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CONSUMER THEORY

効用最大化問題の解法

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効用最大化問題の解であるための必要条件

これまでは効用最大化問題に解が存在するための条件や、解が存在する場合に需要対応や需要関数が満たす性質について考察してきました。ここでは、効用最大化問題に解が存在することが保証される場合に、その解を具体的に求める方法を解説します。

復習になりますが、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだときに、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題には必ず解が存在することが保証されます。つまり、以上の条件のもとでは需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が非空値をとるということです。したがって、\(\left( p,w\right) \)を任意に選んだときに、そこでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)を常にとることができます。効用最大化問題の定義より、これは以下のような不等式制約下での最適化問題
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{x} & u\left( x\right) \\
s.t. & p\cdot x\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0\end{array}$$の解です。\(x^{\ast }\)が満たすべき条件をクーン・タッカーの定理より明らかにします。

クーン・タッカーの定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}
g_{0}\left( x\right) =w-p\cdot x
\end{equation*}を定めるスカラー場(多変数関数)\(g_{0}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)と、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}
g_{i}\left( x\right) =x_{i}
\end{equation*}を定めるスカラー場\(g_{i}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,N\right) \)それぞれ定義します。以上の\(N+1\)個のスカラー場を利用すると、先の効用最大化問題を、
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{x} & u\left( x\right) \\
s.t. & g_{0}\left( x\right) \geq 0 \\
& g_{1}\left( x\right) \geq 0 \\
& \vdots \\
& g_{N}\left( x\right) \geq 0\end{array}$$と言い換えることができます。この問題に対してクーン・タッカーの定理を利用するためには、上の問題の解\(x^{\ast }\)が制約想定(constraint qualification)を満たすことを確認しておく必要があります。制約想定として様々なバリエーションがありますが、ここでは、最適解\(x^{\ast }\)においてバインドするスカラー場\(g_{i}\)の点\(x^{\ast }\)における勾配ベクトルどうしが1次独立であること、すなわち、以下の集合\begin{equation*}
B\left( x^{\ast }\right) =\left\{ \nabla g_{i}\left( x^{\ast }\right) \ |\
i\in \left\{ 0,1,\cdots ,N\right\} \ \text{s.t.}\ g_{i}\left( x^{\ast }\right)
=0\right\}
\end{equation*}の要素であるベクトルが1次独立であるという条件を採用します。これを正規条件(regularity condition)と呼びます。以下では\(x^{\ast }\)が正規条件を満たすことを確認しましょう。

スカラー場\(g_{0}\)は明らかに偏微分可能であり、点\(x^{\ast }\)における勾配ベクトルは、\begin{eqnarray*}
\nabla g_{0}\left( x^{\ast }\right) &=&\left( \frac{\partial g_{0}\left(
x^{\ast }\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial g_{0}\left(
x^{\ast }\right) }{\partial x_{N}}\right) \\
&=&\left( -p_{1},\cdots ,-p_{N}\right) \quad \because g_{0}\text{の定義} \\
&=&-p
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\nabla g_{0}\left( x^{\ast }\right) =-p \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。スカラー場\(g_{i}\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)も明らかに偏微分可能であり、点\(x^{\ast }\)における勾配ベクトルは、\begin{eqnarray*}
\nabla g_{i}\left( x^{\ast }\right) &=&\left( \frac{\partial g_{i}\left(
x^{\ast }\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial g_{i}\left(
x^{\ast }\right) }{\partial x_{N}}\right) \\
&=&e_{i}\quad \because g_{i}\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\nabla g_{i}\left( x^{\ast }\right) =e_{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。ただし\(e_{i}\)は第\(i\)成分が\(1\)で残りのすべての成分が\(0\)であるような\(N\)次元の単位ベクトルです。まず、\(g_{0}\left( x^{\ast }\right) =0\)すなわち\(w-p\cdot x^{\ast }=0\)が成り立つものと仮定すると、\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)かつ\(w\in \mathbb{R} _{++}\)であることから、少なくとも1つの商品\(i\)について\(x_{i}^{\ast }>0\)すなわち\(g_{i}\left( x^{\ast }\right) >0\)が成り立ちます。これと\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、集合\(B\left( x^{\ast }\right) \)の中には\(-p\)が含まれている一方で少なくとも1つの\(i\)について\(e_{i}\)が含まれていないことになりますが、\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)より、これは\(B\left( x^{\ast }\right) \)の要素であるベクトルが1次独立であることを意味します。逆に、\(g_{0}\left( x^{\ast }\right) >0\)すなわち\(w-p\cdot x^{\ast }>0\)が成り立つものと仮定すると、\(\left( 2\right) \)より、集合\(B\left( x^{\ast }\right) \)の中には異なる方向を持つ単位ベクトルしか含まれてないことになりますが、これは\(B\left( x^{\ast }\right) \)が1次独立であることを意味します。

