利潤最大化問題の解であるための必要条件
これまでは\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける利潤最大化問題に解が存在するための条件や、解が存在する場合に要素需要対応や供給対応が満たす性質について考察してきました。ここでは、利潤最大化問題に解が存在することが保証される場合に解を具体的に求める方法や、凸解析を用いて利潤最大化問題の解を特定する方法について解説します。
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)および生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているとともに、利潤最大化を目指す生産者の意思決定が要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)および供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題の解であるような投入ベクトルおよび産出量からなる集合はそれぞれ、\begin{eqnarray*}X^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:pf\left( x\right) -w\cdot x\geq pf\left( x^{\prime }\right) -w\cdot
x^{\prime }\right\} \\
Y^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in X^{\ast }\left( w,p\right) \right\}
\end{eqnarray*}です。加えて、要素需要対応\(X^{\ast }\)と供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとる場合には、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \in X^{\ast}\left( w,p\right) \times Y^{\ast }\left( w,p\right) \)をとることができます。利潤最大化問題の定義より、これは以下のような不等式制約下での最適化問題
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{N+1}} & py-w\cdot x \\
s.t. & f\left( x\right) \geq y \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0 \\
& y\geq 0
\end{array}$$
の解です。\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)が満たすべき条件をクーン・タッカーの定理より明らかにします。
クーン・タッカーの定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に対して、\begin{eqnarray*}g_{0}\left( x,y\right) &=&f\left( x\right) -y \\
g_{i}\left( x,y\right) &=&x_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,N\right) \\
g_{N+1}\left( x,y\right) &=&y
\end{eqnarray*}を定める多変数関数\(g_{i}:\mathbb{R} _{+}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=0,1,\cdots ,N+1\right) \)を定義すると、先の利潤最大化問題を、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{N+1}} & py-w\cdot x \\
s.t. & g_{0}\left( x,y\right) \geq 0 \\
& g_{1}\left( x,y\right) \geq 0 \\
& \vdots \\
& g_{N}\left( x,y\right) \geq 0 \\
& g_{N+1}\left( x,y\right) \geq 0\end{array}$$
と言い換えることができます。この問題に対してクーン・タッカーの定理を適用するためには、上の問題の解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)が制約想定（constraint qualification）を満たすことを確認しておく必要があります。制約想定として様々なバリエーションがありますが、ここでは、最適解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)においてバインドする関数\(g_{i}\)の点\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)における勾配ベクトルどうしが1次独立であること、すなわち、以下の集合\begin{equation*}B\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) =\left\{ \nabla g_{i}\left( x^{\ast
},y^{\ast }\right) \in \mathbb{R} ^{N+1}\ |\ i\in \left\{ 0,1,\cdots ,N+1\right\} \ \text{s.t. }g_{i}\left(
x^{\ast },y^{\ast }\right) =0\right\}
\end{equation*}の要素であるベクトルが1次独立であるという条件を採用します。これを正規条件（regularity condition）と呼びます。実際、以下に提示する一定の条件のもとでは最適解\(\left( x^{\ast},y^{\ast }\right) \)は正規条件を満たします。加えて、目的関数\(py-w\cdot x\)は明らかに\(C^{1}\)級であるため、クーン・タッカー条件の定理を利用できます。つまり、ラグランジュ乗数法を用いて最適解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)が満たす条件を特定できるということです。
\end{equation*}を満たす\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \in X^{\ast }\left( w,p\right) \times Y^{\ast }\left( w,p\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ w\geq p\nabla f\left( x^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ \left[ p\nabla f\left( x^{\ast }\right) -w\right] \cdot
x^{\ast }=0
\end{eqnarray*}が成り立つ。
上の命題は、与えられた利潤最大化問題に解が存在することが判明している状況において、解を具体的に特定するために利用されることに注意してください。具体的には、利潤最大化問題に解が存在することが判明しており、なおかつ生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合には、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルのみが利潤最大化問題の解の候補になり得るため、そのような生産ベクトルをすべて特定した上で、その中で最大の利得をもたらすものを特定すればよいということになります。ただし、先の命題では、最適解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)に対して\(y^{\ast}>0\)という条件を要求しており、\(y^{\ast }=0\)を満たす最適解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)は考察の対象外になっています。ただ、産出量\(y^{\ast }\)が\(0\)の場合には利潤は非正になるため、そこでの最適な投入量\(x^{\ast }\)は明らかにゼロベクトル\(0\)です。このような事情を踏まえると、以下のように考えればよいことになります。
- 利潤最大化問題に解が存在することを確認する。
- 生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級であることを確認する。その上で、\(y>0\)を満たす生産ベクトル\(\left( x,y\right) \)の中からクーン・タッカーの条件を満たす生産ベクトルを特定し、その中から最大の利潤をもたらすものを特定すれば、それは利潤最大化問題の解である。
- \(y>0\)を満たす生産ベクトル\(\left( x,y\right) \)の中にクーン・タッカーの条件を満たすものが存在しない場合には、\(\left(x^{\ast },y^{\ast }\right) =\left( 0,0\right) \)が利潤最大化問題の解である。
利潤最大化問題の解であるための必要十分条件
