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CONSUMER THEORY

効用最大化問題と支出最小化問題の双対性

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効用最大化問題と支出最小化問題の双対性

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、効用最大化問題に関連して、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとるとともに、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在することが保証されます。つまり、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解からなる集合\(X^{\ast }\left( p,w\right) \)は非空であるとともに、解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)を任意に選んだとき、解において消費者が得る効用が1つの実数\(v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\right) \)として定まるということです。さらに、消費者の選好\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合にはワルラスの法則\(p\cdot x^{\ast }=w\)が成立します

同様の条件のもとで、支出最小化問題に関連して、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとるとともに、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在することが保証されます。ただし、\begin{equation*}U=\{v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \}
\end{equation*}つまり、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解からなる集合\(H^{\ast }\left(p,v\right) \)は非空であるとともに、解\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) \)を任意に選んだとき、解において消費者が支払う支出が1つの実数\(e\left( p,v\right) =p\cdot x^{\ast }\)として定まるということです。加えて、解において消費者が得る効用は\(u\left( x^{\ast }\right) =v\)を満たします

以上を前提とした場合、効用最大化問題と支出最小化問題の間に一定の関係が成立することを示すことができます。具体的には、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)を任意に選んだ上で、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)を任意に選ぶと、その解において消費者は効用\(u\left( x^{\ast }\right) \)を得ます。仮に\(u\left( x^{\ast}\right) \in U\)であるならば、\(u\left( x^{\ast }\right) \)を目標効用水準とする支出最小化問題、すなわち\(\left( p,u\left(x^{\ast }\right) \right) \)のもとでの支出最小化問題を構成できるとともに、先の解\(x^{\ast }\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,u\left( x^{\ast }\right)
\right) \\
&&\left( b\right) \ w=e\left( p,u\left( x^{\ast }\right) \right)
\end{eqnarray*}を満たすことが保証されます。つまり、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\)が与えられたとき、それは価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,u\left( x^{\ast }\right) \right) \)のもとでの支出最小化問題の解でもあるとともに、そこで最小化された支出は\(w\)と一致するということです。

他方で、価格ベクトルと目標効用水準\(\left(p,v\right) \)を任意に選んだ上で、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) \)を任意に選ぶと、その解において消費者は\(p\cdot x^{\ast }\)だけ支出します。そこで、\(p\cdot x^{\ast }\)を所得とする効用最大化問題、すなわち\(\left( p,p\cdot x^{\ast }\right) \)のもとでの効用最大化問題について考えると、先の解\(x^{\ast }\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,p\cdot x^{\ast }\right)
\\
&&\left( b\right) \ v=v\left( p,p\cdot x^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}を満たすことが保証されます。つまり、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解\(x^{\ast }\)が与えられたとき、それは価格ベクトルと所得の組\(\left( p,p\cdot x^{\ast }\right) \)のもとでの効用最大化問題の解でもあるとともに、そこで最大化された効用は\(v\)と一致するということです。

命題(効用最大化問題と支出最小化問題の双対性)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性に加えて局所非飽和性を満たすものとする。この場合、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)はいずれも非空値をとるとともに、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)と支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\{v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \}
\end{equation*}である。さらに、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\right) \ x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
\left( a\right) \ x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,u\left( x^{\ast }\right)
\right) \\
\left( b\right) \ w=e\left( p,u\left( x^{\ast }\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。また、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( B\right) \ x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) \Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
\left( a\right) \ x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,p\cdot x^{\ast }\right) \\
\left( b\right) \ v=v\left( p,p\cdot x^{\ast }\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の仮定に加えて、選好関係が狭義凸性を満たす場合には需要関数補償需要関数の存在が保証されるため、上の命題を以下のように表現できます。

命題(効用最大化問題と支出最小化問題の双対性)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たすものとする。この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在するとともに、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)と支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\{v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \}
\end{equation*}である。さらに、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x^{\ast }\left( p,w\right) =h^{\ast }\left( p,u\left(
x^{\ast }\right) \right) \\
&&\left( b\right) \ w=e\left( p,u\left( x^{\ast }\right) \right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。また、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ h^{\ast }\left( p,v\right) =x^{\ast }\left( p,p\cdot
h^{\ast }\left( p,v\right) \right) \\
&&\left( d\right) \ v=v\left( p,p\cdot x^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

 

需要対応と補償需要対応の関係

先の命題を用いると、需要対応と補償需要の間に以下の関係が成り立つことが示されます。

命題(需要対応と補償需要対応の関係)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性に加えて局所非飽和性を満たすものとする。この場合、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)はいずれも非空値をとるとともに、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)と支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\{v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \}
\end{equation*}である。さらに、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( a\right) \ X^{\ast }\left( p,w\right) =H^{\ast }\left( p,v\left(
p,w\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。また、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( b\right) \ H^{\ast }\left( p,v\right) =X^{\ast }\left( p,e\left(
p,v\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の仮定に加えて、選好関係が狭義凸性を満たす場合には需要関数や補償需要関数の存在が保証されるため、上の命題を以下のように表現できます。

命題(需要関数と補償需要関数の関係)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たすものとする。この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在するとともに、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)と支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\{v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \}
\end{equation*}である。さらに、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( a\right) \ x^{\ast }\left( p,w\right) =h^{\ast }\left( p,v\left(
p,w\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。また、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( b\right) \ h^{\ast }\left( p,v\right) =x^{\ast }\left( p,e\left(
p,v\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

つまり、ある消費ベクトルが、与えられた価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解であることは、そこで最大化された効用を目標効用水準とする支出最小化問題の解であるための必要十分条件です。また、ある消費ベクトルが、与えられた価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解であることは、そこで最小化された支出に等しい所得を前提とする効用最大化問題の解であるための必要十分条件です。

 

間接効用関数と支出関数の関係

先の命題を用いると、間接効用関数と支出関数の間に以下の関係が成り立つことが示されます。

命題(間接効用関数と支出関数の関係)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性に加えて局所非飽和性を満たすものとする。この場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)と支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\{v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \}
\end{equation*}である。さらに、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( a\right) \ e\left( p,v\left( p,w\right) \right) =w
\end{equation*}が成り立つ。また、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( b\right) \ v\left( p,e\left( p,v\right) \right) =v
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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つまり、与えられた価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとで最大化された効用\(v\left( p,w\right) \)を実現する支出の最小値は\(w\)と一致します。また、与えられた価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \)のもとで最小化された支出\(e\left( p,v\right) \)に等しい所得のもとで実現可能な効用の最大値は\(v\)と一致します。

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