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支出関数

消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されているとともに、\(\succsim \)は合理性と連続性の仮定を満たすものとします。この場合、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。このとき、価格ベクトルと目標効用\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)のもとでの支出最小化問題は、\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}p\cdot x\quad \text{s.t.}\quad u\left( x\right) \geq v
\end{equation*}と表現されますが、\(\left( p,v\right) \)が変化すれば支出最小化問題の目的関数と制約条件が変化するため、それに応じて支出最小化問題の解も変化し、したがって解において消費者が直面する支出額、すなわち\(p\cdot x\)の最小値も変化します。以上を踏まえた上で、それぞれの\(\left( p,v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解において消費者が直面する支出額\begin{equation*}e\left( p,v\right) =\min \left\{ p\cdot x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\wedge u\left( x\right) \geq v\right\}
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを支出関数(expenditure function)と呼びます。また、支出関数\(e\)が\(\left( p,v\right) \)に対して定める値\(e\left( p,v\right) \)を支出(expenditure)と呼びます。支出関数が存在するための条件については後述します。

 

支出関数が存在するための条件

支出最小化を目指す消費者の意思決定がヒックスの補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトルと目標効用\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)のもとでの支出最小化問題の解からなる集合は、\begin{equation*}H^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ u\left( x\right) \geq v\wedge \forall y\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ u\left( y\right) \geq v\Rightarrow p\cdot y\geq p\cdot x\right] \right\}
\end{equation*}です。仮に\(H^{\ast }\left( p,v\right) \)が空集合でなければ何らかの要素\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left(p,v\right) \)を選ぶことができますが、\(x^{\ast }\)は\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解の1つであるため、支出関数\(e\)の定義より、\begin{equation*}e\left( p,v\right) =p\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(\left( p,v\right) \)と\(H^{\ast }\left(p,v\right) \)の任意の要素\(x^{\ast }\)に関して成立するため、補償需要対応\(H^{\ast }\)が非空値をとる場合、支出関数\(e\)と補償需要対応\(H^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U,\ \forall x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) :e\left(
p,v\right) =p\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、効用関数\(u\)が存在するとともに補償需要対応\(H^{\ast }\)が非空値をとる場合には支出関数\(e\)が存在することが保証されます。

補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する場合にも同様の議論が成立します。つまり、価格ベクトルと目標効用\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して補償需要関数\(h^{\ast }\)が定める値\(h^{\ast }\left( p,v\right) \)は\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の唯一の解であるため、支出関数\(e\)の定義より、\begin{equation*}e\left( p,v\right) =p\cdot h^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(\left( p,v\right) \)に関して成立するため、補償需要関数\(h^{\ast }\)が存在する場合、支出関数\(e\)と補償需要関数\(h^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U:e\left( p,v\right) =p\cdot h^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、効用関数\(u\)と補償需要関数\(h^{\ast }\)がともに存在する場合には支出関数\(e\)が存在することが保証されます。

消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であり、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在するとともに、補償需要対応\(H^{\ast }\)は非空値をとることが保証されます。したがって、以上の条件のもとでは支出関数が存在します。加えて、以上の条件のもとではベルジュの最大値定理が利用可能であるため、同定理を利用することにより、支出関数が連続であることも保証されます。

命題(支出関数が存在するための条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には連続な支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。

証明

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消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合、\(\succsim \)が合理性の仮定を満たすことが保証されます。また、\(u\)が連続関数である場合には\(\succsim \)が連続性の仮定を満たすことが保証されます。したがって、選好関係\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u\)が存在する場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、連続な間接効用関数が存在することが保証されます。以下が具体例です。

例(支出関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v} \\
\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{++}^{2}\right) \ |\ v>u\left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}です。\(u\)は多変数の単項式関数であるため連続です。したがって先の命題より、支出関数が存在するとともに、それは連続です。実際、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{eqnarray*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&p_{1}\cdot h_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},v\right) +p_{2}\cdot h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\quad \because e\text{の定義} \\
&=&p_{1}\cdot \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}+p_{2}\cdot \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\quad \because h^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\sqrt{p_{1}p_{2}v}+\sqrt{p_{1}p_{2}v} \\
&=&2\sqrt{p_{1}p_{2}v}
\end{eqnarray*}を定めますが、これは多変数の単項式関数と無理関数の合成関数(の定数倍)であるため連続です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

支出関数は価格ベクトルに関して単調増加

支出最小化問題に直面した消費者の支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。\(p<p^{\prime }\)を満たす価格ベクトル\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と目標効用\(v\in U\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(p<p^{\prime }\)が成り立つこととは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :p_{n}\leq
p_{n}^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:p_{n}<p_{n}^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。このとき、\begin{equation*}
e\left( p,v\right) \leq e\left( p^{\prime },v\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、目標効用を一定にした上で少なくとも1つの商品の価格を上昇させる場合、支出最小化問題の最適解おいて消費者が直面する支出が減少することはありません。支出関数\(e\)は価格ベクトル\(p\)に関して単調増加(単調非減少)であるということです。

命題(支出関数は価格ベクトルに関して単調増加)
支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall v\in U:\left[ p<p^{\prime }\Rightarrow e\left(
p,v\right) \leq e\left( p^{\prime },v\right) \right] \end{equation*}を満たす。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。