利潤最大化問題に解が存在する場合、その解が満たす条件をクーン・タッカー条件として表現しました。ただ、この条件は生産ベクトルが利潤最大化問題の解であるための必要条件であり、十分条件ではありません。つまり、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルの中には利潤最大化問題の解ではないものが含まれる可能性があるため、利潤最大化問題の解を特定するためには、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルどうしを比較し、その中から利潤を最大化するものを特定する必要があります。ただ、一定の条件のもとでは、クーン・タッカー条件は生産ベクトルが利潤最大化問題の解であるための必要十分条件になります。順番に解説します。
繰り返しになりますが、利潤最大化問題に相当する制約付き最大化問題
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{N+1}} & py-w\cdot x \\
s.t. & g_{0}\left( x,y\right) \geq 0 \\
& g_{1}\left( x,y\right) \geq 0 \\
& \vdots \\
& g_{N}\left( x,y\right) \geq 0 \\
& g_{N+1}\left( x,y\right) \geq 0\end{array}$$
に解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)が存在する場合、\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)が正規条件を満たすのであれば、\(\left( x^{\ast },y^{\ast}\right) \)はクーン・タッカー条件を満たします。以下では、正規条件とは異なる制約想定であるスレーター条件（Slater’s condition）を導入します。これは、すべての関数\(g_{i}\ \left( i=0,1,\cdots,N+1\right) \)が凹関数であるとともに、やはりすべての関数\(g_{i}\)に対して、\begin{equation*}g_{i}\left( x,y\right) >0
\end{equation*}を満たす点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{N+1}\)が存在するという条件です。
生産関数\(f\)が凹関数であれば関数\(g_{0}\left( x,y\right) =f\left(x\right) -y\)もまた凹関数です。関数\(g_{i}\left( x,y\right) =x_{i}\)および\(g_{N+1}\left( x,y\right) =y\)は線型であるため凹関数です。もう一方の条件に関しては、\(g_{0}\left( x,y\right) >0\)は\(f\left(x\right) >y\)を意味し、\(g_{i}\left( x,y\right)>0\)は\(x_{i}>0\)を意味し、\(g_{N+1}\left(x,y\right) >0\)は\(y>0\)を意味するため、結局、\(f\left( x\right) >y\)を満たす生産ベクトル\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)の存在が要求されています。ただし、この\(\left( x,y\right) \)はすべての成分が正の実数（非負ではない）であることに注意してください。以上の条件が満たされる場合にはスレーター条件が満たされます。さらに、目的関数\(py-w\cdot x\)は線形であるため\(C^{1}\)級であり、したがってクーン・タッカーの定理を利用できます。つまり、最適解\(\left( x^{\ast },y^{\ast}\right) \)がクーン・タッカー条件を満たすことを保証できるということです。加えて、目的関数\(py-w\cdot x\)は線型であるため凹関数であり、したがってクーン・タッカー条件は最適解のための必要条件であるだけでなく、十分条件にもなります。
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、\(\left( w,p\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)および\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \in Y\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ w\geq \lambda ^{\ast }\nabla f\left( x^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }\left[ f\left( x^{\ast }\right) -y^{\ast
}\right] =0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ \lambda ^{\ast }\nabla f\left( x^{\ast }\right) -w\right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \left( \lambda ^{\ast }-p\right) y^{\ast }=0 \\
&&\left( E\right) \ \lambda ^{\ast }\geq p
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在することは、\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)が\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であるための必要十分条件である。
利潤最大化問題の解き方
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)および生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。先の2つの命題を踏まえると、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題\begin{equation*}\max\limits_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad s.t.\quad y\leq f\left( x\right)
\end{equation*}の解法を以下のようにまとめることができます。
- 生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級の凹関数であるとともに、\begin{equation*}\exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:f\left( x\right) >y\end{equation*}が成り立つ場合には、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが存在するか検討する。そのような生産ベクトルが存在する場合、それは利潤最大化問題の解である。逆に、そのような生産ベクトルが存在しない場合には、利潤最大化問題の解が存在しないとまで言える。
- 生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級である一方で凹関数ではないものの、何らかの根拠により利潤最大化問題に解が存在することが保証される場合には、クーンタッカー条件を満たす生産ベクトルが利潤最大化問題の解の候補となる。具体的には、\(y>0\)を満たす生産ベクトル\(\left( x,y\right) \)の中からクーン・タッカーの条件を満たす生産ベクトルを特定し、その中から最大の利潤をもたらすものを特定すれば、それは利潤最大化問題の解である。\(y>0\)を満たす生産ベクトル\(\left( x,y\right) \)の中にクーン・タッカーの条件を満たすものが存在しない場合には、\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) =\left(0,0\right) \)が利潤最大化問題の解である。
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x^{\frac{1}{2}}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めます。\(f\)は\(C^{1}\)級の凹関数であり、さらに、\begin{equation*}\exists \left( 1,\frac{1}{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}:f\left( 1\right) =1>\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つためスレーター条件が満たされます。したがって、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが存在するならば、それは利潤最大化問題の解です。価格ベクトル\(\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y-x\quad \text{s.t.}\quad x^{\frac{1}{2}}\geq y\wedge x\geq 0\wedge
y\geq 0
\end{equation*}となります。ラグランジュ関数を、\begin{equation*}
L\left( x,y,\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2}\right) =y-x+\lambda
