クーン・タッカーの定理を用いて、効用最大化問題の解が満たす条件を明らかにします。さらに、ラグランジュの未定乗数法を使って効用最大化問題の解を求める方法を解説します。

クーン・タッカーの定理 ラグランジュの未定乗数法

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不等式制約下での最適化問題としての効用最大化問題

これまでは効用最大化問題に解が存在するための条件や、解が存在する場合に需要対応や需要関数、間接効用関数が満たす性質について考察してきました。ここでは、効用最大化問題に解が存在することが保証される場合に、その解を具体的に求める方法を解説します。

復習になりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は非空値をとります。したがって、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだときに、そこでの効用最大化問題に解が存在するため、その解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)を選ぶことができます。効用最大化問題の定義より、これは以下のような不等式制約下での最適化問題

$$\begin{array}{cl}
\max & u\left( x\right) \\
s.t. & p\cdot x\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0\end{array}$$

の解です。そこで以降では、\(x^{\ast }\)が満たすべき条件をクーン・タッカーの定理を用いて明らかにします。

 

クーン・タッカーの定理と効用最大化問題

便宜上、ベクトル場\(g_{i}: \mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=0,1,\cdots ,N\right) \)を、\begin{eqnarray*}
g_{0}\left( x\right) &=&w-p\cdot x \\
g_{i}\left( x\right) &=&x_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{eqnarray*}とそれぞれ定義すると、先の最適化問題を、

$$\begin{array}{cl}
\max & u\left( x\right) \\
s.t. & g_{0}\left( x\right) \geq 0 \\
& g_{1}\left( x\right) \geq 0 \\
& \vdots \\
& g_{N}\left( x\right) \geq 0\end{array}$$

と表現できます。上の問題の解\(x^{\ast }\)が存在することは示されています。では、この問題に対してクーン・タッカーの定理を使うことができるでしょうか。

ベクトル場\(g_{0}\left( x\right) =w-p\cdot x\)については、\begin{equation}
\nabla g_{0}\left( x^{\ast }\right) =\left( -p_{1},\cdots ,-p_{N}\right) =-p
\tag{1}
\end{equation}となり、ベクトル場\(g_{i}\left( x\right) =x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,N\right) \)については、\begin{equation}
\nabla g_{i}\left( x^{\ast }\right) =\left( 0,\cdots ,1,\cdots ,0\right)
=e_{i} \tag{2}
\end{equation}となります。ただし、\(e_{j}\)は\(j\)番目の成分のみが\(1\)で残りのすべての成分が\(0\)であるような単位ベクトルです。

条件\(g_{0}\left( x\right) \geq 0\)が\(x^{\ast }\)においてバインドする場合、すなわち、\(w-p\cdot x^{\ast }=0\)が成り立つ場合、少なくとも1つの商品\(i\)について\(x_{i}^{\ast }>0\)すなわち\(g_{i}\left( x^{\ast }\right) >0\)が成り立つため、条件\(g_{i}\left( x\right) \geq 0\)は\(x^{\ast }\)においてバインドしません。以上の事実と\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)を踏まえると、\(x^{\ast }\)においてバインドする条件に関する勾配ベクトルどうしは1次独立ではありません。

条件\(g_{0}\left( x\right) \geq 0\)が\(x^{\ast }\)においてバインドしない場合、すなわち、\(w-p\cdot x^{\ast }>0\)が成り立つ場合、バインドし得る条件に関する勾配ベクトルはいずれも\(\left( 2\right) \)のような単位ベクトルであり、それらはいずれも異なる方向を持つため、それらは1次独立ではありません。

さらに、先の問題の目的関数である効用関数\(u\)が\(C^{1}\)級であるならばクーン・タッカーの定理が利用可能であるため、ラグランジュ乗数法を用いて最適解\(x^{\ast }\)が満たす条件を特定できます。具体的には、それぞれの\(\left( x,\lambda _{0},\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} ^{N+1}\)に対して、\begin{align*}
L\left( x,\lambda _{0},\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}\right) & =u\left(
x\right) +\sum_{i=0}^{N}\lambda _{i}g_{i}\left( x\right) \\
& =u\left( x\right) +\lambda _{0}\left( w-p\cdot x\right) +\lambda
_{1}x_{1}+\cdots +\lambda _{N}x_{N}
\end{align*}を像として定めるラグランジュ関数\(L: \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} ^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(x^{\ast }\)に対して,\begin{align*}
\frac{\partial L\left( x^{\ast },\lambda _{0}^{\ast },\lambda _{1}^{\ast
},\cdots ,\lambda _{N}^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}& =0\quad \left(
i=1,\cdots ,N\right) \\
\lambda _{i}^{\ast }\frac{\partial L\left( x^{\ast },\lambda _{0}^{\ast
},\lambda _{1}^{\ast },\cdots ,\lambda _{N}^{\ast }\right) }{\partial
\lambda _{i}}& =0\quad \left( i=0,\cdots ,N\right) \\
\frac{\partial L\left( x^{\ast },\lambda _{0}^{\ast },\lambda _{1}^{\ast
},\cdots ,\lambda _{N}^{\ast }\right) }{\partial \lambda _{i}}& \geq 0\quad
\left( i=0,\cdots ,N\right) \\
\lambda _{i}^{\ast }& \geq 0\quad \left( i=0,\cdots ,N\right)
\end{align*}を満たす\(\left( \lambda _{0}^{\ast },\lambda _{1}^{\ast },\cdots ,\lambda _{N}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} ^{N+1}\)が存在します。こうして得られたクーン・タッカー条件を解くことにより以下の命題を得ます。

