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PRODUCER THEORY

1生産物モデルにおける利潤最大化問題の解法

目次

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利潤最大化問題の解であるための必要十分条件

これまでは\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける利潤最大化問題に解が存在するための条件や、解が存在する場合に要素需要対応や供給対応が満たす性質について考察してきました。ここでは、利潤最大化問題に解が存在することが保証される場合に、その解を具体的に求める方法を解説します。

復習になりますが、\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合には、価格ベクトル\(\left( w,p\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)を任意に選んだときに、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題には必ず解が存在することが保証されます。つまり、以上の条件のもとでは要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)や供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{{}}^{N}\)が非空値をとるということです。したがって、\(\left( w,p\right) \)を任意に選んだときに、そこでの利潤最大化問題の解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \in X^{\ast}\left( w,p\right) \times Y^{\ast }\left( w,p\right) \)を常にとることができます。利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad y\in Y
\end{equation*}と定義されますが、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられている場合、これを、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}すなわち、

$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{N+1}} & py-w\cdot x \\
s.t. & f\left( x\right) \geq y \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0 \\
& y\geq 0
\end{array}$$
と表現できます。この問題の解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)が満たすべき条件をクーン・タッカーの定理より明らかにします。

クーン・タッカーの定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}g_{0}\left( x,y\right) =f\left( x\right) -y
\end{equation*}を定めるスカラー場(多変数関数)\(g_{0}:\mathbb{R} _{+}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)と、それぞれの\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に対して、\begin{eqnarray*}g_{i}\left( x,y\right) &=&x_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,N\right) \\
g_{N+1}\left( x,y\right) &=&y
\end{eqnarray*}を定めるスカラー場\(g_{i}:\mathbb{R} _{+}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,N+1\right) \)をそれぞれ定義します。以上の\(N+2\)個のスカラー場を利用すると、先の利潤最大化問題を、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{N+1}} & py-w\cdot x \\
s.t. & g_{0}\left( x,y\right) \geq 0 \\
& g_{1}\left( x,y\right) \geq 0 \\
& \vdots \\
& g_{N}\left( x,y\right) \geq 0 \\
& g_{N+1}\left( x,y\right) \geq 0
\end{array}$$
と言い換えることができます。この問題に対してクーン・タッカーの定理を適用するためには、上の問題の解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)が制約想定(constraint qualification)を満たすことを確認しておく必要があります。制約想定としては様々なバリエーションがありますが、ここではスレーター条件(Slater’s conditioin)を採用します。これは、すべてのスカラー場\(g_{i}\ \left( i=1,\cdots ,N+1\right) \)が凹関数であるとともに、やはりすべてのスカラー場\(g_{i}\)に対して\(g_{i}\left( \overline{x},\overline{y}\right) >0\)を満たす点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \in \mathbb{R} ^{N+1}\)が存在するという条件です。

仮定より生産集合\(Y\)は凸集合ですが、これは生産関数\(f\)が凹関数であることを意味し、したがってスカラー場\(g_{0}\left( x,y\right) =f\left(x\right) -y\)もまた凹関数です。スカラー場\(g_{i}\left( x,y\right)=x_{i}\)および\(g_{N+1}\left( x,y\right) =y\)は線型であるため凹関数です。もう一方の条件に関しては、\(g_{0}\left( \overline{x},\overline{y}\right) >0\)は\(f\left( \overline{x}\right) >\overline{y}\)を意味し、\(g_{i}\left( x,y\right)>0\)は\(x_{i}>0\)を、\(g_{N+1}\left( x,y\right) >0\)は\(y>0\)を意味するため、結局、\(f\left( \overline{x}\right) >\overline{y}\)を満たすような生産ベクトル\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)の存在が要求されています。ただし、この\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)のすべての成分は正の実数(非負ではない)であることに注意してください。仮定より\(Y\)は無償廃棄可能性を満たしますが、これは生産関数\(f\)が単調増加であることを意味します。したがって、ほとんどの場合にスレーター条件は満たされます。利潤最大化問題の目的関数\(py-w\cdot x\)は線型であるため凹関数です。したがって、スレーター条件は利潤最大化問題のための必要条件であるだけでなく、十分条件でもあることに注意してください。以上を踏まえた上で、クーン・タッカーの定理より以下を得ます。

