教材一覧
教材検索
CONSUMER THEORY

支出関数

目次

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

支出関数

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して支出最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in X}p\cdot x\quad \text{s.t.}\quad u\left( x\right) \geq v
\end{equation*}をそれぞれ構成できますが、\(\left( p,v\right) \)の値に応じて支出最小化問題そのものが変化するため、支出最小化問題の解や、さらには解を実現するために必要な支出もまた\(\left( p,v\right) \)に応じて変化します。そこで、支出最小化問題の解における消費者の支出を変数\(\left( p,v\right) \)に関する関数とみなした上で、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して、そこでの支出最小化問題の解における消費者の支出\begin{equation*}e\left( p,v\right) =\min \left\{ p\cdot x\in \mathbb{R} \ |\ x\in X\wedge u\left( x\right) \geq v\right\}
\end{equation*}を値として定める関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)を定義し、これを支出関数(expenditure function)と呼びます。また、支出関数\(e\)が価格ベクトルと目標効用の組\(\left(p,v\right) \)に対して定める値\(e\left( p,v\right) \)を支出(expenditure)と呼びます。支出関数\(e\)が定義可能であるためには任意の\(\left(p,v\right) \)に対して\(e\left( p,v\right) \)が常に1つの実数として定まる必要があります。支出関数が存在するための条件については後述します。

価格ベクトルと目標効用の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow X\)はそれに対して、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解からなる集合\begin{equation*}H^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{ x\in X\ |\ u\left( x\right) \geq v\wedge
\forall y\in X:\left[ u\left( y\right) \geq v\Rightarrow p\cdot y\geq p\cdot
x\right] \right\}
\end{equation*}を定めます。仮に\(H^{\ast}\left( p,v\right) \)が空集合でなければ何らかの要素\(x^{\ast}\in H^{\ast }\left( p,v\right) \)を選ぶことができますが、\(x^{\ast }\)は\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解の1つであるため、支出関数\(e\)の定義より、\begin{equation*}e\left( p,v\right) =p\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(\left( p,v\right) \)と\(H^{\ast }\left(p,v\right) \)の任意の要素\(x^{\ast }\)に関して成立するため、\(H^{\ast }\)が非空値をとる場合、支出関数\(e\)と補償需要対応\(H^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U,\ \forall x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) :e\left(
p,v\right) =p\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow X\)が存在する場合、上の関係は、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U:e\left( p,v\right) =p\cdot h^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}と表現されます。つまり、支出関数\(e\)という概念は補償需要対応\(H^{\ast }\)もしくは補償需要関数\(h^{\ast }\)から定義可能であるということです。

例(支出関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v} \\
\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{++}^{2}\right) \ |\ v>u\left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}です。したがって、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{eqnarray*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&p_{1}\cdot h_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},v\right) +p_{2}\cdot h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\quad \because e\text{の定義} \\
&=&p_{1}\cdot \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}+p_{2}\cdot \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\quad \because h^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\sqrt{p_{1}p_{2}v}+\sqrt{p_{1}p_{2}v} \\
&=&2\sqrt{p_{1}p_{2}v}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(支出関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( x_{1}x_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める場合、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}}v \\
\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}}v\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{++}^{2}\right) \ |\ v>u\left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}です。したがって、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{eqnarray*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&p_{1}\cdot h_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},v\right) +p_{2}\cdot h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\quad \because e\text{の定義} \\
&=&p_{1}\cdot \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}}v+p_{2}\cdot \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}}v\quad \because h^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\sqrt{p_{1}p_{2}}v+\sqrt{p_{1}p_{2}}v \\
&=&2v\sqrt{p_{1}p_{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

