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消費者理論

普通財・ギッフェン財・粗代替財・粗補完財

目次

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価格効果と需要の価格弾力性

価格効果需要の価格弾力性について簡単に復習します。消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されており、さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。また、消費者が直面する経済的制約が予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が解くべき効用最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}として定式化されます。特に、選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、そして狭義凸性を満たす場合にはワルラスの需要関数\begin{equation*}x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}が存在するとともに連続であることが保証されます。ただし、需要関数\(x^{\ast }\)が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の唯一の解に相当する\(N\)次元ベクトルであり、これを\(\left( p,w\right) \)のもとでの需要と呼びます。商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)を任意に選んだとき、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、商品\(n\)の需要\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{+}\)を値として定める多変数関数\begin{equation*}x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が定義可能です。これを商品\(n\)の需要関数と呼びます。

商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能である場合には、\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要への商品\(j\)の価格の価格効果を、\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}
\end{equation*}と定義します。これは\(\left( p,w\right) \)を出発点として商品\(j\)の価格\(p_{j}\)だけを変化させたときに生じる商品\(i\)の需要の変化を表す指標です。ただし、価格効果の水準は商品や所得の単位に依存してしまうという問題があります。

商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能である場合には、\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要への商品\(j\)の価格の価格弾力性を、\begin{equation*}\varepsilon _{ij}\left( p,w\right) =\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial p_{j}}\cdot \frac{p_{j}}{x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }
\end{equation*}と定義します。これは\(\left( p,w\right) \)を出発点として商品\(j\)の価格\(p_{j}\)だけを\(1\)パーセント変化させた場合に商品\(j\)の需要が何パーセント変化するかを表す指標です。需要の価格弾力性は商品や所得の単位に依存しません。

 

普通財

商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が自身の価格\(p_{i}\)に関して偏微分可能であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(i\)の自己価格効果が負である場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}<0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(i\)は\(\left( p,w\right) \)において普通財(ordinary good at \(\left( p,w\right) \))であると言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(i\)の価格を上昇させると、商品\(i\)の需要が減少することを意味します。言い換えると、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(i\)の価格を下落させると、商品\(i\)の需要が増加することを意味します。

商品\(i\)が普通財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(i\)が普通財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}<0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(i\)を普通財(ordinary good)と呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(i\)の価格を上昇させると、商品\(i\)の需要が必ず減少することを意味します。言い換えると、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(i\)の価格を下落させると、商品\(i\)の需要が必ず増加することを意味します。数学的には、これは商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }\)が変数\(p_{i}\)に関して狭義の単調減少関数であることを意味します。

例(普通財)
通常、商品の価格が上昇するとその商品の需要は減少するため、多くの商品は普通財です。

例(普通財)
\(N\)財モデルにおいて商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{i}w}{p_{i}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(0<\alpha _{i}<1\)です。\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要への自己価格効果は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{i}}\left( \frac{\alpha _{i}w}{p_{i}}\right) \quad
\because x_{i}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&-\frac{\alpha _{i}w}{p_{i}^{2}} \\
&<&0\quad \because 0<\alpha _{i}<1,\ p_{i}>0
\end{eqnarray*}ですが、これは\(\left( p,w\right) \)の水準に依存せず常に負であるため、商品\(i\)は普通財です。

商品が普通財であることを需要の自己価格弾力性を用いて以下のように表現できます。

命題(需要の価格弾力性を用いた普通財の定義)
商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は正の実数を値としてとるとともに、自身の価格\(p_{i}\)に関して偏微分可能であるものとする。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\varepsilon _{ii}\left( p,w\right) <0
\end{equation*}が成り立つことは、商品\(i\)が\(\left( p,w\right) \)において普通財であるための必要十分条件である。したがって、\(\varepsilon_{ii}\)が負の実数のみを値としてとることは、商品\(i\)が普通財であるための必要十分条件である。
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例(需要の価格弾力性を用いた普通財の定義)
\(N\)財モデルにおいて商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{i}w}{p_{i}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(0<\alpha _{i}<1\)です。\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要への自己価格効果は、\begin{eqnarray*}\varepsilon _{ii}\left( p,w\right) &=&\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial p_{i}}\cdot \frac{p_{i}}{x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) } \\
&=&\frac{\partial }{\partial p_{i}}\left( \frac{\alpha _{i}w}{p_{i}}\right)
\cdot \frac{p_{i}}{\frac{\alpha _{i}w}{p_{i}}} \\
&=&-\frac{\alpha _{i}w}{p_{i}^{2}}\cdot \frac{p_{i}}{\frac{\alpha _{i}w}{p_{i}}} \\
&=&-\frac{\alpha _{i}w}{p_{i}^{2}}\cdot \frac{p_{i}^{2}}{\alpha _{i}w} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}ですが、これは\(\left( p,w\right) \)の水準に依存せず常に負であるため、商品\(i\)は普通財です。

