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CONSUMER THEORY

支出関数

目次

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支出関数

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して支出最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in X}p\cdot x\quad \text{s.t.}\quad u\left( x\right) \geq v
\end{equation*}をそれぞれ構成できますが、\(\left( p,v\right) \)の値に応じて支出最小化問題そのものが変化するため、支出最小化問題の解や、さらには解を実現するために必要な支出もまた\(\left( p,v\right) \)に応じて変化します。そこで、支出最小化問題の解における消費者の支出を変数\(\left( p,v\right) \)に関する関数とみなした上で、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して、そこでの支出最小化問題の解における消費者の支出\begin{equation*}e\left( p,v\right) =\min \left\{ p\cdot x\in \mathbb{R} \ |\ x\in X\wedge u\left( x\right) \geq v\right\}
\end{equation*}を値として定める関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)を定義し、これを支出関数(expenditure function)と呼びます。また、支出関数\(e\)が価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \)に対して定める値\(e\left( p,v\right) \)を支出(expenditure)と呼びます。支出関数\(e\)が定義可能であるためには任意の\(\left( p,v\right) \)に対して\(e\left(p,v\right) \)が常に1つの実数として定まる必要があります。支出関数が存在するための条件については後述します。

価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow X\)はそれに対して、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解からなる集合\begin{equation*}H^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{ x\in X\ |\ u\left( x\right) \geq v\wedge
\forall y\in X:\left[ u\left( y\right) \geq v\Rightarrow p\cdot y\geq p\cdot
x\right] \right\}
\end{equation*}を定めます。仮に\(H^{\ast}\left( p,v\right) \)が空集合でなければ何らかの要素\(x^{\ast}\in H^{\ast }\left( p,v\right) \)を選ぶことができますが、\(x^{\ast }\)は\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解の1つであるため、支出関数\(e\)の定義より、\begin{equation*}e\left( p,v\right) =p\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(\left( p,v\right) \)と\(H^{\ast }\left(p,v\right) \)の任意の要素\(x^{\ast }\)に関して成立するため、\(H^{\ast }\)が非空値をとる場合、支出関数\(e\)と補償需要対応\(H^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U,\ \forall x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) :e\left(
p,v\right) =p\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow X\)が存在する場合、上の関係は、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U:e\left( p,v\right) =p\cdot h^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}と表現されます。つまり、支出関数\(e\)という概念は補償需要対応\(H^{\ast }\)もしくは補償需要関数\(h^{\ast }\)から定義可能であるということです。

例(支出関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v} \\
\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{++}^{2}\right) \ |\ v>u\left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}です。したがって、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{eqnarray*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&p_{1}\cdot h_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},v\right) +p_{2}\cdot h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\quad \because e\text{の定義} \\
&=&p_{1}\cdot \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}+p_{2}\cdot \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\quad \because h^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\sqrt{p_{1}p_{2}v}+\sqrt{p_{1}p_{2}v} \\
&=&2\sqrt{p_{1}p_{2}v}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

支出関数が存在するための条件

繰り返しになりますが、支出関数\(e\)と補償需要対応\(H^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U,\ \forall x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) :e\left(
p,v\right) =p\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、補償需要関数\(h^{\ast }\)が存在する場合、上と同様の関係は、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U:e\left( p,v\right) =p\cdot h^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}と表現されます。補償需要対応\(H^{\ast }\)が非空値をとる場合、それぞれの\(\left( p,v\right) \)に対してそこでの支出最小化問題の解\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) \)が存在するため、上の関係より、それと価格ベクトル\(p\)の内積をとれば支出\(e\left( p,v\right) \)が得られます。したがって、補償需要対応\(H^{\ast }\)が非空値をとるための条件はそのまま支出関数\(e\)が存在するための条件になります。

ドブリューの定理より、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であり、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在します。さらに、同様の条件のもとで補償需要対応\(H^{\ast }\)は非空値をとります。したがって以上の条件のもとで支出関数が存在することが保証されます。加えて、以上の条件のもとではベルジュの最大値定理が利用可能であるため、同定理を利用することにより、支出関数が連続であることも保証できます。

命題(支出関数が存在するための条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には連続な支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。

証明

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例(支出関数の連続性)
先に示したように、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\sqrt{p_{1}p_{2}v}
\end{equation*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{++}^{2}\right) \ |\ v>u\left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}です。この\(e\)は多変数の単項式関数\(p_{1}p_{2}v\)と無理関数の合成関数の定数倍であるため連続です。

 

支出関数は価格ベクトルに関して単調増加

支出最小化問題に直面した消費者の支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。\(p<p^{\prime }\)を満たす価格ベクトル\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と目標効用水準\(v\in U\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(p<p^{\prime}\)が成り立つこととは、ただし、\(p<p^{\prime }\)が成り立つこととは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :p_{n}\leq
p_{n}^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:p_{n}<p_{n}^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。このとき、\begin{equation*}
e\left( p,v\right) \leq e\left( p^{\prime },v\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、消費者にとっての目標効用水準を一定にした上で少なくとも1つの商品の価格を上昇させる場合、支出最小化問題の最適解における消費者の支出が減少することはありません。つまり、支出関数\(e\)は価格ベクトル\(p\)に関して単調増加(単調非減少)であるということです。

命題(支出関数は価格ベクトルに関して単調増加)
支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall v\in U:\left[ p<p^{\prime }\Rightarrow e\left(
p,v\right) \leq e\left( p^{\prime },v\right) \right] \end{equation*}を満たす。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。

