効用最大化問題の解が与えられたとき、そこから所得を限界的に増やして何らかの商品の支出に振り分けたときに得られる効用の増分を所得の限界効用と呼びます。所得の限界効用は間接効用関数を所得について偏微分することによっても得られます。

所得の限界効用

復習になりますが、効用最大化問題の解は以下の条件を満たします。

命題(効用最大化問題の解であるための条件)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとともに、需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow X\)は非空値をとる。さらに、\begin{equation*}
\left( c\right) \ u\text{は}C^{1}\text{級である}
\end{equation*}ならば、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\)と\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \nabla u(x^{\ast })\leq \lambda ^{\ast }p \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }(w-p\cdot x^{\ast })=0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ \nabla u\left( x^{\ast }\right) -\lambda ^{\ast }p\right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R}\)が存在する。
上の命題について復習する

上の命題中の条件\(\left( C\right) \)をより具体的に表現すると、\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{N}\left[ \left( \frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}-\lambda ^{\ast }p_{j}\right) x_{j}^{\ast }\right] =0
\end{equation*}となります。一方、条件\(\left( A\right) \)より、任意の商品\(i\)について、\begin{equation*}
\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}-\lambda ^{\ast
}p_{i}\leq 0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(x_{i}^{\ast }>0\)を満たす任意の商品\(i\)について、\begin{equation*}
\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}-\lambda ^{\ast
}p_{i}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }=\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}
\end{equation*}が成り立ちます。条件\(\left( D\right) \)より\(\lambda ^{\ast }\geq 0\)です。

上の命題中の\(x^{\ast }\)と\(\lambda ^{\ast }\)はともに\(\left( p,w\right) \)に依存するため、これらを\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)と\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)で表します。すると、以上の議論の結論は、ある\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \geq 0\)が存在して、\(x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) >0\)を満たす任意の商品\(i\in \{1,\cdots ,N\}\)について、\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left(
p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}
\end{equation*}が成り立つことと表現できます。\(x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) >0\)を満たす商品\(i\)、すなわち効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)において正の量が消費される商品を任意に選びます。商品\(i\)の価格は\(p_{i}\)であるため、所得が\(1\)単位増加すると商品\(i\)を\(\frac{1}{p_{i}}\)単位だけ購入できます。一方、\(\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\)は\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)において正の消費量を持つ商品\(i\)の限界効用であるため、それらの積に一致する\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)とは、\(\left( p,w\right) \)における効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)が与えられたとき、そこから所得を限界的に増やして商品\(i\)の支出に振り分けたときに得られる効用の増分に相当します。そのようなこともあり、\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left(
p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}
\end{equation*}を\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)に関する所得の限界効用(marginal utility of income)や所得のシャドープライス(shadow price of wealth)などと呼びます。

同様の議論は\(x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) >0\)を満たす他の任意の商品\(j\)についても成り立ちますが、その場合の所得の限界効用も\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)と一致します。つまり、効用最大化問題の解において正の量が消費される商品である限りにおいて、その中のどの商品を選んだ場合でも、所得の限界効用はすべて一致します。

例(所得の限界効用)
消費集合\( \mathbb{R} _{+}^{2}\)上の効用関数\(u: \mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}で与えられているものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left( 1,1,10\right) \)のもとでの効用最大化問題の解は、\begin{equation*}
x^{\ast }\left( 1,1,10\right) =\left( 5,5\right)
\end{equation*}です(演習問題にします)。この解\(x^{\ast }\left( 1,1,10\right) \)は内点解であり、2 つの商品はともに正の量が消費されるため、それぞれの商品に関する所得の限界効用を求めると、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( 1,1,10\right) \right) }{\partial x_{1}}\cdot \frac{1}{1} &=&5 \\
\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( 1,1,10\right) \right) }{\partial x_{2}}\cdot \frac{1}{1} &=&5
\end{eqnarray*}となりますが、確かにこれらは一致しています。つまり、\(\lambda ^{\ast }\left( 1,1,10\right) =5\)です。
例(所得の限界効用)
消費集合\( \mathbb{R} _{+}^{2}\)上の効用関数\(u: \mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}で与えられているものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left( 2,1,3\right) \)のもとでの効用最大化問題の解は、\begin{equation*}
x^{\ast }\left( 2,1,3\right) =\left( 0,3\right)
\end{equation*}です(演習問題にします)。この解\(x^{\ast }\left( 2,1,3\right) \)は端点解であり、商品 2 だけが消費されるため、\(\left( 2,1,3\right) \)における所得の限界効用は、\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }\left( 2,1,3\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left(
2,1,3\right) \right) }{\partial x_{2}}\cdot \frac{1}{1}=6
\end{equation*}となります。ちなみに、この端点解において消費されない商品 1 に関しては、\begin{equation*}
\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( 2,1,3\right) \right) }{\partial x_{1}}\cdot \frac{1}{2}=0
\end{equation*}となり、これは所得の限界効用と一致しません。

 

所得の限界効用による内点解の解釈

復習になりますが、効用最大化問題の内点解は以下の条件を満たします。

命題(効用最大化問題の内点解)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとともに、需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow X\)は非空値をとる。さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( c\right) \ \succsim \text{は局所非飽和性を満たす} \\
&&\left( d\right) \ u\text{は}C^{1}\text{級である}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\)と内点解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \nabla u\left( x^{\ast }\right) =\lambda ^{\ast }p \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R}\)が存在する。
上の命題について復習する