 

ギッフェン財

商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が自身の価格\(p_{i}\)に関して偏微分可能であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(i\)の自己価格効果が正である場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(i\)は\(\left( p,w\right) \)においてギッフェン財(Giffen good at \(\left( p,w\right) \))であると言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(i\)の価格を上昇させると、商品\(i\)の需要が増加することを意味します。言い換えると、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(i\)の価格を下落させると、商品\(i\)の需要が減少することを意味します。

商品\(i\)がギッフェン財であるかどうかは\(\left(p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(i\)がギッフェンである場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(i\)をギッフェン財(Giffen good)と呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(i\)の価格を上昇させると、商品\(i\)の需要が必ず増加することを意味します。言い換えると、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(i\)の価格を下落させると、商品\(i\)の需要が必ず減少することを意味します。数学的には、これは商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }\)が変数\(p_{i}\)に関して狭義の単調増加関数であることを意味します。

例(ギッフェン財)
ある人がパンと肉を食べることにより生存に必要なカロリーをかろうじて摂取している状況を想定します。単位カロリー当たりの費用対効果ではパンは肉よりも優れている一方、この人はパンよりも肉のほうが好きであり、できることなら肉を食べたいものと考えています。ただし、所得水準が低いため、肉だけを購入していては生存に必要なカロリーを摂取できず、したがってパンも一定量購入する必要があります。所得水準と肉の価格は一定で、パンの価格だけが変化した場合に何が起こるでしょうか。パンの価格が上昇すると、それまでの肉とパンの消費量の組み合わせを予算内で購入できなくなるため、生存に必要なカロリーを摂取できなくなります。したがって、この人は肉の消費を減らし、浮いたお金で以前よりも多くのパンを購入せざるを得なくなります。つまり、パンの価格の上昇がパンの需要の増加をもたらしているため、以上の状況においてパンはギッフェン財になっています。

例(ギッフェン財)
\(2\)財モデルにおいて商品\(1\)の需要関数\(x_{1}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{p_{2}-m}{2p_{2}-p_{1}} & \left( if\ 2p_{2}>2m>p_{1}\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(2p_{2}>2m>p_{1}\)を満たす\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \)における商品\(1\)の需要への自己価格効果は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{p_{2}-m}{2p_{2}-p_{1}}\right)
\quad \because x_{i}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\frac{p_{2}-m}{\left( p_{1}-2p_{2}\right) ^{2}}\quad \because
2p_{2}>2m>p_{1} \\
&>&0
\end{eqnarray*}であるため、そのような\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)において商品\(1\)はギッフェン財です。

商品がギッフェン財であることを需要の自己価格弾力性を用いて以下のように表現できます。

命題(需要の価格弾力性を用いたギッフェン財の定義)
商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとるとともに、自身の価格\(p_{i}\)に関して偏微分可能であるものとする。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\varepsilon _{ii}\left( p,w\right) >0
\end{equation*}が成り立つことは、商品\(i\)が\(\left( p,w\right) \)においてギッフェン財であるための必要十分条件である。したがって、\(\varepsilon _{ii}\)が正の実数のみを値としてとることは、商品\(i\)がギッフェン財であるための必要十分条件である。
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例(需要の価格弾力性を用いたギッフェン財の定義)
\(2\)財モデルにおいて商品\(1\)の需要関数\(x_{1}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{p_{2}-m}{2p_{2}-p_{1}} & \left( if\ 2p_{2}>2m>p_{1}\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(2p_{2}>2m>p_{1}\)を満たす\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \)における商品\(1\)の需要への自己価格弾力性は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}\cdot \frac{p_{1}}{x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) } &=&\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{p_{2}-m}{2p_{2}-p_{1}}\right) \cdot
\frac{p_{1}}{\frac{p_{2}-m}{2p_{2}-p_{1}}}\quad \because x_{i}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\frac{p_{2}-m}{\left( p_{1}-2p_{2}\right) ^{2}}\cdot \frac{p_{1}\left(
2p_{2}-p_{1}\right) }{p_{2}-m} \\
&=&\frac{p_{1}}{2p_{2}-p_{1}} \\
&>&0\quad \because 2p_{2}>2m>p_{1}
\end{eqnarray*}であるため、そのような\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)において商品\(1\)はギッフェン財です。

