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CONSUMER THEORY

所得の限界効用

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所得の限界効用

復習になりますが、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとります。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)と\(x^{\ast }\left( p,w\right) \in X\left( p,w\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \nabla u(x^{\ast }\left( p,w\right) )\leq \lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \cdot p \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \cdot (w-p\cdot
x^{\ast }\left( p,w\right) )=0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ \nabla u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
-\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \cdot p\right] \cdot x^{\ast }\left(
p,w\right) =0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \in \mathbb{R} \)が存在します。条件\(\left( C\right) \)を具体的に表現すると、\begin{equation}\sum_{j=1}^{N}\left[ \left( \frac{\partial u\left( x^{\ast }\left(
p,w\right) \right) }{\partial x_{j}}-\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \cdot
p_{j}\right) \cdot x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) \right] =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。一方、条件\(\left( A\right) \)より、任意の商品\(i\)について、\begin{equation}\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}-\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \cdot p_{i}\leq 0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(x_{i}^{\ast}\left( p,w\right) >0\)を満たす商品\(i\)を任意に選ぶと、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}-\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \cdot p_{i}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left(
p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。条件\(\left( D\right) \)より\(\lambda ^{\ast }\left(p,w\right) \geq 0\)です。

命題(所得の限界効用)

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとる。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(x^{\ast }\left( p,w\right) \in X\left( p,w\right) ^{{}}\)をそれぞれ任意に選んだとき、それに対して非負の実数\(\lambda ^{\ast}\left( p,w\right) \geq 0\)が存在して、\(x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) >0\)を満たす任意の商品\(i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left(
p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}
\end{equation*}が成り立つ。

上の命題は何を意味するのでしょうか。\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left(p,w\right) \)において正の量が消費される商品、すなわち\(x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) >0\)を満たす商品\(i\)を任意に選びます。商品\(i\)の価格は\(p_{i}\)であるため、所得が\(1\)単位だけ増加すると商品\(i\)を\(\frac{1}{p_{i}}\)単位だけ追加購入できます。一方、\(\frac{\partial u\left( x^{\ast}\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\)は効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)において正の消費量を持つ商品\(i\)の限界効用であるため、それらの積に一致する\(\lambda^{\ast }\left( p,w\right) \)とは、\(\left( p,w\right) \)における効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)が与えられたとき、そこを出発点に所得を限界的に増やした上でその増分を商品\(i\)への支出に向けることで得られる効用の増分に相当します。そのようなこともあり、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}
\end{equation*}を\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)に関する所得の限界効用(marginal utility of income)や所得のシャドープライス(shadow price of wealth)などと呼びます。上の命題より、効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)において正の量が消費される任意の商品について、その所得の限界効用はいずれも\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)と一致することが保証されます。

例(所得の限界効用)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合には需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。\(\left( p_{1},p_{2},w\right)=\left( 1,1,10\right) \)のもとでの効用最大化問題の解は、\begin{equation*}x^{\ast }\left( 1,1,10\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( 1,1,10\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( 1,1,10\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
5 \\
5\end{array}\right)
\end{equation*}という内点解であり、2つの商品の需要は正です。そこで、それぞれの商品の所得の限界効用を求めると、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( 1,1,10\right) \right) }{\partial x_{1}}\cdot \frac{1}{1} &=&5 \\
\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( 1,1,10\right) \right) }{\partial x_{2}}\cdot \frac{1}{1} &=&5
\end{eqnarray*}となりますが、確かにこれらは一致しています。ちなみに、\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }\left( 1,1,10\right) =5
\end{equation*}です。

効用最大化問題の解において需要がゼロになる商品に関しては、先の命題の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(所得の限界効用)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}を定める場合には需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)に対して、\(p_{1}\geq p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{w}{p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、\(p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{p_{1}} \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。\(\left( p_{1},p_{2},w\right)=\left( 2,1,3\right) \)のもとでの効用最大化問題の解は、\begin{equation*}x^{\ast }\left( 2,1,3\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( 2,1,3\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( 2,1,3\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
3\end{array}\right)
\end{equation*}という端点解であり、商品\(1\)の需要はゼロです。そこで、それぞれの商品の所得の限界効用を求めると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( 2,1,3\right) \right) }{\partial x_{1}}\cdot \frac{1}{2} &=&2\cdot 0\cdot \frac{1}{2}=0 \\
\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( 2,1,3\right) \right) }{\partial x_{2}}\cdot \frac{1}{1} &=&2\cdot 3\cdot \frac{1}{1}=6
\end{eqnarray*}となりますが、これらは一致しません。ちなみに、\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }\left( 2,1,3\right) =6
\end{equation*}です。

 

所得の限界効用による内点解の解釈

復習になりますが、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、さらに局所非飽和性を満たす場合には\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとります。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)と内点解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \in X\left( p,w\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \nabla u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
=\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \cdot p \\
&&\left( B\right) \ w-p\cdot x^{\ast }\left( p,w\right) =0 \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \in \mathbb{R} \)が存在します。先に明らかになったように、\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)は\(\left(p,w\right) \)における所得の限界効用と一致します。また、内点解ではすべての商品の需要が正であるため、先の命題より、2つの商品\(i,j\)を任意に選んだとき、\begin{equation}\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left(
p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}=\frac{\partial
u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。これにはどのような意味があるのでしょうか。

