効用最大化問題と支出最小化問題の双対性

消費者の選好が消費集合$\mathbb{R} _{+}^{N}$上の選好関係$\succsim $として表現されているとともに、$\succsim $は合理性と連続性の仮定を満たすものとします。この場合、$\succsim $を表現する連続な効用関数$u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} $が存在します。加えて、消費者が直面する経済的制約が予算対応$B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X$として表現されているものとします。価格ベクトルと所得$\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}$に直面した消費者が解くべき効用最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}すなわち、

$$\begin{array}{cl}\max\limits_{x\in \mathbb{R} ^{N}} & u\left( x\right) \\
s.t. & p\cdot x\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
として定式化されます。以上の仮定のもとでは、需要対応$X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}$は非空値をとるとともに、間接効用関数$v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} $が存在することが保証されます。つまり、価格ベクトルと所得$\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}$を任意に選んだとき、$\left( p,w\right) $のもとでの効用最大化問題の解からなる集合\begin{equation*}X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall
y\in B\left( p,w\right) :u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\}
\end{equation*}は非空になることが保証されるとともに、効用最大化問題の解$x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) $を任意に選んだとき、その解において消費者が得る効用\begin{equation*}v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。加えて、選好関係$\succsim $が局所非飽和性を満たす場合にはワルラスの法則\begin{equation*}p\cdot x^{\ast }=w
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、効用最大化問題の解において消費者は所得を使い切ることが保証されます。

同様の仮定のもとで、価格ベクトルと目標効用$\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U$に直面した消費者が解くべき支出最小化問題は、以下のような制約付き最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ p\cdot x\quad \text{s.t.}\quad u\left( x\right) \geq v
\end{equation*}すなわち、

$$\begin{array}{cl}\min\limits_{x\in \mathbb{R} ^{N}} & p\cdot x \\
s.t. & u\left( x\right) \geq v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
として定式化されます。ただし、$U$は目標効用がとり得る値からなる集合であり、\begin{equation*}U=\{v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \}
\end{equation*}です。以上の仮定のもとでは、補償需要対応$H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}$は非空値をとるとともに、支出関数$e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} $が存在することが保証されます。つまり、価格ベクトルと目標効用$\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U$を任意に選んだとき、$\left( p,v\right) $のもとでの支出最小化問題の解からなる集合\begin{equation*}H^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ u\left( x\right) \geq v\wedge \forall y\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ u\left( y\right) \geq v\Rightarrow p\cdot y\geq p\cdot x\right] \right\}
\end{equation*}は非空になることが保証されるとともに、支出最小化問題の解$x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) $を任意に選んだとき、その解において消費者が直面する支出\begin{equation*}e\left( p,v\right) =p\cdot x^{\ast }
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。加えて、\begin{equation*}
u\left( x^{\ast }\right) =v
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、支出最小化問題の解において消費者は目標効用に等しい効用を得ることが保証されます。

以上の仮定を認めた場合、効用最大化問題と支出最小化問題の間に一定の関係が成立することを示すことができます。まず、価格ベクトルと所得$\left( p,w\right) $を任意に選んだ上で、$\left( p,w\right) $のもとでの効用最大化問題の解$x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) $を任意に選ぶと、その解において消費者は効用$u\left( x^{\ast }\right) $を得ます。仮に$u\left( x^{\ast }\right) \in U$であるならば、$u\left( x^{\ast }\right) $を目標効用とする支出最小化問題、すなわち$\left( p,u\left( x^{\ast }\right) \right) $のもとでの支出最小化問題を構成できるとともに、先の効用最大化問題の解$x^{\ast }$は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,u\left( x^{\ast }\right)
\right) \\
&&\left( b\right) \ w=e\left( p,u\left( x^{\ast }\right) \right)
\end{eqnarray*}を満たすことが保証されます。つまり、価格ベクトルと所得の組$\left( p,w\right) $のもとでの効用最大化問題の解$x^{\ast }$が与えられたとき、それは価格ベクトルと目標効用$\left( p,u\left( x^{\ast}\right) \right) $のもとでの支出最小化問題の解になるとともに、その解において消費者が直面する支出は$w$と一致するということです。

逆に、価格ベクトルと目標効用$\left( p,v\right) $を任意に選んだ上で、$\left(p,v\right) $のもとでの支出最小化問題の解$x^{\ast }\in H^{\ast}\left( p,v\right) $を任意に選ぶと、その解において消費者は$p\cdot x^{\ast }$だけ支出します。そこで、$p\cdot x^{\ast }$を所得とする効用最大化問題、すなわち$\left( p,p\cdot x^{\ast }\right) $のもとでの効用最大化問題を構成すると、先の支出最小化問題の解$x^{\ast }$は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,p\cdot x^{\ast }\right)
\\
&&\left( b\right) \ v=v\left( p,p\cdot x^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}を満たすことが保証されます。つまり、価格ベクトルと目標効用$\left( p,v\right) $のもとでの支出最小化問題の解$x^{\ast }$が与えられたとき、それは価格ベクトルと所得$\left( p,p\cdot x^{\ast }\right) $のもとでの効用最大化問題の解になるとともに、その解において消費者が得る効用は$v$と一致するということです。

