効用最大化問題の内点解

ワルラスの法則が成り立つとき、効用最大化問題の解が消費集合の内点である場合、そのような解を内点解と呼びます。内点解において、任意の2つの商品の限界代替率と相対価格は一致します。

効用最大化問題の内点解

消費集合\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)がワルラスの法則を満たす場合、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題は、\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}u\left( x\right) \quad s.t.\quad x\in \overline{B}\left( p,w\right)
\end{equation*}と定式化されます。つまり、この問題に最適解\(x^{\ast }\)が存在する場合、それは予算超平面\(\overline{B}\left( p,w\right) \)の点になりますが、それは消費集合\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)の内部\( \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合と、\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界\( \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合の2通りが起こり得ます。特に、最適解\(x^{\ast }\)が消費集合の内部の点である場合には、すなわち、\begin{equation*}
x^{\ast }\in \overline{B}(p,w)\cap \mathbb{R} _{++}^{N}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(x^{\ast }\)を内点解(interior solution)と呼びます。上の条件を言い換えると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ p\cdot x^{\ast }=w \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast }>0
\end{eqnarray*}となります。つまり、消費者は内点解において所得をすべて使い切るとともに、すべての商品の需要は正の実数になります。

 

効用最大化問題の内点解が満たす条件

復習になりますが、消費集合\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が存在するとともに、需要対応\(X^{\ast }\)は非空値をとります。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、任意の\(\left( p,w\right) \)と\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \nabla u(x^{\ast })\leq \lambda ^{\ast }p \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }(w-p\cdot x^{\ast })=0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ \nabla u\left( x^{\ast }\right) -\lambda ^{\ast }p\right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

さらに、\(\succsim \)が局所非飽和性を満たすとともに、\(x^{\ast }\)が内点解であるとしましょう。\(\succsim \)の局所非飽和性より\(u\)はワルラスの法則\(p\cdot x^{\ast }=w\)を満たすため、\(\left( B\right) \)は等号で成立します。さらに、\(x^{\ast }\)が内点解であることから任意の商品\(i\)について\(x_{i}^{\ast }>0\)が成り立ちますが、このとき\(\left( A\right) \)と\(\left( C\right) \)より\(\nabla u\left( x^{\ast }\right) =\lambda ^{\ast }p\)が成り立ちます。

命題(効用最大化問題の内点解)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は非空値をとる。さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( c\right) \ \succsim \text{は局所非飽和性を満たす} \\
&&\left( d\right) \ u\text{は}C^{1}\text{級である}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と内点解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \nabla u\left( x^{\ast }\right) =\lambda ^{\ast }p \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
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限界代替率と相対価格にもとづく内点解の解釈

先の命題より、任意の\(\left( p,w\right) \)と内点解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)について、\begin{equation*}
\nabla u(x^{\ast })=\lambda ^{\ast }p
\end{equation*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\geq 0\)が存在します。したがって、任意の商品\(i\)について、\begin{equation*}
\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}=\lambda ^{\ast
}p_{i}
\end{equation*}が成り立ちますが、\(p_{i}>0\)ゆえに、\begin{equation*}
\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{p_{i}}=\lambda ^{\ast }
\end{equation*}が成り立ちます。

任意の2つの商品\(i,j\)を選んだとき、同様の議論が成立するため、\begin{equation*}
\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{p_{i}}=\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{p_{j}}=\lambda ^{\ast }
\end{equation*}が成り立ちます。特に、\(\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}>0\)である場合には、\begin{equation*}
\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}=\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(効用最大化問題の内点解)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は非空値をとる。さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( c\right) \ \succsim \text{は局所非飽和性を満たす} \\
&&\left( d\right) \ u\text{は}C^{1}\text{級である}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と内点解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)、そして任意の商品\(i,j\in \{1,\cdots ,N\}\)について、\begin{equation*}
\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{p_{i}}=\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}>0\)ならば、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}となる。
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つまり、効用最大化問題の内点解\(x^{\ast }\)において、任意の2つの商品\(i,j\)の間の限界代替率\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は一致しますが、これにはどのような意味があるのでしょうか。

消費ベクトル\(x\)における限界代替率\(MRS_{ij}\left( x\right) \)とは、\(x\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)単位変化させてもなお、効用水準を\(u(x)\)に保つために変化させる必要のある商品\(j\)の量を表しています。言い換えると、消費者が\(x\)を選択しているとき、消費者にとって\(1\)単位の商品\(i\)の主観的な価値は、\(MRS_{ij}\left( x\right) \)単位の商品\(j\)と一致するということです。一方、相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)とは、商品\(i\)の価格が商品\(j\)の価格の何倍であるかを表す指標です。言い換えると、市場において\(1\)単位の商品\(i\)と\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)単位の商品\(j\)が交換可能であるということです。