以上で最適解\(x^{\ast }\)が正規条件を満たすことが明らかになったため、目的関数である効用関数\(u\)が\(C^{1}\)級であるならばクーン・タッカーの定理を利用できます。つまり、ラグランジュ乗数法を用いて最適解\(x^{\ast }\)が満たす条件を特定できるということです。具体的には、それぞれの\(\left( x,\lambda _{0},\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} ^{N+1}\)に対して、\begin{align*}
L\left( x,\lambda _{0},\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}\right) & =u\left(
x\right) +\sum_{i=0}^{N}\lambda _{i}g_{i}\left( x\right) \\
& =u\left( x\right) +\lambda _{0}\left( w-p\cdot x\right) +\lambda
_{1}x_{1}+\cdots +\lambda _{N}x_{N}
\end{align*}を定めるラグランジュ関数\(L:\mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} ^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、最適解\(x^{\ast }\)に対して,\begin{align*}
\frac{\partial L\left( x^{\ast },\lambda _{0}^{\ast },\lambda _{1}^{\ast
},\cdots ,\lambda _{N}^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}& =0\quad \left(
i=1,\cdots ,N\right) \\
\lambda _{i}^{\ast }\frac{\partial L\left( x^{\ast },\lambda _{0}^{\ast
},\lambda _{1}^{\ast },\cdots ,\lambda _{N}^{\ast }\right) }{\partial
\lambda _{i}}& =0\quad \left( i=0,\cdots ,N\right) \\
\frac{\partial L\left( x^{\ast },\lambda _{0}^{\ast },\lambda _{1}^{\ast
},\cdots ,\lambda _{N}^{\ast }\right) }{\partial \lambda _{i}}& \geq 0\quad
\left( i=0,\cdots ,N\right) \\
\lambda _{i}^{\ast }& \geq 0\quad \left( i=0,\cdots ,N\right)
\end{align*}を満たす\(\left( \lambda _{0}^{\ast },\lambda _{1}^{\ast },\cdots ,\lambda _{N}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} ^{N+1}\)が存在します。ここから以下の命題を得ます(演習問題にします)。

命題(効用最大化問題の解であるための必要条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとる。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と任意の\(x^{\ast }\in X\left( p,w\right) ^{{}}\)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \nabla u(x^{\ast })\leq \lambda ^{\ast }p \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }\cdot (w-p\cdot x^{\ast })=0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ \nabla u\left( x^{\ast }\right) -\lambda ^{\ast
}\cdot p\right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
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効用最大化問題の解き方

先の命題は消費ベクトルが効用最大化問題の解であるための必要条件を与えており、十分条件ではありません。つまり、効用最大化問題の解は必ず先の条件を満たしていますが、効用最大化問題の解ではないような消費ベクトルも先の条件を満たすことがあります。したがって、効用最大化問題の解を特定するためには、先の条件を満たす消費ベクトルをすべて特定した上で、その中で最大の効用をもたらすものを見つける必要があります。つまり、効用最大化問題の解を導出するためには以下の手順を踏むことになります。