命題(効用最大化問題の解であるための条件)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は非空値をとる。さらに、\begin{equation*}
\left( c\right) \ u\text{は}C^{1}\text{級である}
\end{equation*}ならば、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \nabla u(x^{\ast })\leq \lambda ^{\ast }p \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }(w-p\cdot x^{\ast })=0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ \nabla u\left( x^{\ast }\right) -\lambda ^{\ast }p\right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
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効用最大化問題の解き方

先の命題は消費ベクトル\(x^{\ast }\)が効用最大化問題の解であるための必要条件を明らかにしていますが、それ以外の消費ベクトルもまた同様の条件を満たすことがあります。したがって、効用最大化問題の解を導出するためには以下の手順を踏むことになります。

  1. 与えられた効用最大化問題に解が存在することを確認する。消費集合が\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合には、選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすことを示してもよいが、条件として効用関数\(u\)が与えられている場合には、最大値の定理の利用を考えてもいい。具体的には、効用最大化問題は、\begin{equation*}
    \max_{x\in B\left( p,w\right) }u\left( x\right)
    \end{equation*}と定義されるため、\(u\)が連続であるとともに、\(u\)の変数がとり得る範囲\(B\left( p,w\right) \)が非空なコンパクト集合であること示すことができれば、最大値の定理より、上の問題には最大値が存在することが保証される。
  2. 効用関数\(u\)が\(C^{1}\)級であることを確認する。このとき、先の命題より、ラグランジュ関数を用いればクーン・タッカー条件を特定できることが保証される。
  3. ラグランジュ関数を用いて、クーン・タッカー条件を満たす消費ベクトルをすべて特定する。
  4. その中から最大の効用を与える消費ベクトルを特定する。
例(効用最大化問題の解)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}で与えられているものとします。価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)と所得\(w=10\)のもとでの効用最大化問題について考えます。制約条件によって絞られる領域\begin{equation*}
\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x_{1}+x_{2}\leq 10,\ x_{1}\geq 0,\ x_{2}\geq 0\}
\end{equation*}は非空なコンパクト集合であり、目的関数\(u\)は連続関数であるため、最大値の定理より、最適解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( 1,1,10\right) \)の存在が保証されます。また、\(u\)は\(C^{1}\)級であるため、ラグランジュ関数からクーン・タッカー条件を特定できます。具体的には、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}
L\left( x_{1},x_{2},\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)
=x_{1}x_{2}+\lambda _{1}\left( 10-x_{1}-x_{2}\right) +\lambda
_{2}x_{1}+\lambda _{3}x_{2}
\end{equation*}とおくと、クーンタッカー条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial x_{1}}=x_{2}-\lambda
_{1}+\lambda _{2}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial x_{2}}=x_{1}-\lambda
_{1}+\lambda _{3}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}\left( 10-x_{1}-x_{2}\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{2}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=\lambda _{2}x_{1}=0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda _{3}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{3}}=\lambda _{3}x_{2}=0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=10-x_{1}-x_{2}\geq 0 \\
&&\left( g\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=x_{1}\geq 0 \\
&&\left( h\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{3}}=x_{2}\geq 0 \\
&&\left( i\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=1,2,3\right)
\end{eqnarray*}となります。\(x_{1}>0\)かつ\(x_{2}>0\)である場合、\(\left( d\right) ,\left( e\right) \)より\(\lambda _{2}=\lambda _{3}=0\)となります。すると\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)より\(x_{1}=x_{2}=\lambda _{1}\)を得ますが、これと\(\left( c\right) \)より\(\lambda _{1}\left( 10-2\lambda _{1}\right) =0\)です。\(\lambda _{1}=0\)の場合には\(x_{1}=0\)となり矛盾です。一方、\(10-2\lambda _{1}=0\)すなわち\(\lambda _{1}=5\)のときには\(x_{1}=x_{2}=5\)となります。したがって、\begin{equation}
\left( x_{1},x_{2},\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right) =\left(
5,5,5,0,0\right) \tag{1}
\end{equation}は条件を満たし、そこでの効用は\(u\left( 5,5\right) =25\)となります。効用関数は\(u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}\)であるため、\(x_{1}\)と\(x_{2}\)の少なくとも一方が\(0\)であるような\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における効用は\(0\)であるため、そのような\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)が最適解になることはありません。したがって、\(\left( 1\right) \)において効用は最大化されるため、最適解は\(x^{\ast }=\left( 5,5\right) \)です。
例(効用最大化問題の解)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}で与えられているものとします。価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) =\left( 2,1\right) \)と所得\(w=3\)のもとでの効用最大化問題について考えます。制約条件によって絞られる領域\begin{equation*}