消費ベクトル\(x\)において\(MRS_{ij}\left( x\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合について考えます。このとき消費者にとって、\(1\)単位の商品\(i\)をそのまま保有するのと、それを市場において商品\(j\)と交換するのとでは、どちらの方がより望ましいでしょうか。消費者は\(1\)単位の商品\(i\)の価値を\(MRS_{ij}\left( x\right) \)単位の商品\(j\)と同じ程度に評価しています。一方、\(1\)単位の商品\(i\)を市場で販売すれば、それと引き換えに商品\(j\)を\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)単位だけ得られます。したがって、\(MRS_{ij}\left( x\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}} \)が成り立つ場合、消費者の立場からは市場が財\(j\)を過小評価しているように見えるため、市場において商品\(i\)を売って商品\(j\)を買った方が得であり、そのような取引を通じて、消費者は\(\frac{p_{i}}{p_{j}}-MRS_{ij}(x)\ \left( >0\right) \)単位の商品\(j\)の分だけ得をします。限界代替率逓減の法則が成り立つ場合、商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)が減少して商品\(j\)の消費量が増加すると\(MRS_{ij}\left( x\right) \)が大きくなるため、先の取引の結果、\(MRS_{ij}\left( x\right) \)と\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)の差が縮小します。

逆に、\(MRS_{ij}\left( x\right) >\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合、これは\(MRS_{ji}\left( x\right) <\frac{p_{j}}{p_{j}}\)を意味するため、上の議論において商品\(i\)と商品\(j\)を入れ替えた議論がそのまま成立します。つまり、このとき、消費者の立場からは市場が財\(i\)を過小評価しているように見えるため、市場において商品\(j\)を売って商品\(i\)を買った方が得であり、そのような取引を通じて、消費者は\(\frac{p_{j}}{p_{i}}-MRS_{ji}(x)\ \left( >0\right) \)単位の商品\(i\)の分だけ得をします。限界代替率逓減の法則が成り立つ場合、商品\(j\)の消費量\(x_{i}\)が減少して商品\(i\)の消費量が増加すると\(MRS_{ij}\left( x\right) \)が小さくなるため、先の取引の結果、\(MRS_{ij}\left( x\right) \)と\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)の差が縮小します。

同様の議論は任意の商品\(i,j\)の間に成立します。その結果、最終的には、任意の商品\(i,j\)について\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成立するような消費ベクトル\(x^{\ast }\)が主体的均衡になります。効用最大化問題の内点解\(x^{\ast }\)において任意の2つの商品\(i,j\)の間の限界代替率\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が一致することの背景には、このようなメカニズムがあります。

 

内点解の図解

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、局所非飽和性、狭義凹性を満たす場合には、\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u\)や、連続な需要関数\(x^{\ast }\)が存在するとともにワルラスの法則が成り立ちます。したがって、価格ベクトルと所得の組\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における需要\(x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \)が内点解であるならば、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x_{i}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) >0\quad \left(
i=1,2\right) \\
&&\left( b\right) \ p_{1}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
+p_{2}x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =w \\
&&\left( c\right) \ MRS_{12}\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\right) =\frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

図:効用最大化問題の内点解
図:効用最大化問題の内点解

上図中の点\(x^{\ast }\)は消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の内点であるため、先の条件\(\left( a\right) \)を満たします。上図のグレーの領域が無差別集合\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)に相当しますが、点\(x^{\ast }\)はその境界である予算線上の点であるため、先の条件\(\left( b\right) \)が満たされます。また、\(MRS_{12}\left( x^{\ast }\right) \)は無差別曲線\(I\left( x^{\ast }\right) \)上の点\(x^{\ast }\)における接線の傾きの絶対値に相当し、価格比\(\frac{p_{1}}{p_{2}}\)は予算線の傾きの絶対値に相当します。上図中の点\(x^{\ast }\)において無差別曲線\(I\left( x^{\ast }\right) \)と予算集合\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)に接しているため、点\(x^{\ast }\)は先の条件\(\left( c\right) \)を満たします。したがって、上図の点\(x^{\ast }\)は内点解を図示したものになっています。

次回は効用最大化問題の端点解について解説します。

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