準線型効用関数のもとでの所得効果
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の消費者の選好が準線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(u\)がそれぞれの消費ベクトル\(x=\left(x_{i},x_{-i}\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、ある関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}u\left( x\right) &=&x_{i}+v\left( x_{-i}\right) \\
&=&x_{i}+v\left( x_{1},\cdots x_{i-1},x_{i+1},\cdots ,x_{N}\right)
\end{eqnarray*}と表されるということです。つまり、消費ベクトル\(x\)から得られる効用が、商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)と他の商品の消費\(x_{-i}\)から得られる効用\(v\left( x_{-i}\right) \)の和として表されるということです。この場合、商品\(i\)をニュメレールと呼びます。
関数\(v\)が\(C^{1}\)級の凹関数である場合には\(u\)もまた\(C^{1}\)級の凹関数であるため需要関数\(x^{\ast }\left(p,w\right) \)が存在します。加えて、\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)が内点解であるならば、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{1}{p_{i}} \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial v\left( x_{-i}^{\ast }\left( p,w\right)
\right) }{\partial x_{j}}=\frac{p_{j}}{p_{i}}\quad \left( j\in \left\{
1,\cdots ,N\right\} \backslash \left\{ i\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ w-p\cdot x^{\ast }\left( p,w\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \in \mathbb{R} \)が存在します。さらに、関数\(v\)が\(C^{2}\)級の狭義凹関数である場合には所得効果が以下のようになります。証明では陰関数定理を利用します。
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(C^{2}\)級の狭義凹関数であるものとする。\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }=\left( x_{i}^{\ast },x_{-i}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する。加えて、\(x^{\ast }\)が内点解であるならば、\(\left( p,w\right) \)におけるニュメレールとは異なる任意の商品\(j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \backslash \left\{ i\right\} \)の需要への所得効果は、\begin{equation*}D_{w}x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) =0
\end{equation*}であるとともに、ニュメレール\(i\)の需要への所得効果は、\begin{equation*}D_{w}x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{1}{p_{i}}
\end{equation*}である。
消費者の選好が狭義凹の準線型効用関数によって表されるとともに、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)における効用最大化問題の解が内点解である場合、\(\left( p,w\right) \)におけるニュメレール\(i\)の需要の所得効果は、\begin{equation*}D_{w}x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{1}{p_{i}}>0
\end{equation*}である一方で、ニュメレールとは異なる任意の商品\(j\)の需要の所得効果は、\begin{equation*}D_{w}x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) =0
\end{equation*}であることが明らかになりました。つまり、消費者による効用最大化を前提とした場合、\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させるとニュメレール\(i\)の需要は増加する一方で、ニュメレールとは異なる任意の商品\(j\)の需要は変化しません。端的に表現すると、\(\left(p,w\right) \)においてニュメレール\(i\)は上級財である一方で、ニュメレールとは異なる任意の商品\(j\)は中級財であるということです。
準線型効用関数のもとでの価格効果
先と同様の状況を想定した場合、価格効果は以下のようになります。
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(C^{2}\)級の狭義凹関数であるものとする。\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }=\left( x_{i}^{\ast },x_{-i}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する。加えて、\(x^{\ast }\)が内点解であるならば、\(\left( p,w\right) \)におけるニュメレールとは異なる任意の商品\(j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \backslash \left\{ i\right\} \)の需要への自己価格効果は、\begin{equation*}D_{p_{j}}x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{1}{p_{i}\cdot \dfrac{\partial
^{2}v\left( x_{-i}^{\ast }\left( p,w\right) \right) }{\partial x_{j}^{2}}}<0
\end{equation*}であり、ニュメレール\(i\)の価格に関する交差価格効果は、\begin{equation*}D_{p_{i}}x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) =-\frac{p_{j}}{p_{i}^{2}\cdot \dfrac{\partial ^{2}v\left( x_{-i}^{\ast }\left( p,w\right) \right) }{\partial
x_{j}^{2}}}>0
\end{equation*}である。また、ニュメレール\(i\)の需要への自己価格効果は、\begin{equation*}D_{p_{i}}x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{1}{p_{i}^{3}}\sum_{j\not=i}\frac{p_{j}^{2}}{\dfrac{\partial ^{2}v\left( x_{-i}^{\ast }\left( p,w\right)
\right) }{\partial x_{j}^{2}}}<0
\end{equation*}である。
消費者の選好が狭義凹の準線型効用関数によって表されるとともに、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)における効用最大化問題の解が内点解である場合、\(\left( p,w\right) \)におけるニュメレールとは異なる任意の商品\(j\in \left\{ 1,\cdots,N\right\} \backslash \left\{ i\right\} \)の需要への自己価格効果は、\begin{equation*}D_{p_{j}}x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) <0
\end{equation*}を満たすことが明らかになりました。つまり、消費者による効用最大化を前提とした場合、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格を上昇させると商品\(j\)の需要は減少します。端的に表現すると、\(\left( p,w\right) \)において商品\(j\)は普通財であるということです。一方、商品\(j\)の需要へのニュメレール\(i\)の価格に関する交差価格効果は、\begin{equation*}D_{p_{i}}x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) >0
\end{equation*}を満たすことが明らかになりました。つまり、消費者による効用最大化を前提とした場合、\(\left( p,w\right) \)を出発点にニュメレールの価格を上昇させると商品\(j\)の需要は増加します。端的に表現すると、\(\left( p,w\right) \)において商品\(j\)はニュメレール\(i\)の粗代替財であるということです。
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