命題（効用最大化問題と支出最小化問題の双対性）

消費集合$\mathbb{R} _{+}^{N}$上の選好関係$\succsim $が合理性と連続性に加えて局所非飽和性を満たすものとする。この場合、需要対応$X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}$と補償需要対応$H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}$はいずれも非空値をとるとともに、間接効用関数$v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} $と支出関数$e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} $が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\{v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \}
\end{equation*}である。以上の条件のもとでは、価格ベクトルと所得$\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}$を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\right) \ x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
\left( a\right) \ x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,u\left( x^{\ast }\right)
\right) \\
\left( b\right) \ w=e\left( p,u\left( x^{\ast }\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。また、価格ベクトルと目標効用$\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U$を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( B\right) \ x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) \Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
\left( a\right) \ x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,p\cdot x^{\ast }\right) \\
\left( b\right) \ v=v\left( p,p\cdot x^{\ast }\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の仮定に加えて、選好関係が狭義凸性を満たす場合には需要関数や補償需要関数の存在が保証されるため、上の命題を以下のように表現できます。

命題（効用最大化問題と支出最小化問題の双対性）

消費集合$\mathbb{R} _{+}^{N}$上の選好関係$\succsim $が合理性と連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たすものとする。この場合、需要関数$x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}$と補償需要関数$h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}$が存在するとともに、間接効用関数$v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} $と支出関数$e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} $が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\{v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \}
\end{equation*}である。以上の条件のもとでは、価格ベクトルと所得$\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}$を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x^{\ast }\left( p,w\right) =h^{\ast }\left( p,u\left(
x^{\ast }\left( p,w\right) \right) \right) \\
&&\left( b\right) \ w=e\left( p,u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。また、価格ベクトルと目標効用$\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U$を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ h^{\ast }\left( p,v\right) =x^{\ast }\left( p,p\cdot
h^{\ast }\left( p,v\right) \right) \\
&&\left( d\right) \ v=v\left( p,p\cdot h^{\ast }\left( p,v\right) \right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

例（効用最大化問題と支出最小化問題の双対性）

2財モデルにおいて、消費集合$\mathbb{R} _{+}^{2}$上の選好関係$\succsim $を表す効用関数$u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} $はそれぞれの$\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}$に対して、\begin{equation}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。この場合、需要関数$x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}$が存在して、これはそれぞれの$\left( p_{1},p_{2},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}$に対して、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。また、間接効用関数$v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} $はそれぞれの$\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}$に対して、\begin{equation}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}} \quad \cdots (3)
\end{equation}を定めます。同時に、補償需要関数$h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}$が存在して、これはそれぞれの$\left( p_{1},p_{2},v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U$に対して、\begin{equation}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}} \\
\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}v\right) ^{\frac{1}{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}を定めます。また、支出関数$e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} $が存在して、これはそれぞれの$\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U$に対して、\begin{equation}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{1}{2}}
\quad \cdots (5)
\end{equation}を定めます。ただし、$u\left( 0,0\right) =0$であるため、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}です。さて、価格ベクトルと所得$\left( p_{1},p_{2},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}$を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},u\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\right) \right) &=&h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) \cdot x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right)
\quad \because \left( 1\right) \\
&=&h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},\frac{w}{2p_{1}}\cdot \frac{w}{2p_{2}}\right)
\quad \because \left( 2\right) \\
&=&h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}\cdot \frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}} \\
\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}\cdot \frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}\end{array}\right) \quad \because \left( 4\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \\
&=&x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
e\left( p_{1},p_{2},u\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right)
\right) &=&e\left( p_{1},p_{2},x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\cdot x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) \quad \because \left(
1\right) \\
&=&e\left( p_{1},p_{2},\frac{w}{2p_{1}}\cdot \frac{w}{2p_{2}}\right) \quad
\because \left( 2\right) \\
&=&e\left( p_{1},p_{2},\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right) \\
&=&2\left( p_{1}p_{2}\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad
\because \left( 5\right) \\
&=&w
\end{eqnarray*}となりますが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。逆に、価格ベクトルと目標効用$\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U$を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},\left( p_{1},p_{2}\right) \cdot h^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},v\right) \right) &=&x^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},p_{1}h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) +p_{2}h_{2}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) \\
&=&x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{1}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}}+p_{2}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}v\right) ^{\frac{1}{2}}\right)
\quad \because \left( 4\right) \\
&=&x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{1}{2}}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{1}{2}}\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{1}{2}}\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{1}{2}}}{2p_{1}} \\
\frac{2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{1}{2}}}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \quad \because \left( 4\right)
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
v\left( p_{1},p_{2},\left( p_{1},p_{2}\right) \cdot h^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},v\right) \right) &=&v\left( p_{1},p_{2},p_{1}h_{1}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},v\right) +p_{2}h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\right) \\
&=&v\left( p_{1},p_{2},p_{1}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}}+p_{2}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}v\right) ^{\frac{1}{2}}\right) \quad
\because \left( 4\right) \\
&=&v\left( p_{1},p_{2},2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{1}{2}}\right) \\
&=&\frac{\left[ 2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{1}{2}}\right] ^{2}}{4p_{1}p_{2}}\quad \because \left( 3\right) \\
&=&v
\end{eqnarray*}となりますが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