  1. 与えられた効用最大化問題に解が存在することを確認する。消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合には、選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすことを示してもよいが、\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が与えられている場合には最大値の定理を利用してもよい。具体的には、効用最大化問題は、\begin{equation*}
    \max_{x\in B\left( p,w\right) }u\left( x\right)
    \end{equation*}と定義されるため、\(u\)が連続関数であるとともに、\(u\)の変数がとり得る範囲\(B\left( p,w\right) \)が非空なコンパクト集合であること示すことができれば、最大値の定理より、上の問題には最大値が存在することが保証される。
  2. 効用関数\(u\)が\(C^{1}\)級であることを確認する。このとき、先の命題より、ラグランジュ関数を用いればクーン・タッカー条件を特定できる。
  3. ラグランジュ関数を用いて、クーン・タッカー条件を満たす消費ベクトルをすべて特定した上で、その中から最大の効用を与える消費ベクトルを特定する。
例(効用最大化問題の解)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\(\left( p_{x},p_{y},w\right) =\left( 1,1,10\right) \)のもとでの効用最大化問題
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x,y\right) } & xy \\
s.t. & x+y\leq 10 \\
& x\geq 0 \\
& y\geq 0\end{array}$$について考えます。制約条件によって絞られる領域、すなわち予算集合は、\begin{equation*}
B\left( 1,1,10\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in
\mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x+y\leq 10\wedge x\geq 0\wedge y\geq 0\right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の非空なコンパクト集合です。さらに、目的関数\(xy\)は連続関数であるため、最大値の定理より最適解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( 1,1,10\right) \)が存在することが保証されます。加えて\(u\)は\(C^{1}\)級であるため、ラグランジュ関数からクーン・タッカー条件を特定し、効用最大化問題の解の候補を特定できます。具体的には、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}
L\left( x,y,\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right) =xy+\lambda
_{1}\left( 10-x-y\right) +\lambda _{2}x+\lambda _{3}y
\end{equation*}と定義すると、クーンタッカー条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial x}=y-\lambda _{1}+\lambda
_{2}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y}=x-\lambda _{1}+\lambda
_{3}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}\left( 10-x-y\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{2}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=\lambda _{2}x=0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda _{3}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{3}}=\lambda _{3}y=0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=10-x-y\geq 0 \\
&&\left( g\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=x\geq 0 \\
&&\left( h\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{3}}=y\geq 0 \\
&&\left( i\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=1,2,3\right)
\end{eqnarray*}となります。以下では\(x\)と\(y\)の符号で場合を分けて考えます。\(x>0\)かつ\(y>0\)の場合である場合には\(\left( d\right) ,\left( e\right) \)より\(\lambda _{2}=\lambda _{3}=0\)を得ます。すると\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)より\(x=y=\lambda _{1}\)を得ますが、これと\(\left( c\right) \)より\(\lambda _{1}\left( 10-2\lambda _{1}\right) =0\)となります。\(\lambda _{1}=0\)の場合には\(x_{1}=0\)となり矛盾です。一方、\(10-2\lambda _{1}=0\)すなわち\(\lambda _{1}=5\)の場合には\(x=y=5\)となります。したがって、\begin{equation}
\left( x,y,\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right) =\left(
5,5,5,0,0\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は条件を満たし、そこでの効用は、\begin{equation*}
u\left( 5,5\right) =5\cdot 5=25
\end{equation*}となります。続いて\(x_{1}\)と\(x_{2}\)の少なくとも一方が\(0\)の場合ですが、このような場合には\(u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}=0\)となるためそのような\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)は最適解ではありません。したがって、\(\left( 1\right) \)において効用は最大化されるため、最適解が\(x^{\ast }=\left( 5,5\right) \)であることが明らかになりました。ちなみに、\(\left( p_{x},p_{y},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で同様の議論を行うことにより、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{x},p_{y},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
x^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{x}^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right) \\
x_{y}^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{x}} \\
\frac{w}{2p_{y}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになります(演習問題にします)。
例(効用最大化問題の解)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\(\left( p_{x},p_{y},w\right) =\left( 2,1,3\right) \)のもとでの効用最大化問題
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x,y\right) } & x^{2}+y^{2} \\
s.t. & 2x+y\leq 3 \\
& x\geq 0 \\
& y\geq 0\end{array}$$について考えます。制約条件によって絞られる領域、すなわち予算集合は、\begin{equation*}
B\left( 1,1,10\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in
\mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ 2x+y\leq 3\wedge x\geq 0\wedge y\geq 0\right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の非空なコンパクト集合です。さらに、目的関数\(x^{2}+y^{2}\)は連続関数であるため、最大値の定理より最適解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( 2,1,3\right) \)が存在することが保証されます。加えて\(u\)は\(C^{1}\)級であるため、ラグランジュ関数からクーン・タッカー条件を特定し、効用最大化問題の解の候補を特定できます。具体的には、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}