_{0}\left( x^{\frac{1}{2}}-y\right) +\lambda _{1}x+\lambda _{2}y
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカー条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial x}=-1+\frac{1}{2}\lambda
_{0}x^{-\frac{1}{2}}+\lambda _{1}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y}=1-\lambda _{0}+\lambda
_{2}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{0}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=\lambda _{0}\left( x^{\frac{1}{2}}-y\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}x=0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda _{2}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=\lambda _{2}y=0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=x^{\frac{1}{2}}-y\geq 0 \\
&&\left( g\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=x\geq 0 \\
&&\left( h\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=y\geq 0 \\
&&\left( i\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=0,1,2\right)
\end{eqnarray*}となるため、これらを満たす\(\left( x,y\right) \)を特定します。\(x>0\)かつ\(y>0\)を仮定する場合、\(\left( d\right) ,\left(e\right) \)より\(\lambda _{1}=\lambda _{2}=0\)を得ます。すると\(\left( a\right) ,\left(b\right) \)より、\begin{equation*}-1+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=0
\end{equation*}を得るため、これを\(x\)について解くと、\begin{equation}x=\frac{1}{4} \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。\(\lambda _{2}=0\)および\(\left( b\right) \)より\(\lambda _{0}=1>0\)であるため、これと\(\left( c\right) \)より\(x^{\frac{1}{2}}-y=0\)を得ます。これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}y=\frac{1}{2}
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{equation}
\left( x,y,\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2}\right) =\left( \frac{1}{4},\frac{1}{2},1,0,0\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}は条件を満たすとともに、この場合の利潤は、\begin{eqnarray*}
1\cdot \frac{1}{2}-1\cdot \frac{1}{4} &=&\frac{1}{2}-\frac{1}{4} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となります。\(y=0\)の場合には利潤は負になるため、任意の\(\left( x,0\right) \)は利潤最大化問題の解ではありません。したがって\(\left( 2\right) \)が利潤最大化問題の解であることが明らかになりました。
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めます。\(f\)は\(C^{1}\)級の凹関数であり、さらに、\begin{equation*}\exists \left( 1,\frac{1}{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}:f\left( 1\right) =1>\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つためスレーター条件が満たされます。したがって、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが存在するならば、それは利潤最大化問題の解です。価格ベクトル\(\left( w,p\right) =\left(2,1\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y-2x\quad \text{s.t.}\quad x\geq y\wedge x\geq 0\wedge y\geq 0
\end{equation*}となります。ラグランジュ関数を、\begin{equation*}
L\left( x,y,\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2}\right) =y-2x+\lambda
_{0}\left( x-y\right) +\lambda _{1}x+\lambda _{2}y
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカー条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial x}=-2+\lambda _{0}+\lambda
_{1}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y}=1-\lambda _{0}+\lambda
_{2}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{0}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=\lambda _{0}\left( x-y\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}x=0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda _{2}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=\lambda _{2}y=0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=x-y\geq 0 \\
&&\left( g\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=x\geq 0 \\
&&\left( h\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=y\geq 0 \\
&&\left( i\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=0,1,2\right)
\end{eqnarray*}となるため、これらを満たす\(\left( x,y\right) \)を特定します。\(x>0\)を仮定する場合、\(\left( d\right) \)より\(\lambda _{1}=0\)を得ます。すると\(\left(a\right) \)より\(\lambda _{1}=2\)を得て、さらに\(\left( b\right) \)より\(\lambda _{2}=1\)を得ます。すると\(\left(e\right) \)より\(y=0\)を得ます。以上の事実と\(\left( c\right) \)より\(x=0\)となりますが、これは\(x>0\)と矛盾です。\(y>0\)の場合にも同様にして矛盾が導かれます。\(x=y=0\)の場合、\(\left( a\right) ,\left(b\right) ,\left( i\right) \)を満たす\(\lambda_{0},\lambda _{1},\lambda _{2}\)が存在すればクーン・タッカー条件が満たされます。実際、\begin{equation*}\left( \lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2}\right) =\left( \frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}が条件を満たします。したがって、\begin{equation*}
\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}は\(\left( 2,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であり、解において生産者が得る利潤は、\begin{equation*}x-2x=0-2\cdot 0=0
