消費者が直面する支出最小化問題は価格ベクトルと目標となる効用水準に応じて変化します。そこで、価格ベクトルと目標効用水準のそれぞれの組に対して、そのときの支出最小化問題の解集合を定める対応を補償需要対応と呼びます。
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最適選択対応

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)から定義される支出最小化問題について考えます。価格ベクトルと目標となる消費ベクトルの組\(\left( p,x\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times X\)を任意に選んだとき、それに対応する支出最小化問題に解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そのような事情を踏まえた上で、それぞれの値\(\left( p,x\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times X\)に対して、それに対応する支出最小化問題の解集合\begin{equation*}
H^{\ast }\left( p,x\right) =\{y\in U\left( x\right) \ |\ \forall z\in
U\left( x\right) :p\cdot z\geq p\cdot y\}
\end{equation*}を定める対応\(H^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times X\twoheadrightarrow X\)を定義します。これを最適選択対応(optimal choice correspondence)と呼びます。

最適選択対応\(H^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times X\twoheadrightarrow X\)が非空値をとるのであれば、すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( p,x\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times X:H^{\ast }\left( p,x\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、価格ベクトル\(p\)と目標となる消費ベクトル\(x\)がどのように変化した場合でも、支出最小化問題には少なくとも 1 つの解が存在することを意味します。では、どのような条件のもとで最適選択対応は非空値をとるのでしょうか。

命題(最適選択対応が非空値をとる条件)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、最適選択対応\(H^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times X\twoheadrightarrow X\)は非空値をとる。
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補償需要対応

選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が存在する場合、支出最小化問題において目標となる消費ベクトルを選択することは、効用関数\(u\)の値域に属する何らかの効用水準\(v\in u\left( X\right) \)を選ぶことを意味します。このとき、最適選択対応\(H^{\ast }\)の定義域は\( \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \)となり、これがそれぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times u\left( X\right) \)に対して定める解集合\(H^{\ast }\left( p,v\right) \subset X\)は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ u\left( x\right) \geq v \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in X:\left[ u\left( y\right) \geq v\
\Rightarrow \ p\cdot y\geq p\cdot x\right] \end{eqnarray*}をともに満たす消費ベクトル\(x\in X\)からなる集合となります。このように読み替えたとき、\(H^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \twoheadrightarrow X\)を補償需要対応(compensated demand correspondence)やヒックスの需要対応(Hicksian demand correspondence)などと呼びます。

価格ベクトルと目標となる効用の組\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題は、以下の様な制約付き最小化問題\begin{equation*}
\min_{x\in X}\ p\cdot x\quad s.t.\quad u\left( x\right) \geq v
\end{equation*}として定式化されることを踏まえると、補償需要対応\(H^{\ast }\)が\(\left( p,v\right) \)に対して定める解集合を、\begin{equation*}
H^{\ast }\left( p,v\right) =\underset{x\in X\ s.t.\ u\left( x\right) \geq v}{\mathrm{argmin}}p\cdot x
\end{equation*}と表現することもできます。

繰り返しになりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)から定義される選好最大化問題において、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、最適選択対応\(H^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times X\twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{N}\)は非空値をとります。ただ、上の条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)はドブリューの定理が要求する条件と一致するため、選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が存在することも保証されます。したがって、最適選択対応を補償需要対応に読み替えることで以下の命題を得ます。

命題(補償需要対応が非空値をとる条件)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとともに、補償需要対応\(H^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{N}\)は非空値をとる。
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補償需要対応の性質

復習になりますが、支出最小化問題の制約条件を制約対応を用いたものに変換した場合、その前後において解集合は変化せず、なおかつ、制約対応はベルジュの最大値定理が要求する条件を満たすため、同定理を利用することにより、補償需要対応についてもう少し踏み込んだことが言えます。

具体的には、消費集合\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u: \mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、支出最小化問題を規定する目標効用水準\(v\)がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R}_{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}に制限した上で、制約対応\(S: \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{N}\)を、\begin{equation*}
S\left( p,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R}_{+}^{N}\ |\ u\left( x\right) \geq v,\ p\cdot x\leq p\cdot \overline{x}\right\}
\end{equation*}と定義します。ただし、上の条件中の\(\overline{x}\in \mathbb{R}_{+}^{N}\)は、入力した\(v\in U\)に対して、\(u\left( \overline{x}\right) =v\)を満たす消費ベクトルです。\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、以下の最適化問題\begin{equation*}
\min_{x\in \mathbb{R}_{+}^{N}}p\cdot x\quad s.t.\quad x\in S\left( p,v\right)
\end{equation*}の解集合は、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解集合\(H^{\ast }\left( p,v\right) \)と一致します。さらに、\(u\)の連続性から、制約対応\(S\)が非空値かつコンパクト値をとるとともに、優半連続対応であることが示されます。したがって、ベルジュの最大値定理より、補償対応\(H^{\ast }\)は\( \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)上において非空値かつコンパクト値をとるとともに、優半連続対応になることが示されます。

命題(補償需要対応の性質)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとともに、補償需要対応\(H^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \twoheadrightarrow X\)は\( \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)上で非空値かつコンパクト値をとるとともに、優半連続対応になる。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( X\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。
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次回から補償需要関数について解説します。

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