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CONSUMER THEORY

ヒックスの補償需要関数

目次

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ヒックスの補償需要対応

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、価格ベクトルと目標効用となる水準の組\(\left(p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \)のもとでの支出最小化問題は、以下のような制約付き最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in X}\ p\cdot x\quad s.t.\quad u\left( x\right) \geq v
\end{equation*}として定義されます。一般に、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題には解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そのような事情を踏まえた上で、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解であるような消費ベクトルからなる集合を\(H^{\ast }\left( p,v\right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}H^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{ x\in X\ |\ u\left( x\right) \geq v\wedge
\forall y\in X:\left[ u\left( y\right) \geq v\Rightarrow p\cdot y\geq p\cdot
x\right] \right\}
\end{equation*}です。さらに、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \)に対して\(H^{\ast}\left( p,v\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \twoheadrightarrow X
\end{equation*}を補償需要対応(compensated demand correspondence)やヒックスの補償需要対応(Hicksian demand correspondence)などと呼びます。

例(ヒックスの補償需要対応)
2財モデルにおいて消費集合が\(X=\left\{ 0,1,2,3\right\} \times \left\{0,1,2,3\right\} \)であり、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。価格ベクトルと目標効用水準の組が、\begin{equation*}
\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left( 2,3,6\right)
\end{equation*}で与えられているとき、そこでの支出最小化問題は、

$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & 2x_{1}+3x_{2} \\
s.t. & x_{1}+2x_{2}\geq 6 \\
& x_{1}\in \left\{ 0,1,2,3\right\} \\
& x_{2}\in \left\{ 0,1,2,3\right\}
\end{array}$$
となります。これを解くと、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 0,3\right) ,\left( 2,2\right)
\end{equation*}という2つの解が得られるため(確認してください)、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times u\left( X\right) \twoheadrightarrow X\)は、\begin{equation*}H^{\ast }\left( 2,3,6\right) =\left\{ \left( 0,3\right) ,\left( 2,2\right)
\right\}
\end{equation*}を満たします。また、価格ベクトルと目標効用水準の組が、\begin{equation*}
\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left( 3,4,2\right)
\end{equation*}で与えられているとき、そこでの支出最小化問題は、

$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & 3x_{1}+4x_{2} \\
s.t. & x_{1}+2x_{2}\geq 2 \\
& x_{1}\in \left\{ 0,1,2,3\right\} \\
& x_{2}\in \left\{ 0,1,2,3\right\}
\end{array}$$
となります。これを解くと、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 0,1\right)
\end{equation*}という1つの解が得られるため(確認してください)、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times u\left( X\right) \twoheadrightarrow X\)は、\begin{equation*}H^{\ast }\left( 3,4,2\right) =\left\{ \left( 0,1\right) \right\}
\end{equation*}を満たします。

補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \twoheadrightarrow X\)が与えられたとき、\(\left( p,v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \)に対して、\begin{equation*}H^{\ast }\left( p,v\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(H^{\ast }\)が\(\left( p,v\right) \)において非空値をとることは、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題に解が存在することを意味します。さらに、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) :H^{\ast }\left( p,v\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(H^{\ast }\)が非空値をとることは、価格ベクトルと目標効用の水準に関わらず、支出最小化問題には必ず解が存在することを意味します。では、どのような条件のもとで\(H^{\ast }\)は非空値をとるのでしょうか。ベルジュの最大値定理を用いることにより以下の命題が導かれます。

命題(支出最小化問題に解が存在するための条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応となる。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。

証明

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消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には\(\succsim \)は合理性を満たします。また、\(u\)が連続関数である場合には\(\succsim \)は連続性を満たします。したがって、選好関係\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u\)が存在する場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、この場合にも補償需要対応\(H^{\ast }\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)上において非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になることが保証されます。以下が具体例です。

例(支出最小化問題に解が存在するための条件)
2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\left( 0,0\right) =0\)であるため、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}です。この関数\(u\)は連続であるため、上の命題より、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応であることが保証されます。非空値をとることに関して言えば、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)を選んだとき、そこでの支出最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} \\
s.t. & x_{1}+x_{2}\geq v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0
\end{array}$$
と表現されますが、\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \)の水準に依らず、上の問題に解が存在することが保証されるということです。上の問題の解を導出する具体的な方法については場を改めて解説します。

 