\end{equation*}となります。価格ベクトル\(\left( w,p\right) =\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y-x\quad \text{s.t.}\quad \left( x,y\right) \in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y-x\quad \text{s.t.}\quad x\geq y\wedge x\geq 0\wedge y\geq 0
\end{equation*}となります。ラグランジュ関数を、\begin{equation*}
L\left( x,y,\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2}\right) =y-x+\lambda
_{0}\left( x-y\right) +\lambda _{1}x+\lambda _{2}y
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカー条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial x}=-1+\lambda _{0}+\lambda
_{1}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y}=1-\lambda _{0}+\lambda
_{2}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{0}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=\lambda _{0}\left( x-y\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}x=0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda _{2}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=\lambda _{2}y=0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=x-y\geq 0 \\
&&\left( g\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=x\geq 0 \\
&&\left( h\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=y\geq 0 \\
&&\left( i\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=0,1,2\right)
\end{eqnarray*}となるため、これらを満たす\(\left( x,y\right) \)を特定します。\(x\not=y\)かつ\(x\geq 0\)かつ\(y\geq 0\)の場合には\(\left( c\right) \)より\(\lambda _{0}=0\)を得ますが、これと\(\left( b\right) \)より\(\lambda_{2}=-1\)となり\(\left( i\right) \)と矛盾です。\(x=y\)かつ\(x\geq 0\)かつ\(y\geq0\)の場合、\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left(i\right) \)を満たす\(\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda_{2}\)が存在すればクーン・タッカー条件が満たされます。実際、\begin{equation*}\left( \lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2}\right) =\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}が条件を満たします。したがって、任意の非負の実数\(c\geq 0\)について、\begin{equation*}\left( x,y\right) =\left( c,c\right)
\end{equation*}が\(\left( 1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であり、解において生産者が得る利潤は、\begin{equation*}y-x=c-c=0
\end{equation*}となります。価格ベクトル\(\left( w,p\right) =\left( 1,2\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}}2y-x\quad \text{s.t.}\quad \left( x,y\right) \in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}}2y-x\quad \text{s.t.}\quad x\geq y\wedge x\geq 0\wedge y\geq 0
\end{equation*}となります。ラグランジュ関数を、\begin{equation*}
L\left( x,y,\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2}\right) =2y-x+\lambda
_{0}\left( x-y\right) +\lambda _{1}x+\lambda _{2}y
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカー条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial x}=-1+\lambda _{0}+\lambda
_{1}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y}=2-\lambda _{0}+\lambda
_{2}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{0}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=\lambda _{0}\left( x-y\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}x=0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda _{2}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=\lambda _{2}y=0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=x-y\geq 0 \\
&&\left( g\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=x\geq 0 \\
&&\left( h\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=y\geq 0 \\
&&\left( i\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=0,1,2\right)
\end{eqnarray*}となるため、これらを満たす\(\left( x,y\right) \)を特定します。\(\left( a\right) \)と\(\left( i\right) \)より\(\lambda _{1}=1-\lambda _{0}\geq 0\)すなわち\(1\geq \lambda _{0}\)を得ます。これと\(\left( b\right) \)より\(2+\lambda _{2}=\lambda_{0}\leq 1\)すなわち\(\lambda _{2}\leq -1\)となりますが、これは\(\left( i\right) \)と矛盾です。したがって、クーン・タッカー条件を満たす\(\left( x,y\right) \)は存在しないため、\(\left( 1,2\right) \)のもとでの利潤最大化問題には解は存在しません。
演習問題
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x^{\frac{1}{2}}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めます。要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)と供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)をそれぞれ求めてください。
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めます。要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)と供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)をそれぞれ求めてください。
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