ある消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)において上の条件が成り立たないものと仮定します。まずは、\begin{equation}\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}<\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす商品\(i,j\)が存在するような消費ベクトル\(x\)について考えます。左辺の\(\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}\)は\(\left( p,w\right) \)を出発点に所得を限界的に増やして商品\(i\)の支出に振り分けたときに得られる効用の増分に相当し、右辺の\(\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}}\)は\(\left( p,w\right) \)を出発点に所得を限界的に増やして商品\(j\)の支出に振り分けたときに得られる効用の増分に相当します。したがって、不等式\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合、商品\(i\)への支出を限界的に減らしてそれを商品\(j\)の支出へ回せば、消費者は効用を増やすことができます。不等式\(\left( 2\right) \)が成立するような消費ベクトル\(x\)は\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解ではないということです。続いて、\begin{equation}\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}>\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}} \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす商品\(i,j\)が存在するような消費ベクトル\(x\)について考えます。この場合、商品\(j\)への支出を限界的に減らしてそれを商品\(i\)の支出へ回せば効用を増やすことができるため、不等式\(\left( 3\right) \)が成立するような\(x\)もまた\(\left( p,w\right) \)における効用最大化問題の解ではありません。

以上の議論により、消費ベクトル\(x\)が\(\left(p,w\right) \)における効用最大化問題の内点解であるためには、任意の商品\(i,j\)について、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}=\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}}
\end{equation*}という関係が成立している必要があります。しかも、\(\left( 1\right) \)より、この両辺の値は\(\left( p,w\right) \)における所得の限界効用\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)と一致します。効用最大化問題の内点解においては、すべての商品に関する所得の限界効用が一致するとともに、それは\(\lambda^{\ast }\left( p,w\right) \)と一致します。

 

間接効用関数の偏微分係数としての所得の限界効用

復習になりますが、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たす場合には\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)と需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)に加え、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)におけるラグランジュ乗数\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)を値として定める関数\(\lambda ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する。さらに、\(u,x^{\ast },v\)が\(C^{1}\)級であるならば、\(v\)の偏導関数は、\begin{align*}\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}& =-\lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \quad \left(
i=1,\cdots ,N\right) \\
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}& =\lambda ^{\ast }\left(
p,w\right)
\end{align*}となります。

上の命題中のラグランジュ乗数\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)について議論を深めましょう。間接効用関数\(v\)が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)に対して定める値\(v\left( p,w\right) \)は、\(\left( p,w\right) \)において消費者が達成し得る効用の最大値です。したがって、\(\left( p,w\right) \)における偏微分係数\(\frac{\partial v\left(p,w\right) }{\partial w}\)は、\(\left( p,w\right) \)を基準に所得が限界的に増加した場合の最大化された効用の増分を表します。

ラグランジュ乗数\(\lambda^{\ast }\left( p,w\right) \)は\(\left( p,w\right) \)における所得の限界効用と同じ記号を用いて表記されていますが、実際、これは\(\left( p,w\right) \)における所得の限界効用と一致します。そのことを示すために、\(\left( p,w\right) \)における需要が正であるような商品からなる集合を、\begin{equation*}A=\{i\in \{1,\cdots ,N\}\ |\ x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) >0\}
\end{equation*}とおきます。所得の限界効用\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)の定義より、任意の\(i\in A\)について、\begin{equation}\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left(
p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。選好\(\succsim \)は局所非飽和性を満たすため、需要関数\(x^{\ast }\)はワルラスの法則\begin{equation*}p\cdot x^{\ast }\left( p,w\right) =0
\end{equation*}を満たしますが、\(A\)に属さない任意の商品の需要は\(0\)であるため、上の式は、\begin{equation*}\sum_{i\in A}\left[ p_{i}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \right] =w
\end{equation*}と言い換え可能です。両辺を\(w\)について偏微分すると、エンゲル集計に相当する以下の関係\begin{equation}\sum_{i\in A}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
}{\partial w}\right] =1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。一方、間接効用関数\(v\)の点\(\left(p,w\right) \)における\(w\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w} &=&\frac{\partial u\left(
x^{\ast }\left( p,w\right) \right) }{\partial w}\quad \because v\text{の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{L}\left[ \frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p,w\right)
\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
}{\partial w}\right] \\
&=&\sum_{i\in A}\left[ \frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p,w\right)
\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
}{\partial w}\right] \quad \because i\not\in A\text{について}x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =0 \\
&=&\sum_{i\in A}\left[ \lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \cdot p_{i}\cdot
\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\right] \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \sum_{i\in A}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\right] \\
&=&\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、目的が達成されました。

結論をまとめておきましょう。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題において需要\(x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \)が正になるような商品\(i\)を任意に選べば、そこから、\(\left( p,w\right) \)における所得の限界効用を、\begin{equation*}\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left(
p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}
\end{equation*}として得ることができます。これは、\(\left(p,w\right) \)における効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)が与えられたとき、そこから所得を限界的に増やして商品\(i\)の支出に振り分けたときに得られる効用の増分に相当します。もしくは、間接効用関数\(v\)が与えられている場合には、点\(\left( p,w\right) \)における\(w\)に関する偏微分係数\begin{equation*}\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}
\end{equation*}を求めれば、それもまた\(\left( p,w\right) \)における所得の限界効用と一致します。これは、\(\left(p,w\right) \)を基準に所得が限界的に増加した場合の最大化された効用の増分に相当します。

次回から支出最小化問題について解説します。

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