証明

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例(支出関数は価格ベクトルに関して単調増加)
繰り返しになりますが、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\sqrt{p_{1}p_{2}v} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(\left( p_{1},p_{2}\right)<\left( p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime }\right) \)を満たす価格ベクトル\(\left(p_{1},p_{2}\right) ,\left( p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と効用水準\(v\in U\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&2\sqrt{p_{1}p_{2}v}\quad \because \left(
1\right) \\
&<&2\sqrt{p_{1}^{\prime }p_{2}^{\prime }v}\quad \because \left(
p_{1},p_{2}\right) <\left( p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime }\right) \text{かつ}v>0 \\
&=&e\left( p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime },v\right) \quad \because \left(
1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(e\)は価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に関して狭義単調増加です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

支出関数は目標効用水準に関して狭義単調増加

支出最小化問題に直面した消費者の支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と\(v<v^{\prime }\)を満たす目標効用水準\(v,v^{\prime }\in U\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{equation*}e\left( p,v\right) <e\left( p,v^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、消費者が直面する商品の価格を一定にした上で目標効用水準を上昇させる場合、支出最小化問題の最適解における支出額が増加することが保証されます。つまり、支出関数\(e\)は目標効用水準\(v\)に関して狭義単調増加であるということです。

命題(支出関数は目標効用水準に関して狭義単調増加)
支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall v,v^{\prime }\in U:\left[ v<v^{\prime }\Rightarrow
e\left( p,v\right) <e\left( p,v^{\prime }\right) \right] \end{equation*}を満たす。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。

証明

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例(支出関数は目標効用水準に関して狭義単調増加)
繰り返しになりますが、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\sqrt{p_{1}p_{2}v} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と\(v<v^{\prime }\)を満たす効用水準\(v,v^{\prime }\in U\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&2\sqrt{p_{1}p_{2}v}\quad \because \left(
1\right) \\
&<&2\sqrt{p_{1}p_{2}v^{\prime }}\quad \because 0<v<v^{\prime } \\
&=&e\left( p_{1},p_{2},v^{\prime }\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(e\)は目標効用水準\(v\)に関して狭義単調増加です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

支出関数の1次同次性

支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)と補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U,\ \forall x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) :e\left(
p,v\right) =p\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、以上の関係と補償需要対応\(H^{\ast }\)が価格ベクトル\(p\)に関して0次同次であることを利用すると、支出関数\(e\)が価格ベクトル\(p\)に関して1次同次であること、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:e\left( \lambda p,v\right) =\lambda e\left( p,v\right)
\end{equation*}が導かれます。つまり、目標効用水準を一定にした上ですべての商品の価格を同じ割合\(\lambda \)で増加させる場合、その変化の前後において最適な支出水準もまた割合\(\lambda \)で増加します。

命題(支出関数の1次同次性)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるならば、支出関数\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)は価格ベクトル\(p\)に関して1次同次性を満たす。
証明

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例(支出関数の1次同次性)
繰り返しになりますが、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\sqrt{p_{1}p_{2}v} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と目標効用水準\(v\in U\)および\(\lambda >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}e\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},v\right) &=&2\sqrt{\lambda p_{1}\lambda
p_{2}v}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&2\lambda \sqrt{p_{1}p_{2}v}\quad \because \lambda >0 \\
&=&\lambda e\left( p_{1},p_{2},v\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(e\)は\(p\)に関して1次同次です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

支出関数は凹関数

支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)において目標効用\(v\in U\)を任意の水準に固定した場合、\(e\)は価格ベクトル\(p\)を変数として持つ関数\(e\left( \cdot ,v\right) \)になりますが、これは凹関数になることが保証されます。つまり、\(v\in U\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda e\left(
p,v\right) +\left( 1-\lambda \right) e\left( p^{\prime },v\right) \leq
e\left( \lambda p+\left( 1-\lambda \right) p^{\prime },v\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます

命題(支出関数は凹関数)
支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)は価格ベクトル\(p\)に関して凹関数である。
証明

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例(支出関数は凹関数)
繰り返しになりますが、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\sqrt{p_{1}p_{2}v} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(e\)は多変数の単項式関数\(p_{1}p_{2}v\)と無理関数の合成関数の定数倍であるため\(C^{2}\)級であるとともに、そのヘッセ行列は、\begin{equation*}\nabla ^{2}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =\begin{pmatrix}
-\frac{p_{2}^{2}v^{2}}{2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{3}{2}}} & \frac{\left( vp_{1}p_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}}{2p_{1}p_{2}} \\
\frac{\left( vp_{1}p_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}}{2p_{1}p_{2}} & -\frac{p_{1}^{2}v^{2}}{2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{3}{2}}}\end{pmatrix}\end{equation*}となります。さらに、その小行列式に関して、\begin{eqnarray*}
\det \left( -\frac{p_{2}^{2}v^{2}}{2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{3}{2}}}\right) &<&0 \\
\det \left( -\frac{p_{1}^{2}v^{2}}{2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{3}{2}}}\right) &<&0 \\
\det
\begin{pmatrix}
-\frac{p_{2}^{2}v^{2}}{2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{3}{2}}} & \frac{\left( vp_{1}p_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}}{2p_{1}p_{2}} \\
\frac{\left( vp_{1}p_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}}{2p_{1}p_{2}} & -\frac{p_{1}^{2}v^{2}}{2\left( p_{1}p_{2}v\right) ^{\frac{3}{2}}}\end{pmatrix}
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(e\)は\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に関して凹関数です。

次回はシェファードの補題について解説します。

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