支出最小化問題の内点解
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u\)が存在し、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)のもとでの支出最小化問題に解が存在することが保証されるとともに、その解において消費者は目標水準\(v\)に等しい効用を得ます。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。以上を踏まえると、このような場合、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & p\cdot x \\
s.t. & u\left( x\right) =v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
と定式化されます。この問題に最適解\(x^{\ast }\)が存在する場合、それは消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の内点すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合と、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点すなわち\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合の2通りが起こり得ます。特に、最適解\(x^{\ast }\)が内点解（interior solution）である場合、すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合には、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ u\left( x^{\ast }\right) =v \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast }>0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。条件\(\left( a\right) \)は最適解\(x^{\ast }\)において目標水準\(v\)に等しい効用を得ることを意味し、条件\(\left( b\right) \)は最適解\(x^{\ast }\)においてすべての商品の補償需要が正の実数であることを意味します。
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\left( 0,0\right) =0\)であるため、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}です。このとき補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v} \\
\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます（確認してください）。\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}u\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) &=&h_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},v\right) \cdot h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \quad
\because u\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}\cdot \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&v
\end{eqnarray*}となるため補償需要\(h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \)において目標効用\(v\)に等しい効用を得ています。さらに、\begin{eqnarray*}h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}>0 \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}>0
\end{eqnarray*}が成り立つため\(h^{\ast }\left(p_{1},p_{2},v\right) \)は内点解です。
支出最小化問題の内点解であるための必要条件
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとります。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。さらに、\(u\)は\(C^{1}\)級であるものとします。加えて、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだときに、\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right)^{{}}\)に対して、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( x^{\ast
}\right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つのであれば、それに対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ p\geq \lambda ^{\ast }\nabla u\left( x^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ \lambda _{0}^{\ast }\left[ u\left( x^{\ast }\right) -v\right] =0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ p-\lambda ^{\ast }\nabla u\left( x^{\ast }\right) \right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。ただし、補償需要において消費者は目標効用\(v\)に等しい効用を得ます。つまり、\begin{equation*}u\left( x^{\ast }\right) =v
\end{equation*}であるため\(\left( B\right) \)が成立します。さらに、\(x^{\ast }\)が内点解である場合には任意の商品\(i\)について\(x_{i}^{\ast }>0\)となるため、\(\left( C\right) \)より、\begin{equation*}p=\lambda ^{\ast }\nabla u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}を得ます。このとき\(\left( A\right) \)は等号で成立します。したがって以下の命題を得ます。
\end{equation*}である。さらに、\(u\)は\(C^{1}\)級であるものとする。加えて、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだときに、内点解\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) ^{{}}\)に対して、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( x^{\ast
}\right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つのであれば、それに対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ p=\lambda ^{\ast }\nabla u\left( x^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ u\left( x^{\ast }\right) =v \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\left( 0,0\right) =0\)であるため、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}です。このとき補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v} \\
\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。先に確認したようにこれは内点解であるとともに先の命題中の条件\(\left( B\right) \)を満たします。さらに、\begin{eqnarray*}\nabla u\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) &=&\left( \frac{\partial u\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) }{\partial
x_{1}},\frac{\partial u\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) }{\partial x_{2}}\right) \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left( \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v},\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}\right)
\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となりますが、このとき、\begin{equation*}
\left( p_{1},p_{2}\right) =\sqrt{\frac{p_{1}p_{2}}{v}}\left( \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v},\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( p_{1},p_{2}\right) =\sqrt{\frac{p_{1}p_{2}}{v}}\nabla u\left( h^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},v\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }=\sqrt{\frac{p_{1}p_{2}}{v}}>0
\end{equation*}とおくことにより条件\(\left( A\right) ,\left( C\right) \)が満たされます。この結果は先の命題の主張と整合的です。
限界代替率と相対価格にもとづく内点解の解釈
先の命題より、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の内点解\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) \)において、\begin{equation}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( x^{\ast
}\right) }{\partial x_{i}}\not=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合、\begin{equation*}
p=\lambda ^{\ast }\nabla u\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\geq 0\)が存在します。つまり、任意の商品\(i\)について、\begin{equation*}p_{i}=\lambda ^{\ast }\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial
x_{i}}
\end{equation*}が成り立ちますが、\(\left( 1\right) \)ゆえに、\begin{equation*}\frac{p_{i}}{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}=\lambda ^{\ast }
\end{equation*}と変形可能です。2つの商品\(i,j\)を任意に選んだときに同様の議論が成立するため、\begin{equation*}\frac{p_{i}}{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}=\frac{p_{j}}{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}=\lambda ^{\ast }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\frac{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}=\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって以下の命題を得ます。
\end{equation*}である。さらに、\(u\)は\(C^{1}\)級であるものとする。加えて、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだときに、内点解\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) ^{{}}\)に対して、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( x^{\ast
