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消費者理論

準線型効用関数のもとでの支出最小化

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準線型効用関数のもとでの支出最小化問題

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の消費者の選好が準線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(u\)がそれぞれの消費ベクトル\(x=\left(x_{i},x_{-i}\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、ある関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}u\left( x\right) &=&x_{i}+v\left( x_{-i}\right) \\
&=&x_{i}+v\left( x_{1},\cdots x_{i-1},x_{i+1},\cdots ,x_{N}\right)
\end{eqnarray*}と表されるということです。つまり、消費ベクトル\(x\)から得られる効用が、商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)と他の商品の消費\(x_{-i}\)から得られる効用\(v\left( x_{-i}\right) \)の和として表されるということです。この場合、商品\(i\)をニュメレールと呼びます。

準線型効用関数\(u\)が与えられたとき、支出最小化問題において目標として設定する効用\(v\)が、\begin{eqnarray*}v &=&u\left( 0\right) \\
&=&0+v\left( 0\right) \\
&=&v\left( 0\right)
\end{eqnarray*}である場合、価格ベクトル\(p\)がいかなるものであっても、ゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が明らかに\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出問題の解です。そこで以降では、支出最小化問題において目標として設定し得る効用水準からなる集合を、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>v\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}と定めます。この場合、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left(p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)のもとでの支出最小化問題は、

$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}} & p\cdot w \\
s.t. & x_{i}+v\left( x_{-i}\right) \geq v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$

と定式化されます。

例(準線型効用関数のもとでの支出最小化問題)
2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が商品\(1\)に関する準線型効用関数であることとは、関数\(v:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+v\left( x_{2}\right)
\end{equation*}を定めることを意味します。価格ベクトルと目標効用\(\left( p_{1},p_{2},v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)のもとでの支出最小化問題は、

$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{N}} & p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} \\
s.t. & x_{1}+v\left( x_{2}\right) \geq v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0\end{array}$$

となります。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \ |\ v>v\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。

 

準線型効用関数のもとでの補償需要関数

消費者の選好が準線型効用関数\(u\left( x\right) =x_{i}+v\left(x_{-i}\right) \)として表されるものとします。\(v\)が連続関数である場合には\(u\)もまた連続関数であるため、支出最小化問題に解が存在します。加えて、\(v\)が\(C^{1}\)級の凹関数であるものとします。この場合、\(u\)もまた\(C^{1}\)級の凹関数となるため、目標効用\(v\in U\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists x\in \mathbb{R} _{++}^{N}:u\left( x\right) >v
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R} _{++}^{N}:x_{i}+v\left( x_{-i}\right) >v
\end{equation*}が成り立つ場合にはスレーター条件が満たされるため、クーン・タッカー条件を満たす消費ベクトルが支出最小化問題の解になります。

以上の方針のもとで問題を解くと以下を得ます。

命題(準線型効用関数のもとでの支出最小化問題の解)
商品\(i\)に関する準線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =x_{i}+v\left( x_{-i}\right)
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(C^{1}\)級の凹関数であるとともに、\begin{equation*}\forall v\in U,\ \exists x\in \mathbb{R} _{++}^{N}:x_{i}+v\left( x_{-i}\right) >v
\end{equation*}が成り立つものとする。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>v\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。この場合、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化効用最大化問題の解\(x^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在するとともに、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ p_{i}\geq \lambda ^{\ast }>0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial v\left( x_{-i}^{\ast }\right) }{\partial
x_{j}}\leq \frac{p_{j}}{\lambda ^{\ast }}\quad \left( j\in \left\{ 1,\cdots
,N\right\} \backslash \left\{ i\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ v=x_{i}^{\ast }+v\left( x_{-i}^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
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例(準線型効用関数のもとでの支出最小化問題の解)
2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が商品\(1\)に関する準線型効用関数であることとは、関数\(v:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+v\left( x_{2}\right)
\end{equation*}を定めることを意味します。先の命題より、\(v\)が\(C^{1}\)級の凹関数であるならば、価格ベクトルと目標効用\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)のもとでの効用最大化問題には解\(\left(x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在するとともに、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ p_{1}\geq \lambda ^{\ast }>0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial v\left( x_{2}^{\ast }\right) }{\partial
x_{2}}\leq \frac{p_{2}}{\lambda ^{\ast }} \\
&&\left( c\right) \ v=x_{1}^{\ast }+v\left( x_{2}^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}を満たす実数\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \ |\ v>v\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。

 