 

粗代替財

商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が別の商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(i\)の需要への商品\(j\)の価格の価格効果が正である場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left( p,w\right) \)において商品\(i\)は商品\(j\)の粗代替財(good \(i\) is gross substitute of good \(j\) at \(\left( p,w\right) \))であると言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格を上昇させると、商品\(i\)の需要が増加することを意味します。言い換えると、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格を下落させると、商品\(i\)の需要が減少することを意味します。

商品\(i\)が商品\(j\)の粗代替財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(i\)が商品\(j\)の粗代替財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(i\)を商品\(j\)の粗代替財(gross substitute)と呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格だけを上昇させると、商品\(i\)の需要が増加することを意味します。言い換えると、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格だけを下落させると、商品\(i\)の需要が減少することを意味します。数学的には、これは商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }\)が変数\(p_{j}\)に関して狭義の単調増加関数であることを意味します。

例(粗代替財)
通常、肉の価格が上昇すれば魚の需要が増加するため、魚は肉の粗代替財です。また、バターの価格が上昇すればマーガリンの需要が増加するため、バターはマーガリンの粗代替財です。加えて、ビールの価格が上昇すれば発泡酒の需要が増加するため、発泡酒はビールの粗代替財です。

例(粗代替財)
\(2\)財モデルにおいて商品\(1\)の需要関数\(x_{1}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{m}{p_{1}} & \left( if\ p_{1}<p_{2}-m\right) \\
\frac{p_{2}}{p_{1}}-1 & \left( if\ p_{2}-m\leq p_{1}\leq p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(p_{2}-m<p_{1}<p_{2}\)を満たす\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \)における商品\(1\)の需要への商品\(2\)の価格の交差価格効果は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}-1\right) \quad
\because x_{1}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{p_{1}} \\
&>&0
\end{eqnarray*}であるため、そのような\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)において商品\(1\)は商品\(2\)の粗代替財です。

ある商品が別の商品の粗代替財であることは需要の交差価格弾力性を用いて以下のように表現できます。

命題(需要の価格弾力性を用いた粗代替財の定義)
商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとるとともに、別の商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるものとする。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\varepsilon _{ij}\left( p,w\right) >0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left( p,w\right) \)において商品\(i\)が商品\(j\)の粗代替財であるための必要十分条件である。したがって、\(\varepsilon _{ij}\)が正の実数のみを値としてとることは、商品\(i\)が商品\(j\)の粗代替財であるための必要十分条件である。
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例(需要の価格弾力性を用いた粗代替財の定義)
\(2\)財モデルにおいて商品\(1\)の需要関数\(x_{1}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{m}{p_{1}} & \left( if\ p_{1}<p_{2}-m\right) \\
\frac{p_{2}}{p_{1}}-1 & \left( if\ p_{2}-m\leq p_{1}\leq p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(p_{2}-m<p_{1}<p_{2}\)を満たす\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \)における商品\(1\)の需要への商品\(2\)の価格の交差価格弾力性は、\begin{eqnarray*}\varepsilon _{12}\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{\partial x_{1}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}\cdot \frac{p_{2}}{x_{1}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},w\right) } \\
&=&\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}-1\right) \cdot
\frac{p_{2}}{\frac{p_{2}}{p_{1}}-1} \\
&=&\frac{1}{p_{1}}\cdot \frac{p_{1}p_{2}}{p_{2}-p_{1}} \\
&=&\frac{p_{2}}{p_{2}-p_{1}}\quad \because p_{2}-m<p_{1}<p_{2} \\
&>&0
\end{eqnarray*}であるため、そのような\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)において商品\(1\)は商品\(2\)の粗代替財です。

 

粗補完財

商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が別の商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(i\)の需要への商品\(j\)の価格の価格効果が負である場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}<0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left( p,w\right) \)において商品\(i\)は商品\(j\)の粗補完財(good \(i\) is gross complement of good \(j\) at \(\left( p,w\right) \))であると言います。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格だけを上昇させると、商品\(i\)の需要が減少することを意味します。言い換えると、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格を下落させると、商品\(i\)の需要が増加することを意味します。