ヒックスの補償需要関数

補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \twoheadrightarrow X\)が非空値をとるとともに、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) :\left\vert H^{\ast }\left( p,v\right)
\right\vert =1
\end{equation*}を満たす場合には、価格ベクトルと目標効用の水準に関わらず、支出最小化問題には必ず解が1つずつ存在することを意味します。この場合、集合\(H^{\ast }\left( p,v\right) \)とその唯一の要素を同一視することにより、補償需要対応\(H^{\ast }\)を\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \)から\(X\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を、\begin{equation*}h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \rightarrow X
\end{equation*}と表記し、これを補償需要関数(compensated demand function)やヒックスの補償需要関数(Hicksian demand function)などと呼びます。定義より、補償需要対応\(H^{\ast }\)と補償需要関数\(h^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) :H^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{
h^{\ast }\left( p,v\right) \right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

補償需要関数\(h^{\ast }\)がそれぞれの\(\left( p,v\right) \)に対して定める像\(h^{\ast }\left( p,v\right) \)は消費ベクトルであるため、その成分を明示的に表現する場合には、\begin{equation*}h^{\ast }(p,v)=\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }(p,v) \\
\vdots \\
h_{N}^{\ast }(p,v)\end{array}\right) \in X
\end{equation*}と表記します。ただ、多くの場合、スペースの制約を考慮した上で、これを行ベクトル\begin{equation*}
h^{\ast }(p,v)=\left( h_{1}^{\ast }(p,v),\cdots ,h_{N}^{\ast }(p,v)\right)
\in X
\end{equation*}として表記することもできるものとします。本来、列ベクトルと行ベクトルは数学的には互いに区別されるべき概念ですが、ここでは特に断りのない限り両者を同一視し、両者は交換可能であるものとします。

補償需要対応\(H^{\ast }\)が非空値をとるための条件は先に明らかにしましたが、では、どのような条件のもとで補償需要関数\(h^{\ast }\)は存在するのでしょうか。消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u\)が存在するとともに補償需要対応\(H^{\ast }\)が非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になることは先に指摘した通りです。加えて、選好\(\succsim \)は狭義凸性を満たすものとします。これは、\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が狭義準凹関数であるための必要十分条件です。\(u\)の狭義準凹性を利用すると、それぞれの\(\left( p,v\right) \)において支出最小化問題の解が一意的であることが示されるため(演習問題にします)、補償需要対応\(H^{\ast }\)がそれぞれの点\(\left( p,v\right) \)に対して定める集合が1点集合であること、すなわち補償需要関数\(h^{\ast }\)が存在することが保証されます。加えて、補償需要対応\(H^{\ast }\)が上半連続であることと補償需要関数\(h^{\ast }\)が連続であることは必要十分であるため(演習問題にします)、補償需要関数\(h^{\ast }\)が連続であることも保証されます。

命題(補償需要関数が存在するための条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、狭義凸性を満たす場合、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在するとともに、\(h^{\ast }\)は連続関数になる。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。

証明

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消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には\(\succsim \)は合理性を満たします。また、\(u\)が連続関数である場合には\(\succsim \)は連続性を満たし、\(u\)が狭義準凹関数である場合には\(\succsim \)は狭義準凹性を満たします。したがって、選好関係\(\succsim \)を表す連続かつ狭義準凹な効用関数\(u\)が存在する場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、この場合にも連続な補償需要関数\(h^{\ast }\)が存在することが保証されます。以下が具体例です。

例(補償需要関数が存在するための条件)
2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\left( 0,0\right) =0\)であるため、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}です。この関数\(u\)は連続かつ狭義準凹であるため、上の命題より連続な補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在します。つまり、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)を選んだとき、そこでの支出最小化問題は、

$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} \\
s.t. & x_{1}x_{2}\geq v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0
$1
\end{array}$$
と表現されますが、\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \)の水準に依らず、上の問題に一意的な解が必ず存在することが保証されます。解の導出方法は場を改めて解説しますが、結論を述べると、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{x}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{y}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}} \\
\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}v\right) ^{\frac{1}{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めますが、これは連続関数です(確認してください)。

 

演習問題

問題(需要対応)
2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、補償需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times V\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)は非空値かつコンパクト値をとる連続対応であることを証明してください。ただし、\(u\left( 0,0\right) =0\)であるため、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}です。

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問題(需要関数)
2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、連続な補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在することを証明してください。ただし、\(u\left( 0,0\right) =0\)であるため、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}です。

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問題(需要対応が凸値をとるための条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性と凸性を満たす場合、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値かつコンパクト値かつ凸値をとる上半連続対応であることを証明してください。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。

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次回は補償需要対応が価格ベクトルに関して0次同次であることを解説します。

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線型効用関数のもとでの支出最小化

消費者の選好が線型効用関数によって表現されるとき、支出最小化問題には解が存在することが保証されるため、非空な補償需要対応や支出関数もまた存在します。

DISCUSSION

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