L\left( x,y,\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)
=x^{2}+y^{2}+\lambda _{1}\left( 3-2x-y\right) +\lambda _{2}x+\lambda _{3}y
\end{equation*}と定義すると、クーンタッカー条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial x}=2x-2\lambda _{1}+\lambda
_{2}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y}=2y-\lambda _{1}+\lambda
_{3}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}\left( 3-2x-y\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{2}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=\lambda _{2}x=0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda _{3}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{3}}=\lambda _{3}y=0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=3-2x-y\geq 0 \\
&&\left( g\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=x\geq 0 \\
&&\left( h\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{3}}=y\geq 0 \\
&&\left( i\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=1,2,3\right)
\end{eqnarray*}となります。以下では\(x\)と\(y\)の符号で場合を分けて考えます。\(x>0\)かつ\(y>0\)の場合である場合には\(\left( d\right) ,\left( e\right) \)より\(\lambda _{2}=\lambda _{3}=0\)となります。すると\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)より\(x=\lambda _{1}\)かつ\(y=\frac{\lambda _{1}}{2}\)を得ますが、これと\(\left( c\right) \)より\(\lambda _{1}\left( 3-2\lambda _{1}-\frac{\lambda _{1}}{2}\right) =0\)です。\(\lambda _{1}=0\)の場合には\(x=y=0\)となり矛盾です。一方、\(3-2\lambda _{1}-\frac{\lambda _{1}}{2}=0\)すなわち\(\lambda _{1}=\frac{6}{5}\)のときには\(x=\frac{6}{5}\)かつ\(y=\frac{3}{5} \)となります。したがって、\begin{equation}
\left( x,y,\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right) =\left( \frac{6}{5},\frac{3}{5},\frac{6}{5},0,0\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は条件を満たし、そこでの効用は、\begin{equation*}
u\left( \frac{6}{5},\frac{3}{5}\right) =\left( \frac{6}{5}\right)
^{2}+\left( \frac{3}{5}\right) ^{2}=\frac{9}{5}
\end{equation*}となります。続いて\(x>0\)かつ\(y=0\)である場合ですが、\(\left( d\right) \)より\(\lambda _{2}=0\)となります。すると\(\left( a\right) \)より\(x=\lambda _{1}\)を得ますが、これと\(\left( c\right) \)より\(\lambda _{1}\left( 3-2\lambda _{1}\right) =0\)です。\(\lambda _{1}=0\)の場合には\(x=0\)となり矛盾です。一方、\(3-2\lambda _{1}=0\)すなわち\(\lambda _{1}=\frac{3}{2}\)のときには\(x=\frac{3}{2}\)となります。また、\(\left( b\right) \)より\(\lambda _{3}=\frac{3}{2}\)です。したがって、\begin{equation}
\left( x,y,\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right) =\left( \frac{3}{2},0,\frac{3}{2},0,\frac{3}{2}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}は条件を満たし、そこでの効用は、\begin{equation*}
u\left( \frac{3}{2},0\right) =\left( \frac{3}{2}\right) ^{2}+0^{2}=\frac{9}{4}
\end{equation*}となります。続いて\(x_{1}=0\)かつ\(x_{2}>0\)である場合ですが、\(\left( e\right) \)より\(\lambda _{3}=0\)となります。すると\(\left( b\right) \)より\(y=\frac{\lambda _{1}}{2}\)を得ますが、これと\(\left( c\right) \)より\(\lambda _{1}\left( 3-\frac{\lambda _{1}}{2}\right) =0\)です。\(\lambda _{1}=0\)の場合には\(y=0\)となり矛盾です。一方、\(3-\frac{\lambda _{1}}{2}=0\)すなわち\(\lambda _{1}=6\)のときには\(y=3\)となります。また、\(\left( a\right) \)より\(\lambda _{2}=0\)です。したがって、\begin{equation}
\left( x,y,\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right) =\left(
0,3,6,0,0\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}は条件を満たし、そこでの効用は、\begin{equation*}
u\left( 0,3\right) =0^{2}+3^{2}=9
\end{equation*}となります。最後に\(x_{1}=x_{2}=0\)である場合ですが、\(\left( c\right) \)より\(\lambda _{1}=0\)となります。すると、\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)より\(\lambda _{2}=\lambda _{3}=0\)となります。したがって、\begin{equation}
\left( x,y,\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right) =\left(
0,0,0,0,0\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}は条件を満たし、そこでの効用は、\begin{equation*}
u\left( 0,0\right) =0^{2}+0^{2}=0
\end{equation*}となります。以上の結果を比較すると、\(\left( 3\right) \)において効用は最大化されるため、最適解は\(x^{\ast }=\left( 0,3\right) \)であり、そこでの効用は、\begin{equation*}
u\left( x^{\ast }\right) =u\left( 0,3\right) =9
\end{equation*}となります。ちなみに、\(\left( p_{x},p_{y},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で同様の議論を行うことにより、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{x},p_{y},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\(p_{x}\geq p_{y}\)の場合には、\begin{equation*}
x^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{x}^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right) \\
x_{y}^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{w}{p_{y}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、\(p_{x}<p_{y}\)の場合には、\begin{equation*}
x^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{x}^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right) \\
x_{y}^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{p_{x}} \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになります(演習問題にします)。