支出関数が存在するための条件

繰り返しになりますが、支出関数\(e\)と補償需要対応\(H^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U,\ \forall x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) :e\left(
p,v\right) =p\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、補償需要関数\(h^{\ast }\)が存在する場合、上と同様の関係は、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U:e\left( p,v\right) =p\cdot h^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}と表現されます。補償需要対応\(H^{\ast }\)が非空値をとる場合、それぞれの\(\left( p,v\right) \)に対してそこでの支出最小化問題の解\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) \)が存在するため、上の関係より、それと価格ベクトル\(p\)の内積をとれば支出\(e\left( p,v\right) \)が得られます。したがって、補償需要対応\(H^{\ast }\)が非空値をとるための条件はそのまま支出関数\(e\)が存在するための条件になります。

消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であり、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には補償需要対応\(H^{\ast }\)は非空値をとります。したがって以上の条件のもとで支出関数が存在することが保証されます。加えて、以上の条件のもとではベルジュの最大値定理が利用可能であるため、同定理を利用することにより、支出関数が連続であることも保証できます。

命題(支出関数が存在するための条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には連続な支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(支出関数の連続性)
先に示したように、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\sqrt{p_{1}p_{2}v}
\end{equation*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{++}^{2}\right) \ |\ v>u\left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}です。この\(e\)は連続関数です(演習問題にします)。
例(支出関数の連続性)
先に示したように、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( x_{1}x_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める場合、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2v\sqrt{p_{1}p_{2}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{++}^{2}\right) \ |\ v>u\left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}です。この\(e\)は連続関数です(演習問題にします)。

 

演習問題

問題(支出関数の連続性)
本文中で示したように、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\sqrt{p_{1}p_{2}v}
\end{equation*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{++}^{2}\right) \ |\ v>u\left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}です。この\(e\)が連続関数であることを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(支出関数の連続性)
本文中で示したように、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( x_{1}x_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める場合、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2v\sqrt{p_{1}p_{2}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{++}^{2}\right) \ |\ v>u\left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}です。この\(e\)が連続関数であることを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次回から支出関数の性質について解説します。

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

利潤最大化

ベルジュの最大値定理

目的関数が連続であるとともに制約対応が非空値かつコンパクト値をとる連続対応である場合、価値関数は連続な実数値関数になるとともに、最適選択対応は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になります。これをベルジュの最大値定理と呼びます。

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出最小化

支出最小化問題

価格ベクトルと目標となる効用水準が与えられたとき、目標水準以上の効用をもたらす消費ベクトルの中から支出を最小化するようなものを特定することを支出最小化問題と呼びます。

支出最小化

支出最小化問題の制約条件

支出最小化問題にはそのままではベルジュの最大値定理を適用できないため、一般性を失わない形で、支出最小化問題をベルジュの最大値定理が適用可能な形へ変換します。

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出最小化

ヒックスの補償需要関数

消費者が直面する支出最小化問題は価格ベクトルと目標となる効用水準に応じて変化します。そこで、価格ベクトルと目標効用水準のそれぞれの組に対して、そのときの支出最小化問題の解集合を定める対応をヒックスの補償需要対応(補償需要関数)と呼びます。

支出最小化

支出最小化問題の解法

クーンタッカー条件を満たす消費ベクトルが支出最小化問題の解であるための必要条件や十分条件を明らかにした上で、支出最小化問題の解を求める具体的な手順について解説します。

支出最小化

支出最小化問題の内点解

支出最小化問題の解においてすべての商品の補償需要が正の実数であるとき、そのような解を内点解と呼びます。内点解において任意の2つの商品の間の限界代替率と相対価格は一致します。

支出最小化

支出最小化問題の端点解

支出最小化問題の解において消費者は目標水準に等しい効用を得るとともに、少なくとも1つの商品の補償需要がゼロである場合、そのような解を端点解と呼びます。端点解において限界代替率と相対価格は一致するとは限りません。

線型効用関数

線型効用関数のもとでの支出最小化

消費者の選好が線型効用関数によって表現されるとき、支出最小化問題には解が存在することが保証されるため、非空な補償需要対応や支出関数もまた存在します。

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

消費者理論