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効用最大化問題の内点解

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効用最大化問題の内点解

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合にはワルラスの法則が成り立つため、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & u\left( x\right) \\
s.t. & p\cdot x=w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
と定式化されます。この問題に最適解\(x^{\ast }\)が存在する場合、それは消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の内点すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合と、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点すなわち\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合の2通りが起こり得ます。特に、最適解\(x^{\ast }\)が内点解(interior solution)である場合、すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合には、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ p\cdot x^{\ast }=w \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast }>0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。条件\(\left( a\right) \)は最適解\(x^{\ast }\)において所得\(w\)をすべて使い切ることを意味し、条件\(\left( b\right) \)は最適解\(x^{\ast }\)においてすべての商品の需要が正の実数であることを意味します。

例(効用最大化問題の内点解)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます(確認してください)。\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}p_{1}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) +p_{2}x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) &=&p_{1}\cdot \frac{w}{2p_{1}}+p_{2}\cdot \frac{w}{2p_{2}}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{w}{2}+\frac{w}{2} \\
&=&w
\end{eqnarray*}となるためワルラスの法則が成立しています。さらに、\begin{eqnarray*}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{w}{2p_{1}}>0 \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{w}{2p_{2}}>0
\end{eqnarray*}が成り立つため\(x^{\ast }\left(p_{1},p_{2},w\right) \)は内点解です。

 

効用最大化問題の内点解であるための必要条件

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとります。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と任意の\(x^{\ast }\in X\left( p,w\right) ^{{}}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \nabla u(x^{\ast })\leq \lambda ^{\ast }p \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }(w-p\cdot x^{\ast })=0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ \nabla u\left( x^{\ast }\right) -\lambda ^{\ast }p\right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。さらに、\(\succsim \)が局所非飽和性を満たすとともに、\(x^{\ast }\)が内点解であるとしましょう。\(\succsim \)の局所非飽和性よりワルラスの法則\begin{equation*}p\cdot x^{\ast }=w
\end{equation*}が成り立つため\(\left( B\right) \)が成立します。さらに\(x^{\ast }\)が内点解であることから任意の商品\(i\)について\(x_{i}^{\ast }>0\)となるため、\(\left( C\right) \)より、\begin{equation*}\nabla u\left( x^{\ast }\right) =\lambda ^{\ast }p
\end{equation*}を得ます。このとき\(\left( A\right) \)は等号で成立します。したがって以下の命題を得ます。

命題(効用最大化問題の内点解であるための必要条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、さらに局所非飽和性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとる。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、任意の\(\left(p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と内点解\(x^{\ast }\in X\left( p,w\right) ^{{}}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \nabla u\left( x^{\ast }\right) =\lambda ^{\ast }p \\
&&\left( B\right) \ w-p\cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
例(効用最大化問題の内点解であるための必要条件)
先と同様、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。先に確認したようにこれは内点解であるとともに先の命題中の条件\(\left( B\right) \)を満たします。さらに、\begin{eqnarray*}\nabla u\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) &=&\left( \frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) }{\partial
x_{1}},\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) }{\partial x_{2}}\right) \\
&=&\left( \frac{w}{2p_{1}},\frac{w}{2p_{2}}\right) \quad \because \left(
1\right) \text{および}u\text{の定義} \\
&=&\frac{w}{2p_{1}p_{2}}\left( p_{1},p_{2}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }=\frac{w}{2p_{1}p_{2}}>0
\end{equation*}とおくことにより、条件\(\left( A\right) ,\left( C\right) \)が満たされます。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

限界代替率と相対価格にもとづく内点解の解釈

先の命題より、任意の\(\left( p,w\right) \)と内点解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)において、\begin{equation*}\nabla u(x^{\ast })=\lambda ^{\ast }p
\end{equation*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\geq 0\)が存在します。つまり、任意の商品\(i\)について、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}=\lambda ^{\ast
}p_{i}
\end{equation*}が成り立ちますが、\(p_{i}>0\)ゆえに、\begin{equation*}\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{p_{i}}=\lambda ^{\ast }
\end{equation*}と変形可能です。2つの商品\(i,j\)を任意に選んだとき同様の議論が成立するため、\begin{equation*}\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{p_{i}}=\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{p_{j}}=\lambda ^{\ast }
\end{equation*}が成り立ちます。特に、\(\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}>0\)である場合には、\begin{equation*}\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}=\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって以下の命題を得ます。

命題(限界代替率と相対価格にもとづく内点解の解釈)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、さらに局所非飽和性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとる。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、任意の\(\left(p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と内点解\(x^{\ast }\in X\left( p,w\right) ^{{}}\)および任意の商品\(i,j\in\left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)について、\begin{equation*}\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{p_{i}}=\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{p_{j}}
\end{equation*}という関係が成り立つ。特に、\(\frac{\partial u\left( x^{\ast}\right) }{\partial x_{j}}>0\)ならば、\begin{equation*}\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}=\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立つ。

例(限界代替率と相対価格にもとづく内点解の解釈)
先と同様、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。先に確認したようにこれは内点解です。この内点解において、\begin{eqnarray*}
MRS_{12}\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) &=&\frac{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) }{\partial
x_{1}}}{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right)
}{\partial x_{2}}}\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{\frac{w}{2p_{2}}}{\frac{w}{2p_{1}}}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。