 

効用最大化問題の解であるための十分条件

効用最大化問題に解が存在する場合、その解が必ず満たす条件をクーン・タッカー条件として表現しました。ただ、この条件は消費ベクトルが効用最大化問題の解であるための必要条件であり、十分条件ではありません。つまり、クーン・タッカー条件を満たす消費ベクトルの中には効用最大化問題の解でないものが含まれる可能性があるため、効用最大化問題の解を特定するためには、クーン・タッカー条件を満たす消費ベクトルどうしを比較し、その中から最大の効用をもたらすものを特定する必要があります。これは先の例からも明らかです。

ただ、一定の条件のもとでは、クーンタッカー条件は消費ベクトルが効用最大化問題の解であるための十分条件になります。具体的には、効用最大化問題に相当する先の制約付き最大化問題
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{x} & u\left( x\right) \\
s.t. & g_{0}\left( x\right) \geq 0 \\
& g_{1}\left( x\right) \geq 0 \\
& \vdots \\
& g_{N}\left( x\right) \geq 0\end{array}$$において、目的関数\(u\)と制約条件を表すスカラー場\(g_{i}\) \(\left( i=0,1,\cdots ,N\right) \)がいずれも準凹関数である場合には、クーンタッカー条件を満たす消費ベクトルはいずれも上の問題の解になることが保証されます。ただ、スカラー場\(g_{i}\)はいずれも線型であることから準凹関数であることが保証されるため、結局、必要なことは効用関数\(u\)が準凹関数であるという条件だけです。ちなみに、効用関数\(u\)が準凹関数であることと、\(u\)によって表される選好\(\succsim \)が凸性の仮定を満たすことは必要十分です。

以上の事実と、先に求めた効用最大化問題の解であるための必要条件を踏まえると、効用関数が準凹関数(選好関係が凸性を満たす)という条件を加えることにより、クーンタッカー条件は消費ベクトルが効用最大化問題の解であるための必要十分条件になります。つまり、クーンタッカー条件を満たす消費ベクトルはいずれも効用最大化問題の解になるということです。

