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CONSUMER THEORY

普通財・ギッフェン財・粗代替財・粗補完財

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普通財

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が自身の価格\(p_{n}\)に関して偏微分可能であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(n\)の自己価格効果が負である場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial p_{n}}<0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)は\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において普通財(ordinary good at \(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \))であると言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を出発点に商品\(n\)の価格を上昇させると、商品\(n\)の需要が減少することを意味します。

商品\(n\)が普通財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(n\)が普通財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{n}}<0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)を普通財(ordinary good)と呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(n\)の価格を上昇させると、商品\(n\)の需要が減少することを意味します。数学的には、これは商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)が変数\(p_{n}\)に関して狭義の単調減少関数であることを意味します。

例(普通財)
通常、商品の価格が上昇するとその商品の需要は減少するため、ほぼすべての商品は普通財です。

例(普通財)
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{n}w}{p_{n}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(0<\alpha _{n}<1\)です。\(x_{n}^{\ast }\)は変数\(p_{n}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{n}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{n}}\left( \frac{\alpha _{n}w}{p_{n}}\right) \quad
\because x_{n}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&-\frac{\alpha _{n}w}{p_{n}^{2}} \\
&>&0\quad \because 0<\alpha _{n}<1,\ p_{n}>0
\end{eqnarray*}を満たすため、商品\(n\)は普通財です。

商品が普通財であることを需要の自己価格弾力性を用いて以下のように表現することもできます。

命題(普通財)
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとるとともに、自身の価格\(p_{n}\)に関して偏微分可能であるものとする。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\varepsilon _{nn}\left( \overline{p},\overline{w}\right) <0
\end{equation*}が成り立つことは、商品\(n\)が\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において普通財であるための必要十分条件である。したがって、\(\varepsilon _{nn}\)が負の実数のみを値としてとることは、商品\(n\)が普通財であるための必要十分条件である。
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ギッフェン財

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が自身の価格\(p_{n}\)に関して偏微分可能であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(n\)の自己価格効果が正である場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial p_{n}}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)は\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)においてギッフェン財(Giffen good at \(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \))であると言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を出発点に商品\(n\)の価格を上昇させると、商品\(n\)の需要が増加することを意味します。

商品\(n\)がギッフェン財であるかどうかは\(\left(p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(n\)がギッフェン財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{n}}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(n\)をギッフェン財(Giffen good)と呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(n\)の価格を上昇させると、商品\(n\)の需要が増加することを意味します。数学的には、これは商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)が変数\(p_{n}\)に関して狭義の単調増加関数であることを意味します。

例(ギッフェン財)
ある人がパンと肉を食べることで生存に必要なカロリーを摂取している状況を想定します。費用対効果ではパンは肉よりも優れている一方、この人はパンよりも肉のほうが好きであり、できることなら肉ばかりを食べたいものと考えています。ただし、所得水準が低いため、肉だけを購入していては必要なカロリーを摂取できず、したがってパンも一定量購入する必要があります。所得水準と肉の価格は一定で、パンの価格だけが変化した場合に何が起こるでしょうか。パンの価格が上昇すると、それまでの肉とパンの消費量の組み合わせを予算内で購入できなくなるため、生存に必要なカロリーを摂取できなくなります。したがって、この人は肉の消費を減らし、浮いたお金で以前よりも多くのパンを購入せざるを得なくなります。したがって、以上の状況においてパンはギッフェン財になっています。

商品がギッフェン財であることを需要の自己価格弾力性を用いて以下のように表現することもできます。

命題(ギッフェン財)
商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとるとともに、自身の価格\(p_{n}\)に関して偏微分可能であるものとする。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\varepsilon _{nn}\left( \overline{p},\overline{w}\right) >0
\end{equation*}が成り立つことは、商品\(n\)が\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)においてギッフェン財であるための必要十分条件である。したがって、\(\varepsilon _{nn}\)が正の実数のみを値としてとることは、商品\(n\)がギッフェン財であるための必要十分条件である。
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粗代替財

商品\(i\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が別の商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(i\)の需要への商品\(j\)の価格の価格効果が正である場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial p_{j}}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において商品\(i\)は商品\(j\)の粗代替財(good \(i\) is grosssubstitute of good \(j\) at \(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \))であると言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格だけを上昇させると、商品\(i\)の需要が増加することを意味します。

商品\(i\)が商品\(j\)の粗代替財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(i\)が商品\(j\)の粗代替財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(i\)を商品\(j\)の粗代替財(gross substitute)と呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格だけを上昇させると、商品\(i\)の需要が増加することを意味します。数学的には、これは商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }\)が変数\(p_{j}\)に関して狭義の単調増加関数であることを意味します。

例(粗代替財)
通常、肉の価格が上昇すれば魚の需要が増加するため、魚は肉の粗代替財です。また、バターの価格が上昇すればマーガリンの需要が増加するため、バターはマーガリンの粗代替財です。加えて、ビールの価格が上昇すれば発泡酒の需要が増加するため、発泡酒はビールの粗代替財です。

ある商品が別の商品の粗代替財であることは需要の交差価格弾力性を用いて以下のように表現することもできます。

命題(粗代替財)
商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとるとともに、別の商品\(j\)の\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるものとする。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\varepsilon _{ij}\left( \overline{p},\overline{w}\right) >0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において商品\(i\)が商品\(j\)の粗代替財であるための必要十分条件である。したがって、\(\varepsilon _{ij}\)が正の実数のみを値としてとることは、商品\(i\)が商品\(j\)の粗代替財であるための必要十分条件である。
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粗補完財

商品\(i\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が別の商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(i\)の需要への商品\(j\)の価格の価格効果が負である場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial p_{j}}<0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において商品\(i\)は商品\(j\)の粗補完財(good \(i\) is grosscomplement of good \(j\) at \(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \))であると言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格だけを上昇させると、商品\(i\)の需要が減少することを意味します。

商品\(i\)が商品\(j\)の粗補完財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(i\)が商品\(j\)の粗補完財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}<0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(i\)を商品\(j\)の粗補完財(gross complement)と呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格だけを上昇させると、商品\(i\)の需要が減少することを意味します。数学的には、これは商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }\)が変数\(p_{j}\)に関して狭義の単調減少関数であることを意味します。

例(粗補完財)
通常、ガソリンの価格が上昇すればガソリン車の需要が減少するため、ガソリン車はガソリンの粗補完財です。また、フィルムの価格が上昇すればフィルムカメラの需要が減少するため、フィルムカメラはフィルムの粗補完財です。

ある商品が別の商品の粗補完財であることは需要の交差価格弾力性を用いて以下のように表現することもできます。

命題(粗補完財)
商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとるとともに、別の商品\(j\)の\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるものとする。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\varepsilon _{ij}\left( \overline{p},\overline{w}\right) <0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において商品\(i\)が商品\(j\)の粗補完財であるための必要十分条件である。したがって、\(\varepsilon _{ij}\)が負の実数のみを値としてとることは、商品\(i\)が商品\(j\)の粗補完財であるための必要十分条件である。
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