所得の限界効用

所得の限界効用

消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されているとともに、\(\succsim \)は合理性と連続性の仮定を満たすものとします。この場合、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。加えて、効用最大化を目指す消費者の意思決定がワルラスの需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題の解からなる集合は、\begin{equation*}X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall
y\in B\left( p,w\right) :u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\}
\end{equation*}です。以上の条件のもとで需要対応\(X^{\ast }\)は非空値をとるため、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left(p,w\right) \in X^{\ast }\left( p,w\right) \)をとることができます。効用関数\(u\)が\(C^{1}\)級である場合、先の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)はクーンタッカーの条件を満たすことが保証されます。つまり、ラグランジュ乗数法を用いて最適解\(x^{\ast}\left( p,w\right) \)が満たす条件を特定できるということです。具体的には、それぞれの\(\left( x,\lambda_{0},\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} ^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}L\left( x,\lambda _{0},\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}\right) =u\left(
x\right) +\lambda _{0}\left( w-p\cdot x\right) +\lambda _{1}x_{1}+\cdots
+\lambda _{N}x_{N}
\end{equation*}を定めるラグランジュ関数\(L:\mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} ^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、クーンタッカーの定理より、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \nabla u(x^{\ast }\left( p,w\right) )\leq \lambda
_{0}^{\ast }\left( p,w\right) \cdot p \\
&&\left( B\right) \ \lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \cdot (w-p\cdot
x^{\ast }\left( p,w\right) )=0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ \nabla u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
-\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \cdot p\right] \cdot x^{\ast }\left(
p,w\right) =0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \in \mathbb{R} \)が存在することが保証されます。つまり、\(\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \)は最適解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)に対応するラグランジュ乗数\(\lambda^{\ast }\left( p,w\right) \)の第\(0\)成分に相当する実数です。

条件\(\left( C\right) \)を具体的に表現すると、\begin{equation}\sum_{j=1}^{N}\left[ \left( \frac{\partial u\left( x^{\ast }\left(
p,w\right) \right) }{\partial x_{j}}-\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right)
\cdot p_{j}\right) \cdot x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) \right] =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。一方、条件\(\left( A\right) \)より、任意の商品\(i\)について、\begin{equation}\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}-\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \cdot p_{i}\leq 0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(x_{i}^{\ast}\left( p,w\right) >0\)を満たす商品\(i\)を任意に選ぶと、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}-\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \cdot p_{i}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast
}\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

上の命題は何を意味するのでしょうか。\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left(p,w\right) \)において正の量が消費される商品、すなわち\(x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) >0\)を満たす商品\(i\)を任意に選びます。商品\(i\)の価格は\(p_{i}\)であるため、所得が\(1\)単位だけ増加すると商品\(i\)を\(\frac{1}{p_{i}}\)単位だけ追加購入できます。一方、\(\frac{\partial u\left( x^{\ast}\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\)は効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)において正の消費量を持つ商品\(i\)の限界効用であるため、それらの積に一致する\(\lambda_{0}^{\ast }\left( p,w\right) \)とは、\(\left( p,w\right) \)における効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)が与えられたとき、そこを出発点に所得を限界的に増やした上でその増分を商品\(i\)への支出に向けることで得られる効用の増分に相当します。そのようなこともあり、\begin{equation*}\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast
}\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}
\end{equation*}を\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)に関する所得の限界効用（marginal utility of income）や所得のシャドープライス（shadow price of wealth）などと呼びます。上の命題より、効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)において正の量が消費される任意の商品について、その所得の限界効用はいずれも\(\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \)と一致することが保証されます。

効用最大化問題の解において需要がゼロになる商品に関しては、先の命題の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

所得の限界効用による内点解の解釈

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、さらに局所非飽和性を満たす場合には\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとります。さらに、効用関数\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)と内点解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \in X\left( p,w\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、先のクーンタッカーの条件より、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \nabla u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
=\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \cdot p \\
&&\left( B\right) \ w-p\cdot x^{\ast }\left( p,w\right) =0 \\
&&\left( C\right) \ \lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \in \mathbb{R} \)が存在することが保証されます。先に明らかになったように\(\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \)は\(\left( p,w\right) \)における所得の限界効用です。また、内点解ではすべての商品の需要が正であるため、先の命題より、2つの商品\(i,j\)を任意に選んだとき、\begin{equation}\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left(
p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}=\frac{\partial
u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。これにはどのような意味があるのでしょうか。

ある消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)において上の条件が成り立たないものと仮定します。まずは、\begin{equation}\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}<\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす商品\(i,j\)が存在するような消費ベクトル\(x\)について考えます。左辺の\(\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}\)は\(\left( p,w\right) \)を出発点に所得を限界的に増やして商品\(i\)の支出に振り分けたときに得られる効用の増分に相当し、右辺の\(\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}}\)は\(\left( p,w\right) \)を出発点に所得を限界的に増やして商品\(j\)の支出に振り分けたときに得られる効用の増分に相当します。したがって、不等式\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合、商品\(i\)への支出を限界的に減らしてそれを商品\(j\)の支出へ回せば、消費者は効用を増やすことができます。不等式\(\left( 2\right) \)が成立するような消費ベクトル\(x\)は\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解ではないということです。続いて、\begin{equation}\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}>\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}} \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす商品\(i,j\)が存在するような消費ベクトル\(x\)について考えます。この場合、商品\(j\)への支出を限界的に減らしてそれを商品\(i\)の支出へ回せば効用を増やすことができるため、不等式\(\left( 3\right) \)が成立するような\(x\)もまた\(\left( p,w\right) \)における効用最大化問題の解ではありません。

以上の議論により、消費ベクトル\(x\)が\(\left(p,w\right) \)における効用最大化問題の内点解であるためには、任意の商品\(i,j\)について、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}=\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}}
\end{equation*}という関係が成立している必要があります。しかも、\(\left( 1\right) \)より、この両辺の値は\(\left( p,w\right) \)における所得の限界効用\(\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \)と一致します。効用最大化問題の内点解において、すべての商品に関する所得の限界効用が一致するとともに、それは\(\lambda_{0}^{\ast }\left( p,w\right) \)と一致します。

間接効用関数の偏微分係数としての所得の限界効用

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、狭義凸性を満たす場合には\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)に加えて需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。さらに、\(u,x^{\ast },v\)はいずれも\(C^{1}\)級であるならばロイの恒等式が要求する条件が満たされるため、\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)におけるラグランジュ乗数\(\lambda ^{\ast }\left(p,w\right) \)について、\begin{equation*}\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}=\lambda _{0}^{\ast }\left(
p,w\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(\left(p,w\right) \)における所得の限界効用\begin{equation*}\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial u\left( x^{\ast
}\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}
\end{equation*}は、\(\left( p,w\right) \)を出発点に所得が限界的に増加した場合の最大化された効用（間接効用）の増分とも一致するということです。

演習問題