商品\(i\)が商品\(j\)の粗補完財であるかどうかは\(\left( p,w\right) \)の水準によって変化し得ます。一方、任意の\(\left( p,w\right) \)において商品\(i\)が商品\(j\)の粗補完財である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}<0
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(i\)を商品\(j\)の粗補完財(gross complement)と呼びます。これは、消費者による効用最大化を前提とした場合に、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格だけを上昇させると、商品\(i\)の需要が減少することを意味します。言い換えると、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格だけを下落させると、商品\(i\)の需要が増加することを意味します。数学的には、これは商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }\)が変数\(p_{j}\)に関して狭義の単調減少関数であることを意味します。

例(粗補完財)
通常、ガソリンの価格が上昇すればガソリン車の需要が減少するため、ガソリン車はガソリンの粗補完財です。また、フィルムの価格が上昇すればフィルムカメラの需要が減少するため、フィルムカメラはフィルムの粗補完財です。

例(粗補完財)
\(2\)財モデルにおいて商品\(1\)の需要関数\(x_{1}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w}{p_{1}+p_{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における商品\(1\)の需要への商品\(2\)の価格の交差価格効果は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{w}{p_{1}+p_{2}}\right) \quad
\because x_{1}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&-\frac{w}{\left( p_{1}+p_{2}\right) ^{2}} \\
&<&0
\end{eqnarray*}であるため、そのような\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)において商品\(1\)は商品\(2\)の粗補完財です。

ある商品が別の商品の粗補完財であることは需要の交差価格弾力性を用いて以下のように表現できます。

命題(需要の価格弾力性を用いた粗補完財の定義)
商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は正の実数を値としてとるとともに、別の商品\(j\)の\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるものとする。このとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\varepsilon _{ij}\left( p,w\right) <0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left( p,w\right) \)において商品\(i\)が商品\(j\)の粗補完財であるための必要十分条件である。したがって、\(\varepsilon _{ij}\)が負の実数のみを値としてとることは、商品\(i\)が商品\(j\)の粗補完財であるための必要十分条件である。
証明

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例(需要の価格弾力性を用いた粗補完財の定義)
\(2\)財モデルにおいて商品\(1\)の需要関数\(x_{1}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w}{p_{1}+p_{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における商品\(1\)の需要への商品\(2\)の価格の交差価格弾力性は、\begin{eqnarray*}\varepsilon _{12}\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{\partial x_{1}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}\cdot \frac{p_{2}}{x_{1}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},w\right) } \\
&=&\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{w}{p_{1}+p_{2}}\right) \cdot
\frac{p_{2}}{\frac{w}{p_{1}+p_{2}}}\quad \because x_{1}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&-\frac{w}{\left( p_{1}+p_{2}\right) ^{2}}\cdot \frac{p_{2}\left(
p_{1}+p_{2}\right) }{w} \\
&=&-\frac{p_{2}}{p_{1}+p_{2}} \\
&<&0
\end{eqnarray*}であるため、そのような\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)において商品\(1\)は商品\(2\)の粗補完財です。

 

需要の価格弾力性にもとづく商品の分類

繰り返しになりますが、商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能である場合には、\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要への商品\(j\)の価格の価格弾力性を、\begin{equation*}\varepsilon _{ij}\left( p,w\right) =\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial p_{j}}\cdot \frac{p_{j}}{x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }
\end{equation*}と定義します。需要の価格弾力性の値によって商品を分類しましたが、改めて整理すると、\begin{equation*}
\left( p,w\right) \text{において商品}i\text{は}\left\{
\begin{array}{cc}
\text{普通財} & \left( if\ \varepsilon _{ii}\left(
p,w\right) <0\right) \\
\text{ギッフェン財} & \left( if\
\varepsilon _{ii}\left( p,w\right) >0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であり、\begin{equation*}
\left( p,w\right) \text{において商品}i\text{は商品}j\text{の}\left\{
\begin{array}{cc}
\text{粗代替財} & \left( if\ \varepsilon _{ij}\left(
p,w\right) >0\right) \\
\text{粗補完財} & \left( if\ \varepsilon _{ij}\left(
p,w\right) <0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。