命題(利潤最大化問題の解であるための必要条件)
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合には要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{{}}^{N}\)は非空値をとる。さらに、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が\(C^{1}\)級であるものとする。加えて、\(\left( w,p\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)を任意に選んだときに、それに対して、\begin{equation*}\exists \left( \overline{x},\overline{y}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}:f\left( \overline{x}\right) >\overline{y}
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、$\left( x^{\ast},y^{\ast }\right) \in X^{\ast }\left( w,p\right) \times Y^{\ast }\left(
w,p\right) $に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ w\geq p\nabla f\left( x^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }\left[ f\left( x^{\ast }\right) -y^{\ast
}\right] =0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ w-\lambda ^{\ast }\nabla f\left( x^{\ast }\right) \right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在することは、\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)が\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であること、すなわち\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right)\in X^{\ast }\left( w,p\right) \times Y^{\ast }\left( w,p\right) \)が成り立つための必要十分条件である。
証明

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例(利潤最大化問題の解)
1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x^{\frac{1}{2}}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めます。このとき、\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}py-wx\quad \text{s.t.}\quad x^{\frac{1}{2}}\geq y
\end{equation*}について考えます。\(Y\)は連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、狭義凸性、中立性を満たすため、連続な要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)と供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在します。\(f\)は凹関数かつ\(C^{1}\)級であり、点\(\left( x,y\right) =\left( 1,\frac{1}{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)について、\begin{equation*}f\left( 1\right) =1^{\frac{1}{2}}=1>\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つためスレーター条件が成り立ちます。したがって、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが利潤最大化問題の解になります。ラグランジュ関数を、\begin{equation*}
L\left( x,y,\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2}\right) =py-wx+\lambda
_{0}\left( x^{\frac{1}{2}}-y\right) +\lambda _{1}x+\lambda _{2}y
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカー条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial x}=-w+\frac{1}{2}\lambda
_{0}x^{-\frac{1}{2}}+\lambda _{1}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y}=p-\lambda _{0}+\lambda
_{2}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{0}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=\lambda _{0}\left( x^{\frac{1}{2}}-y\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}x=0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda _{2}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=\lambda _{2}y=0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=x^{\frac{1}{2}}-y\geq 0 \\
&&\left( g\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=x\geq 0 \\
&&\left( h\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=y\geq 0 \\
&&\left( i\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=0,1,2\right)
\end{eqnarray*}となるため、これらを満たす\(\left( x,y\right) \)を特定します。\(x>0\)かつ\(y>0\)を仮定する場合、\(\left( d\right) ,\left(e\right) \)より\(\lambda _{1}=\lambda _{2}=0\)となるため、これと\(\left( a\right),\left( b\right) \)より、\begin{equation*}-w+\frac{1}{2}px^{-\frac{1}{2}}=0
\end{equation*}を得るため、これを\(x\)について解くと、\begin{equation}x=\frac{p^{2}}{4w^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。\(\lambda _{2}=0\)および\(\left( b\right) \)より\(\lambda _{0}=p>0\)であるため、これと\(\left( c\right) \)より\(x^{\frac{1}{2}}-y=0\)を得ます。これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}y=\frac{p}{2w}
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{equation}
\left( x,y,\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2}\right) =\left( \frac{p^{2}}{4w^{2}},\frac{p}{2w},p,0,0\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}は条件を満たすとともに、この場合の利潤は、\begin{eqnarray*}
p\cdot \frac{p}{2w}-w\cdot \frac{p^{2}}{4w^{2}} &=&\frac{p^{2}}{2w}-\frac{p^{2}}{4w} \\
&=&\frac{p^{2}}{4w}
\end{eqnarray*}となります。\(y=0\)の場合には利潤は負になるため、任意の\(\left( x,0\right) \)は利潤最大化問題の解ではありません。したがって\(\left( 2\right) \)が利潤最大化問題の解であることが明らかになりました。つまり、要素需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( w,p\right) =\frac{p^{2}}{4w^{2}}
\end{equation*}を定め、供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}y^{\ast }\left( w,p\right) =\frac{p}{2w}
\end{equation*}定めます。これらは多変数の多項式関数であるため連続関数です。

 

演習問題

問題(利潤最大化問題の解)
2生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めます。要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)と供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)をそれぞれ求めてください。
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