命題(効用最大化問題の解であるための必要十分条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとる。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級の準凹関数である(\(\succsim \)が凸性を満たす)場合、\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、消費ベクトル\(x^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \nabla u(x^{\ast })\leq \lambda ^{\ast }p \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }\cdot (w-p\cdot x^{\ast })=0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ \nabla u\left( x^{\ast }\right) -\lambda ^{\ast
}\cdot p\right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在することは、\(x^{\ast }\)が\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解であること、すなわち\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)が成り立つための必要十分条件である。
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例(効用最大化問題の解であるための必要十分条件)
凹関数は準凹関数でもあるため(ちなみに準凹関数は凹関数であるとは限らない)、上の命題中の「効用関数が準凹関数」であるという条件を「効用関数が凹関数」と置き換えた主張もまた成立します。つまり、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数が\(C^{1}\)級の凹関数である場合には、クーン・タッカー条件を満たす消費ベクトルは効用最大化問題の解であることが保証されるということです。効用関数が準凹関数であることを示すことよりも凹関数であることを示す方が簡単である場合、この事実は有用です。
例(効用最大化問題の解であるための必要十分条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x,y\right) =x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\(\left( p_{x},p_{y},w\right) =\left( 1,1,10\right) \)のもとでの効用最大化問題
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x,y\right) } & x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \\
s.t. & x+y\leq 10 \\
& x\geq 0 \\
& y\geq 0\end{array}$$について考えます。制約条件によって絞られる領域、すなわち予算集合は、\begin{equation*}
B\left( 1,1,10\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in
\mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x+y\leq 10\wedge x\geq 0\wedge y\geq 0\right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の非空なコンパクト集合です。さらに、目的関数\(x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}\)は連続関数であるため、最大値の定理より最適解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( 1,1,10\right) \)が存在することが保証されます。加えて\(u\)は\(C^{1}\)級な凹関数であるため(確認してください)、ラグランジュ関数からクーン・タッカー条件を特定し、効用最大化問題の解を特定できます。具体的には、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}
L\left( x,y,\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right) =x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+\lambda _{1}\left( 10-x-y\right) +\lambda _{2}x+\lambda _{3}y
\end{equation*}と定義すると、クーンタッカー条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial x}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}-\lambda _{1}+\lambda _{2}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}}-\lambda _{1}+\lambda _{3}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}\left( 10-x-y\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{2}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=\lambda _{2}x=0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda _{3}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{3}}=\lambda _{3}y=0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=10-x-y\geq 0 \\
&&\left( g\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=x\geq 0 \\
&&\left( h\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{3}}=y\geq 0 \\
&&\left( i\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=1,2,3\right)
\end{eqnarray*}となります。これらを満たす消費ベクトル\(\left( x,y\right) \)を特定します。\(\left( a\right) \)より\(x=0\)を満たす\(\left( x,y\right) \)において\(\frac{\partial L}{\partial x}\)は定義されず、\(\left( b\right) \)より\(y=0\)を満たす\(\left( x,y\right) \)において\(\frac{\partial L}{\partial y}\)は定義されないため、\(\left( g\right) ,\left( h\right) \)より\(x>0\)かつ\(y>0\)です。すると\(\left( d\right) ,\left( e\right) \)より\(\lambda _{2}=\lambda _{3}=0\)を得ますが、これと\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)より\(x=y\)かつ\(\lambda _{1}=\frac{1}{2}\)を得ます。すると\(\left( c\right) \)より\(x=y=5\)となりますが、このとき\(\left( f\right) \)も満たされます。したがって、先の命題より、\begin{equation*}
\left( x,y,\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right) =\left(
5,5,5,0,0\right)
\end{equation*}が\(\left( p_{x},p_{y},w\right) =\left( 1,1,10\right) \)のもとでの効用最大化問題の解であることが保証されるとともに、そこでの効用は、\begin{equation*}
u\left( 5,5\right) =5\cdot 5=25
\end{equation*}となります。ちなみに、\(\left( p_{x},p_{y},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で同様の議論を行うことにより、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{x},p_{y},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
x^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{x}^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right) \\
x_{y}^{\ast }\left( p_{x},p_{y},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{x}} \\
\frac{w}{2p_{y}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになります(演習問題にします)。

次回は効用最大化問題の内点解について解説します。

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