証明

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例(支出関数は価格ベクトルに関して単調増加)
繰り返しになりますが、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\sqrt{p_{1}p_{2}v} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(\left( p_{1},p_{2}\right)<\left( p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime }\right) \)を満たす価格ベクトル\(\left(p_{1},p_{2}\right) ,\left( p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と目標効用\(v\in U\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&2\sqrt{p_{1}p_{2}v}\quad \because \left(
1\right) \\
&<&2\sqrt{p_{1}^{\prime }p_{2}^{\prime }v}\quad \because \left(
p_{1},p_{2}\right) <\left( p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime }\right) \text{かつ}v>0 \\
&=&e\left( p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime },v\right) \quad \because \left(
1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(e\)は価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に関して狭義単調増加です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

支出関数は目標効用に関して狭義単調増加

支出最小化問題に直面した消費者の支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と\(v<v^{\prime }\)を満たす目標効用\(v,v^{\prime }\in U\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{equation*}e\left( p,v\right) <e\left( p,v^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、消費者が直面する商品の価格を一定にした上で目標効用を上昇させる場合、支出最小化問題の最適解において消費者が直面する支出額は増加します。支出関数\(e\)は目標効用\(v\)に関して狭義単調増加であるということです。

命題(支出関数は目標効用水準に関して狭義単調増加)
支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall v,v^{\prime }\in U:\left[ v<v^{\prime }\Rightarrow
e\left( p,v\right) <e\left( p,v^{\prime }\right) \right] \end{equation*}を満たす。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。

証明

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例(支出関数は目標効用水準に関して狭義単調増加)
繰り返しになりますが、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\sqrt{p_{1}p_{2}v} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と\(v<v^{\prime }\)を満たす目標効用\(v,v^{\prime }\in U\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&2\sqrt{p_{1}p_{2}v}\quad \because \left(
1\right) \\
&<&2\sqrt{p_{1}p_{2}v^{\prime }}\quad \because 0<v<v^{\prime } \\
&=&e\left( p_{1},p_{2},v^{\prime }\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(e\)は目標効用\(v\)に関して狭義単調増加です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

支出関数の1次同次性

支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)と補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U,\ \forall x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) :e\left(
p,v\right) =p\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、以上の関係と補償需要対応\(H^{\ast }\)が価格ベクトル\(p\)に関して0次同次であることを利用すると、支出関数\(e\)が価格ベクトル\(p\)に関して1次同次であること、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:e\left( \lambda p,v\right) =\lambda e\left( p,v\right)
\end{equation*}が導かれます。つまり、目標効用を一定にした上ですべての商品の価格を同じ割合\(\lambda \)で増加させる場合、その変化の前後において最適な支出水準もまた割合\(\lambda \)で増加します。

命題(支出関数の1次同次性)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるならば、支出関数\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)は価格ベクトル\(p\)に関して1次同次性を満たす。
証明

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例(支出関数の1次同次性)
繰り返しになりますが、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\sqrt{p_{1}p_{2}v} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と目標効用\(v\in U\)および\(\lambda >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}e\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},v\right) &=&2\sqrt{\lambda p_{1}\lambda
p_{2}v}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&2\lambda \sqrt{p_{1}p_{2}v}\quad \because \lambda >0 \\
&=&\lambda e\left( p_{1},p_{2},v\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(e\)は\(p\)に関して1次同次です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

支出関数は凹関数

支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)において目標効用\(v\in U\)を任意の水準に固定した場合、\(e\)は価格ベクトル\(p\)を変数として持つ関数\(e\left( \cdot ,v\right) \)になりますが、これは凹関数になることが保証されます。つまり、\(v\in U\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda e\left(
p,v\right) +\left( 1-\lambda \right) e\left( p^{\prime },v\right) \leq
e\left( \lambda p+\left( 1-\lambda \right) p^{\prime },v\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(支出関数は凹関数)
支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)は価格ベクトル\(p\)に関して凹関数である。
証明

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例(支出関数は凹関数)
繰り返しになりますが、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\sqrt{p_{1}p_{2}v} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(e\)は多変数の単項式関数\(p_{1}p_{2}v\)と無理関数の合成関数の定数倍であるため\(C^{2}\)級であるとともに、変数\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に関するヘッセ行列は、\begin{equation*}H_{e}\left( p_{1},p_{2}\right) =\begin{pmatrix}
-\frac{p_{2}^{2}v^{2}}{2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{3}{2}}} & \frac{\left( vp_{1}p_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}}{2p_{1}p_{2}} \\
\frac{\left( vp_{1}p_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}}{2p_{1}p_{2}} & -\frac{p_{1}^{2}v^{2}}{2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{3}{2}}}\end{pmatrix}\end{equation*}です。首座小行列式の値は、\begin{eqnarray*}
-\det \left( A_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) &=&-\det \left( -\frac{p_{2}^{2}v^{2}}{2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{3}{2}}}\right) >0 \\
\det \left( A_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) &=&\det
\begin{pmatrix}
-\frac{p_{2}^{2}v^{2}}{2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{3}{2}}} & \frac{\left( vp_{1}p_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}}{2p_{1}p_{2}} \\
\frac{\left( vp_{1}p_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}}{2p_{1}p_{2}} & -\frac{p_{1}^{2}v^{2}}{2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{3}{2}}}\end{pmatrix}=0
\end{eqnarray*}となるため、\(e\)は\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)に関して凹関数です

 

演習問題

問題(支出関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{p_{1}\sqrt{v}}{\sqrt{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}}} \\
\frac{p_{2}\sqrt{v}}{\sqrt{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、それが連続であることを示してください。
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