上の命題中の\(x^{\ast }\)と\(\lambda ^{\ast }\)はともに\(\left( p,w\right) \)に依存するため、それぞれ\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)と\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)で表記します。先の議論より、\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)は\(\left( p,w\right) \)における所得の限界効用です。また、内点解ではすべての商品が正の量消費されるため、任意の商品\(i,j\)について、\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left(
p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}=\frac{\partial
u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これにはどのような意味があるのでしょうか。

消費ベクトル\(x\)において上の条件が成り立たないものと仮定します。つまり、\begin{equation*}
\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}<\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}} \end{equation*}を満たす商品\(i,j\)が存在するということです。左辺の\(\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}\)は、\(\left( p,w\right) \)から所得を限界的に増やして商品\(i\)の支出に振り分けたときに得られる効用の増分に相当し、右辺の\(\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}}\)は、\(\left( p,w\right) \)から所得を限界的に増やして商品\(j\)の支出に振り分けたときに得られる効用の増分に相当します。したがって、上の不等式が成り立つ場合、商品\(i\)への支出を限界的に減らしてそれを商品\(j\)の支出へ回せば、消費者は効用を増やすことができます。したがって、上の不等式が成立するような消費ベクトル\(x\)は\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解ではありません。逆に、\begin{equation*} \frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}>\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立つ場合には、商品\(j\)への支出を限界的に減らしてそれを商品\(i\)の支出へ回せば効用を増やすことができるため、上の不等式が成立するような\(x\)もまた\(\left( p,w\right) \)における効用最大化問題の解ではありません。したがって、\(x\)が\(\left( p,w\right) \)における効用最大化問題の内点解であるためには、任意の商品\(i,j\)について、\begin{equation*}
\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}=\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}}
\end{equation*}という関係が成立している必要があります。しかも、この両辺の値は\(\left( p,w\right) \)における所得の限界効用\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)と一致します。

 

間接効用関数の偏微分係数としての所得の限界効用

復習になりますが、間接効用関数に関しては以下の命題が成り立ちます。

命題(間接効用関数の変化)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性、連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)、需要関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R}\)、間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R}\)が存在する。さらに、\(u,x^{\ast },v\)が\(C^{1}\)級であるものとする。このとき、関数\(L: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}_{++}^{N+1}\times \mathbb{R}_{++}\rightarrow \mathbb{R}\)を、\begin{equation*}
L\left( x,\lambda ,p,w\right) =u\left( x\right) +\lambda \left[ w-p\cdot x\right] \end{equation*}と定義すると、\begin{align*}
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}& =-\lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \quad \left(
i=1,\cdots ,N\right) \\
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}& =\lambda ^{\ast }\left(
p,w\right)
\end{align*}が成り立つ。
上の命題について復習する

上の命題中のラグランジュ乗数\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)について議論を深めましょう。間接効用関数\(v\)が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)に対して定める値\(v\left( p,w\right) \)は、\(\left( p,w\right) \)において消費者が達成し得る効用の最大値です。したがって、\(\left( p,w\right) \)における偏微分係数\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}\)は、\(\left( p,w\right) \)を基準に所得が限界的に増加した場合の最大化された効用の増分を表します。

ラグランジュ乗数\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)は\(\left( p,w\right) \)における所得の限界効用と同じ記号を用いて表記されていますが、実際、これは\(\left( p,w\right) \)における所得の限界効用と一致します。そのことを示すために、\(\left( p,w\right) \)における需要が正であるような商品からなる集合を、\begin{equation*}
A=\{i\in \{1,\cdots ,N\}\ |\ x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \not=0\}
\end{equation*}とおきます。所得の限界効用\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)の定義より、任意の\(i\in A\)について、\begin{equation}
\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left(
p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}} \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。選好\(\succsim \)は局所非飽和性を満たすため、需要関数\(x^{\ast }\)はワルラスの法則\begin{equation*}
p\cdot x^{\ast }\left( p,w\right) =0
\end{equation*}を満たしますが、\(A\)に属さない任意の商品の需要は\(0\)であるため、上の式は、\begin{equation*}
\sum_{i\in A}\left[ p_{i}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \right] =w
\end{equation*}と言い換え可能です。両辺を\(w\)について偏微分すると、エンゲル集計に相当する以下の関係\begin{equation}
\sum_{i\in A}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
}{\partial w}\right] =1 \tag{2}
\end{equation}を得ます。一方、間接効用関数\(v\)の点\(\left( p,w\right) \)における\(w\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w} &=&\frac{\partial u\left(
x^{\ast }\left( p,w\right) \right) }{\partial w}\quad \because v\text{の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{L}\left[ \frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p,w\right)
\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
}{\partial w}\right] \\
&=&\sum_{i\in A}\left[ \frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p,w\right)
\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
}{\partial w}\right] \quad \because i\not\in A\text{について}x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =0 \\
&=&\sum_{i\in A}\left[ \lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \cdot p_{i}\cdot
\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\right] \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \sum_{i\in A}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\right] \\
&=&\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、目的が達成されました。

結論をまとめておきましょう。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)において需要\(x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \)が正になるような商品\(i\)を任意に選べば、そこから、\(\left( p,w\right) \)における所得の限界効用を、\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left(
p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}
\end{equation*}として得ることができます。これは、\(\left( p,w\right) \)における効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)が与えられたとき、そこから所得を限界的に増やして商品\(i\)の支出に振り分けたときに得られる効用の増分に相当します。もしくは、間接効用関数\(v\)が与えられている場合には、点\(\left( p,w\right) \)における\(w\)に関する偏微分係数\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}
\end{equation*}を求めれば、それもまた\(\left( p,w\right) \)における所得の限界効用と一致します。これは、\(\left( p,w\right) \)を基準に所得が限界的に増加した場合の最大化された効用の増分に相当します。

次回から支出最小化問題について解説します。

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