \\
&&\left( b\right) \ \lambda \frac{\partial L\left( x,\lambda \right) }{\partial \lambda }=\lambda x=0 \\
&&\left( c\right) \ \frac{\partial L\left( x,\lambda \right) }{\partial
\lambda }=x\geq 0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda \geq 0
\end{eqnarray*}となるため、これを満たす\(x\)を特定します。\(x>0\)を仮定する場合、\(\left( b\right) \)より\(\lambda =0\)を得ます。すると\(\left( a\right) \)より、\begin{equation*}\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-1=0
\end{equation*}を得ますが、これを解くと、\begin{equation*}
x=\frac{1}{4}
\end{equation*}を得ます。これと\(\left(a\right) \)より、\begin{equation*}\lambda =0
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
\left( x,\lambda \right) =\left( \frac{1}{4},0\right)
\end{equation*}は条件を満たすとともに、この場合の利潤は、\begin{equation*}
\left( \frac{1}{4}\right) ^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}
\end{equation*}です。\(x=0\)の場合には利潤は\(0\)になるため、これは最適ではありません。したがって、\begin{equation*}x=\frac{1}{4}
\end{equation*}が\(\left( 1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であることが明らかになりました。ちなみに、このときの産出量は、\begin{equation*}f\left( \frac{1}{4}\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(C^{1}\)級の凹関数であるため、クーン・タッカー条件を満たす投入ベクトルが存在するならば、それは利潤最大化問題の解です。価格ベクトル\(\left( w,p\right) =\left( 2,1\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} }x-2x\quad \text{s.t.}\quad x\geq 0
\end{equation*}です。ラグランジュ関数を、\begin{equation*}
L\left( x,\lambda \right) =x-2x+\lambda x
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカー条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L\left( x,\lambda \right) }{\partial x}=1-2+\lambda =0 \\
&&\left( b\right) \ \lambda \frac{\partial L\left( x,\lambda \right) }{\partial \lambda }=\lambda x=0 \\
&&\left( c\right) \ \frac{\partial L\left( x,\lambda \right) }{\partial
\lambda }=x\geq 0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda \geq 0
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)より、\begin{equation*}\lambda =1
\end{equation*}であるため、これと\(\left( b\right) \)より、\begin{equation*}x=0
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
\left( x,\lambda \right) =\left( 0,1\right)
\end{equation*}は条件を満たすとともに、この場合の利潤は、\begin{equation*}
0
\end{equation*}です。したがって、\begin{equation*}
x=0
\end{equation*}が\(\left( 2,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であることが明らかになりました。ちなみに、このときの産出量は、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0
\end{equation*}です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。価格ベクトル\(\left(w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題の解を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。価格ベクトル\(\left(w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題の解を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。価格ベクトル\(\left(w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題の解を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。価格ベクトル\(\left(w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)のもとでの利潤最大化問題の解を求めてください。