}\right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つのであれば、任意の商品\(i,j\in \left\{1,\cdots ,N\right\} \)について、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\left( 0,0\right) =0\)であるため、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}です。このとき補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v} \\
\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。先に確認したようにこれは内点解です。この内点解において、\begin{eqnarray*}
MRS_{xy}\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) &=&\frac{\frac{\partial u\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) }{\partial x}}{\frac{\partial u\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) }{\partial y}}\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}}{\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}}\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}}{\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}} \\
&=&\frac{v}{\frac{p_{2}}{p_{1}}v} \\
&=&\frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
先の命題は、支出最小化問題の内点解\(x^{\ast }\)において任意の2つの商品\(i,j\)の間の限界代替率\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が一致すること、すなわち、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立つことを主張していますが、これにはどのような意味があるのでしょうか。限界代替率と限界効用の間には、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{MU_{i}\left( x^{\ast }\right) }{MU_{j}\left( x^{\ast }\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つため、先の条件を、\begin{equation*}
\frac{MU_{i}\left( x^{\ast }\right) }{MU_{j}\left( x^{\ast }\right) }=\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}さらには、\begin{equation*}
\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x^{\ast }\right) }=\frac{p_{j}}{MU_{j}\left(
x^{\ast }\right) }
\end{equation*}と言い換えることができます。これにはどのような意味があるのでしょうか。
消費ベクトル\(x\)における商品\(i\)の限界効用が\(MU_{i}\left( x\right) \)であることとは、\(x\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)単位増加させると消費者が得る効用が\(MU_{i}\left(x\right) \)だけ変化することを意味します。商品\(i\)の価格は\(p_{i}\)であるため、商品\(i\)の消費量を\(1 \)単位追加させるためには\(p_{i}\)単位の追加的な支出が必要です。つまり、\(x\)を出発点として商品\(i\)への支出を\(p_{i}\)単位だけ増やせば\(MU_{i}\left( x\right) \)単位の追加的な効用が得られるということです。比例関係よりこれは、\(x\)を出発点として商品\(i\)への支出を\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }\)単位だけ増やせば\(1\)単位の追加的な効用を得られることを意味します。\(1\)単位の効用を得るためのコストを商品\(i\)への支出額で測ったものが\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left(x\right) }\)であるということです。
消費ベクトル\(x\)において\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }<\frac{p_{j}}{MU_{j}\left(x\right) }\)が成り立つ場合について考えます。この場合、\(x\)を出発点として商品\(j\)への支出額を\(\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }\)だけ減らすと効用が\(1\)単位減少しますが、減らした分の所得のうちの\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }\)を商品\(i\)への支出に振り分けることにより効用が\(1\)単位増加するため、以上のような取引の前後において得られる効用は一定です。ただ、\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }<\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }\)という関係が成り立つため、このような取引によって支出額を\(\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }-\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }>0\)だけ節約できます。つまり、より少ない支出によって同一の効用水準を維持できるため、支出最小化の仮定のもと、消費者はこのような取引を行います。限界代替率逓減の法則が成り立つ場合、商品\(j\)の消費量\(x_{j}\)が減少して商品\(i\)の消費量が増加すると\(MRS_{ij}\left(x\right) \)が小さくなるため、先の取引の結果、\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }\)と\(\frac{p_{j}}{MU_{j}\left(x\right) }\)の差が縮小します。
逆に、\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }>\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }\)が成り立つ場合、上の議論において商品\(i\)と商品\(j\)の立場を入れ替えた議論がそのまま成立します。つまり、この場合、商品\(i\)への支出額を\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }\)だけ減らし、減らした分の所得のうちの\(\frac{p_{j}}{MU_{j}\left(x\right) }\)を商品\(j\)への支出に振り分けることにより、得られる効用水準は一定のまま、支出を\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }-\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }>0\)だけ節約できます。限界効用逓減の法則が成り立つ場合、商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)が減少して商品\(j\)の消費量が増加すると\(MRS_{ij}\left( x\right) \)が大きくなるため、先の取引の結果、\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }\)と\(\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }\)の差が縮小します。
同様の議論は任意の商品\(i,j\)の間に成立します。その結果、最終的には、任意の商品\(i,j\)について\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x^{\ast }\right) }=\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x^{\ast }\right) }\)すなわち\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成立するような消費ベクトル\(x^{\ast }\)が主体的均衡になります。支出最小化問題の内点解\(x^{\ast }\)において任意の2つの商品\(i,j\)の間の限界代替率\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が一致することの背景にはこのようなメカニズムがあります。
支出最小化問題の内点解の幾何学的解釈
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、狭義凸性を満たす場合には、\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u\)や、連続な補償需要関数\(h^{\ast }\)が存在するとともに超過効用は発生しません。したがって、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \)における補償需要\(h^{\ast}\left( p_{1},p_{2},v\right) \)が内点解であるならば、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ h_{i}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) >0\quad \left(
i=1,2\right) \\
&&\left( b\right) \ u\left( h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
,h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) =v \\
&&\left( c\right) \ MRS_{12}\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\right) =\frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
上図中の点\(h^{\ast }\)は消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の内点であるため、先の条件\(\left( a\right) \)を満たします。上図のグレーの領域が目標効用水準\(v\)以上の効用をもたらす消費ベクトルからなる集合、すなわち\(u\left( x_{1},x_{2}\right) \geq v\)を満たす\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)からなる集合ですが、点\(h^{\ast }\)はその境界である効用\(v\)に対応する無差別集合上の点であるため、先の条件\(\left( b\right) \)が満たされます。また、\(MRS_{12}\left( h^{\ast }\right) \)は無差別曲線\(I\left( h^{\ast }\right) \)上の点\(h^{\ast }\)における接線の傾きの絶対値に相当し、価格比\(\frac{p_{1}}{p_{2}}\)は予算線の傾きの絶対値に相当します。上図中の点\(h^{\ast }\)において無差別曲線\(I\left( h^{\ast }\right) \)と傾き\(\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の予算線が接しているため、点\(h^{\ast }\)は先の条件\(\left( c\right) \)を満たします。したがって、上図の点\(h^{\ast }\)は支出最小化問題の内点解を図示したものになっています。
演習問題
\end{equation*}を定める場合、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}}v \\
\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}}v\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{++}^{2}\right) \ |\ v>u\left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}です。このとき、\begin{equation*}
MRS_{12}\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) =\frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{equation*}が成り立つことを確認してください。
次回は支出最小化問題の端点解について解説します。
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