需要対応と補償需要対応の関係

先の命題を用いると、需要対応と補償需要の間に以下の関係が成り立つことが示されます。

命題（需要対応と補償需要対応の関係）

消費集合$\mathbb{R} _{+}^{N}$上の選好関係$\succsim $が合理性と連続性に加えて局所非飽和性を満たすものとする。この場合、需要対応$X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}$と補償需要対応$H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}$はいずれも非空値をとるとともに、間接効用関数$v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} $と支出関数$e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} $が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\{v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \}
\end{equation*}である。以上の条件のもとでは、価格ベクトルと所得$\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}$を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( a\right) \ X^{\ast }\left( p,w\right) =H^{\ast }\left( p,v\left(
p,w\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。また、価格ベクトルと目標効用$\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U$を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( b\right) \ H^{\ast }\left( p,v\right) =X^{\ast }\left( p,e\left(
p,v\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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命題（需要関数と補償需要関数の関係）

消費集合$\mathbb{R} _{+}^{N}$上の選好関係$\succsim $が合理性と連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たすものとする。この場合、需要関数$x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}$と補償需要関数$h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}$が存在するとともに、間接効用関数$v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} $と支出関数$e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} $が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\{v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \}
\end{equation*}である。以上の条件のもとでは、価格ベクトルと所得$\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}$を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( a\right) \ x^{\ast }\left( p,w\right) =h^{\ast }\left( p,v\left(
p,w\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。また、価格ベクトルと目標効用$\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U$を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( b\right) \ h^{\ast }\left( p,v\right) =x^{\ast }\left( p,e\left(
p,v\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

つまり、ある消費ベクトル$x^{\ast }$が価格ベクトルと所得$\left( p,w\right) $のもとでの効用最大化問題の解であることと、その消費ベクトル$x^{\ast }$が最大化された効用$v\left( p,w\right) $を目標効用とする$\left( p,v\left( p,w\right) \right) $のもとでの支出最小化問題の解であることは必要十分です。また、ある消費ベクトル$h^{\ast }$が価格ベクトルと目標効用$\left( p,v\right) $のもとでの支出最小化問題の解であることと、その消費ベクトル$h^{\ast }$が最小化された支出$e\left( p,v\right) $に等しい所得を前提とする$\left( p,e\left( p,v\right) \right) $のもとでの効用最大化問題の解であることは必要十分です。

間接効用関数と支出関数の関係

先の命題を用いると、間接効用関数と支出関数の間に以下の関係が成り立つことが示されます。

命題（間接効用関数と支出関数の関係）

消費集合$\mathbb{R} _{+}^{N}$上の選好関係$\succsim $が合理性と連続性に加えて局所非飽和性を満たすものとする。この場合、間接効用関数$v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} $と支出関数$e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} $が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\{v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \}
\end{equation*}である。以上の条件のもとでは、価格ベクトルと所得$\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}$を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( a\right) \ e\left( p,v\left( p,w\right) \right) =w
\end{equation*}が成り立つ。また、価格ベクトルと目標効用$\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U$を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( b\right) \ v\left( p,e\left( p,v\right) \right) =v
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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つまり、与えられた価格ベクトルと所得$\left( p,w\right) $のもとで最大化された効用$v\left( p,w\right) $を実現する支出の最小値は$w$と一致します。また、与えられた価格ベクトルと目標効用$\left( p,v\right) $のもとで最小化された支出$e\left( p,v\right) $に等しい所得のもとで実現可能な効用の最大値は$v$と一致します。

以上の命題を用いると、間接効用関数から支出関数を導いたり、逆に支出関数から間接効用関数を導くことができます。具体的には、間接効用関数$v\left( p,w\right) $が明らかである場合、先の命題より、\begin{equation*}v\left( p,e\left( p,v\right) \right) =v
\end{equation*}という関係が成り立つため、\begin{equation*}
v\left( p,w\right) =v
\end{equation*}とおいた上でこれを$w$について解けば支出関数$e\left( p,v\right) $が得られます。逆に、支出関数$e\left( p,v\right) $が明らかである場合、先の命題より、\begin{equation*}e\left( p,v\left( p,w\right) \right) =w
\end{equation*}という関係が成り立つため、\begin{equation*}
e\left( p,v\right) =w
\end{equation*}とおいた上でこれを$v$について解けば間接効用関数$v\left( p,w\right) $が得られます。

例（間接効用関数と支出関数の関係）

演習問題

問題（効用最大化問題と支出最小化問題の双対性）

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消費者理論

効用最大化問題と支出最小化問題の双対性

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