先の命題は、効用最大化問題の内点解\(x^{\ast }\)において任意の2つの商品\(i,j\)の間の限界代替率\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は一致することを主張していますが、これにはどのような意味があるのでしょうか。

消費ベクトル\(x\)における限界代替率\(MRS_{ij}\left( x\right) \)とは、\(x\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)単位変化させてもなお、効用水準を\(u(x)\)に保つために変化させる必要のある商品\(j\)の量を表しています。言い換えると、消費者が\(x\)を選択しているとき、消費者にとって\(1\)単位の商品\(i\)の主観的な価値は\(MRS_{ij}\left( x\right) \)単位の商品\(j\)と一致するということです。一方、相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)とは、商品\(i\)の価格が商品\(j\)の価格の何倍であるかを表す指標です。言い換えると、市場において\(1\)単位の商品\(i\)と\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)単位の商品\(j\)が交換可能であるということです。

消費ベクトル\(x\)において\(MRS_{ij}\left( x\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合について考えます。このとき消費者にとって、\(1\)単位の商品\(i\)をそのまま保有するのと、それを市場において商品\(j\)と交換するのとではどちらの方がより望ましいでしょうか。消費者は\(1\)単位の商品\(i \)の価値を\(MRS_{ij}\left( x\right) \)単位の商品\(j\)と同じ程度に評価しています。一方、\(1\)単位の商品\(i\)を市場で販売すれば、それと引き換えに商品\(j\)を\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)単位だけ得られます。したがって、\(MRS_{ij}\left( x\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合、消費者の立場からは市場が財\(j\)を過小評価しているように見えるため、市場において商品\(i\)を売って商品\(j\)を買った方が得であり、そのような取引を通じて、消費者は\(\frac{p_{i}}{p_{j}}-MRS_{ij}(x)\ \left( >0\right) \)単位の商品\(j\)の分だけ得をします。限界代替率逓減の法則が成り立つ場合、商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)が減少して商品\(j\)の消費量\(x_{j}\)が増加すると\(MRS_{ij}\left( x\right) \)が大きくなるため、先の取引の結果、\(MRS_{ij}\left( x\right) \)と\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)の差が縮小します。

逆に、\(MRS_{ij}\left( x\right) >\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合、これは\(MRS_{ji}\left( x\right) <\frac{p_{j}}{p_{j}}\)を意味するため、上の議論において商品\(i\)と商品\(j\)を入れ替えた議論がそのまま成立します。つまり、このとき、消費者の立場からは市場が財\(i\)を過小評価しているように見えるため、市場において商品\(j\)を売って商品\(i\)を買った方が得であり、そのような取引を通じて、消費者は\(\frac{p_{j}}{p_{i}}-MRS_{ji}(x)\ \left( >0\right) \)単位の商品\(i\)の分だけ得をします。限界代替率逓減の法則が成り立つ場合、商品\(j\)の消費量\(x_{i}\)が減少して商品\(i\)の消費量が増加すると\(MRS_{ij}\left( x\right) \)が小さくなるため、先の取引の結果、\(MRS_{ij}\left( x\right) \)と\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)の差が縮小します。

同様の議論は任意の商品\(i,j\)の間に成立します。その結果、最終的には、任意の商品\(i,j\)について\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成立するような消費ベクトル\(x^{\ast }\)が主体的均衡になります。効用最大化問題の内点解\(x^{\ast }\)において任意の2つの商品\(i,j\)の間の限界代替率\(MRS_{ij}\left( x^{\ast}\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が一致することの背景にはこのようなメカニズムがあります。

 

効用最大化問題の内点解の幾何学的解釈

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たす場合には、\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u\)や、連続な需要関数\(x^{\ast }\)が存在するとともにワルラスの法則が成り立ちます。したがって、価格ベクトルと所得の組\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における需要\(x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \)が内点解であるならば、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x_{i}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) >0\quad \left(
i=1,2\right) \\
&&\left( b\right) \ p_{1}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
+p_{2}x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =w \\
&&\left( c\right) \ MRS_{12}\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\right) =\frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

図:効用最大化問題の内点解
図:効用最大化問題の内点解

上図中の点\(x^{\ast }\)は消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の内点であるため、先の条件\(\left( a\right) \)を満たします。上図のグレーの領域が予算集合\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)に相当しますが、点\(x^{\ast }\)はその境界である予算線上の点であるため、先の条件\(\left( b\right) \)が満たされます。また、\(MRS_{12}\left(x^{\ast }\right) \)は無差別曲線\(I\left(x^{\ast }\right) \)上の点\(x^{\ast }\)における接線の傾きの絶対値に相当し、価格比\(\frac{p_{1}}{p_{2}}\)は予算線の傾きの絶対値に相当します。上図中の点\(x^{\ast }\)において無差別曲線\(I\left(x^{\ast }\right) \)と予算集合\(B\left(p_{1},p_{2},w\right) \)に接しているため、点\(x^{\ast }\)は先の条件\(\left( c\right) \)を満たします。したがって、上図の点\(x^{\ast }\)は内点解を図示したものになっています。

 

演習問題

問題(効用最大化問題の内点解)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。このとき、\begin{equation*}
MRS_{12}\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) =\frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{equation*}が成り立つことを確認してください。

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次回は効用最大化問題の端点解について解説します。

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