\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ 2x_{1}+x_{2}\leq 3,\ x_{1}\geq 0,\ x_{2}\geq 0\}
\end{equation*}は非空なコンパクト集合であり、目的関数\(u\)は連続関数であるため、最大値の定理より、最適解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( 2,1,3\right) \)の存在が保証されます。また、\(u\)は\(C^{1}\)級であるため、ラグランジュ関数からクーン・タッカー条件を特定できます。具体的には、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}
L\left( x_{1},x_{2},\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)
=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\lambda _{1}\left( 3-2x_{1}-x_{2}\right) +\lambda
_{2}x_{1}+\lambda _{3}x_{2}
\end{equation*}とおくと、クーンタッカー条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial x_{1}}=2x_{1}-2\lambda
_{1}+\lambda _{2}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial x_{2}}=2x_{2}-\lambda
_{1}+\lambda _{3}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}\left( 3-2x_{1}-x_{2}\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{2}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=\lambda _{2}x_{1}=0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda _{3}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{3}}=\lambda _{3}x_{2}=0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=3-2x_{1}-x_{2}\geq 0 \\
&&\left( g\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=x_{1}\geq 0 \\
&&\left( h\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{3}}=x_{2}\geq 0 \\
&&\left( i\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=1,2,3\right)
\end{eqnarray*}となります。\(x_{1}>0\)かつ\(x_{2}>0\)である場合、\(\left( d\right) ,\left( e\right) \)より\(\lambda _{2}=\lambda _{3}=0\)となります。すると\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)より\(x_{1}=\lambda _{1}\)かつ\(x_{2}=\frac{\lambda _{1}}{2}\)を得ますが、これと\(\left( c\right) \)より\(\lambda _{1}\left( 3-2\lambda _{1}-\frac{\lambda _{1}}{2}\right) =0\)です。\(\lambda _{1}=0\)の場合には\(x_{1}=x_{2}=0\)となり矛盾です。一方、\(3-2\lambda _{1}-\frac{\lambda _{1}}{2}=0\)すなわち\(\lambda _{1}=\frac{6}{5}\)のときには\(x_{1}=\frac{6}{5}\)かつ\(x_{2}=\frac{3}{5} \)となります。したがって、\begin{equation}
\left( x_{1},x_{2},\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right) =\left(
\frac{6}{5},\frac{3}{5},\frac{6}{5},0,0\right) \tag{1}
\end{equation}は条件を満たします。\(x_{1}>0\)かつ\(x_{2}=0\)である場合、\(\left( d\right) \)より\(\lambda _{2}=0\)となります。すると\(\left( a\right) \)より\(x_{1}=\lambda _{1}\)を得ますが、これと\(\left( c\right) \)より\(\lambda _{1}\left( 3-2\lambda _{1}\right) =0\)です。\(\lambda _{1}=0\)の場合には\(x_{1}=0\)となり矛盾です。一方、\(3-2\lambda _{1}=0\)すなわち\(\lambda _{1}=\frac{3}{2}\)のときには\(x_{1}=\frac{3}{2}\)となります。また、\(\left( b\right) \)より\(\lambda _{3}=\frac{3}{2}\)です。したがって、\begin{equation}
\left( x_{1},x_{2},\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right) =\left(
\frac{3}{2},0,\frac{3}{2},0,\frac{3}{2}\right) \tag{2}
\end{equation}は条件を満たします。\(x_{1}=0\)かつ\(x_{2}>0\)である場合、\(\left( e\right) \)より\(\lambda _{3}=0\)となります。すると\(\left( b\right) \)より\(x_{2}=\frac{\lambda _{1}}{2}\)を得ますが、これと\(\left( c\right) \)より\(\lambda _{1}\left( 3-\frac{\lambda _{1}}{2}\right) =0\)です。\(\lambda _{1}=0\)の場合には\(x_{2}=0\)となり矛盾です。一方、\(3-\frac{\lambda _{1}}{2}=0\)すなわち\(\lambda _{1}=6\)のときには\(x_{2}=3\)となります。また、\(\left( a\right) \)より\(\lambda _{2}=0\)です。したがって、\begin{equation}
\left( x_{1},x_{2},\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right) =\left(
0,3,6,0,0\right) \tag{3}
\end{equation}は条件を満たします。\(x_{1}=x_{2}=0\)である場合、\(\left( c\right) \)より\(\lambda _{1}=0\)となります。すると、\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)より\(\lambda _{2}=\lambda _{3}=0\)となります。したがって、\begin{equation}
\left( x_{1},x_{2},\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right) =\left(
0,0,0,0,0\right) \tag{4}
\end{equation}は条件を満たします。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)を比較すると、\(\left( 3\right) \)において効用は最大化されるため、最適解は\(x^{\ast }=\left( 0,3\right) \)であり、そこでの効用は、\begin{equation*}
u\left( x^{\ast }\right) =u\left( 0,3\right) =9
\end{equation*}となります。

次回は効用最大化問題の内点解について解説します。

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