準線型効用関数のもとでの支出最小化問題の内点解

特に、支出最小化問題の解が内点解である場合には以下が成り立ちます。

命題(準線型効用関数のもとでの支出最小化問題の内点解)
商品\(i\)に関する準線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =x_{i}+v\left( x_{-i}\right)
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(C^{1}\)級の凹関数であるとともに、\begin{equation*}\forall v\in U,\ \exists x\in \mathbb{R} _{++}^{N}:x_{i}+v\left( x_{-i}\right) >v
\end{equation*}が成り立つものとする。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>v\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。この場合、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化効用最大化問題の解\(x^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する。加えて、\(x^{\ast }\)が内点解であるならば、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ p_{i}=\lambda ^{\ast }>0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial v\left( x_{-i}^{\ast }\right) }{\partial
x_{j}}=\frac{p_{j}}{\lambda ^{\ast }}\quad \left( j\in \left\{ 1,\cdots
,N\right\} \backslash \left\{ i\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ v=x_{i}^{\ast }+v\left( x_{-i}^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
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例(準線型効用関数のもとでの支出最小化問題の内点解)
2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が商品\(1\)に関する準線型効用関数であることとは、関数\(v:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+v\left( x_{2}\right)
\end{equation*}を定めることを意味します。先の命題より、\(v\)が\(C^{1}\)級の凹関数であるならば、価格ベクトルと目標効用\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)のもとでの効用最大化問題には解\(\left(x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在します。特に、\(\left( x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast }\right) \)が内点解である場合には、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ p_{1}=\lambda ^{\ast }>0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial v\left( x_{2}^{\ast }\right) }{\partial
x_{2}}=\frac{p_{2}}{\lambda ^{\ast }} \\
&&\left( c\right) \ v=x_{1}^{\ast }+v\left( x_{2}^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}を満たす実数\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \ |\ v>v\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。

 

準線型効用関数のもとでの効用の限界費用

消費者の選好が準線型効用関数として表される場合、一定の条件のもとでは、支出最小化問題に解が存在することが明らかになりました。特に、内点解においてすべての商品に関する効用の限界費用は一致しますが、具体的には以下の通りです。

命題(準線型効用関数のもとでの効用の限界費用)
商品\(i\)に関する準線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =x_{i}+v\left( x_{-i}\right)
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(C^{1}\)級の凹関数であるとともに、\begin{equation*}\forall v\in U,\ \exists x\in \mathbb{R} _{++}^{N}:x_{i}+v\left( x_{-i}\right) >v
\end{equation*}が成り立つものとする。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>v\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。この場合、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化効用最大化問題の解\(x^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する。加えて、\(x^{\ast }\)が内点解であるならば、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、任意の商品\(n\in\left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に関する効用の限界費用は、\begin{equation*}\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =p_{i}
\end{equation*}で一致する。

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例(準線型効用関数のもとでの効用の限界費用)
2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が商品\(1\)に関する準線型効用関数であることとは、関数\(v:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+v\left( x_{2}\right)
\end{equation*}を定めることを意味します。先の命題より、\(v\)が\(C^{1}\)級の凹関数であるならば、価格ベクトルと目標効用\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)のもとでの効用最大化問題には解\(\left(x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在します。特に、\(\left( x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast }\right) \)が内点解である場合には、それぞれの商品に関する効用の限界費用は、\begin{equation*}\lambda ^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =p_{1}
\end{equation*}となります。

補償需要対応は商品の価格ベクトルに関して0次同次性を満たすため、支出最小化問題を考える際には、ニュメレール価格を\(1\)に基準化した価格ベクトルと目標効用\(\left( 1,p_{-i},v\right) \)だけを考察対象としても一般性は失われません。さて、先の命題より、準線型効用関数のもとでの支出最小化問題の解が内点解である場合、効用の限界費用はニュメレール価格\(p_{1}\)と一致します。特に、ニュメレール価格を\(1\)に基準化した場合、効用の限界費用は\(1\)と一致します。商品の価格が\(1\)に基準化されている場合、その商品の価格と数量は単位として等しくなります。以上の事実は、支出最小化問題の解が与えられたとき、そこを出発点に効用を限界的に増やすために必要な支出の増分はニュメレール1単位と一致することを意味します。

 

演習問題

問題(準線型効用関数のもとでの支出最小化問題)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。

  1. 支出最小化問題を定式化してください。
  2. 補償需要関数を求めてください。
  3. 支出関数関数を求めてください。
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