ヒックスの補償需要対応
消費者の選好が消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されており、さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。価格ベクトルと目標効用\(\left( p,v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \)に直面した消費者が解くべき支出最小化問題は、以下のような制約付き最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in X}\ p\cdot x\quad \text{s.t.}\quad u\left( x\right) \geq v
\end{equation*}として定式化されます。一般に、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題には解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そのような事情を踏まえた上で、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解であるような消費ベクトルからなる集合を\(H^{\ast }\left( p,v\right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}H^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{ x\in X\ |\ u\left( x\right) \geq v\wedge
\forall y\in X:\left[ u\left( y\right) \geq v\Rightarrow p\cdot y\geq p\cdot
x\right] \right\}
\end{equation*}です。さらに、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \)に対して\(H^{\ast}\left( p,v\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \twoheadrightarrow X
\end{equation*}を定義し、これを補償需要対応（compensated demand correspondence）やヒックスの補償需要対応（Hicksian demand correspondence）などと呼びます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\)がとり得る値からなる集合、すなわち\(u\)の値域は、\begin{equation*}u\left( \mathbb{R} ^{+}\right) =\mathbb{R} _{+}
\end{equation*}です。価格と目標効用所得\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{+}\)のもとでの支出最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}
\min\limits_{x} & px \\
s.t. & x^{\frac{1}{2}}\geq v \\
& x\geq 0\end{array}$$
となります。\(p>0\)ゆえに目的関数\(px\)は狭義単調増加です。したがって、制約条件を満たす最小の\(x\)のもとで目的関数は最小化されます。効用関数\(x^{\frac{1}{2}}\)は狭義単調増加であるため、\begin{equation*}x^{\frac{1}{2}}=v
\end{equation*}を満たす\(x\geq 0\)が解です。したがって、この問題の解は、\begin{equation*}x=v^{2}
\end{equation*}です。以上より、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{+}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)がそれぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{+}\)に対して定める集合は、\begin{equation*}H^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{ v^{2}\right\}
\end{equation*}です。
X=\left\{ 0,1,2,3\right\} \times \left\{ 0,1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。価格ベクトルと目標効用が、\begin{equation*}
\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left( 2,3,6\right)
\end{equation*}であるとき、そこでの支出最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}
\min\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & 2x_{1}+3x_{2} \\
s.t. & x_{1}+2x_{2}\geq 6 \\
& x_{1}\in \left\{ 0,1,2,3\right\} \\
& x_{2}\in \left\{ 0,1,2,3\right\} \end{array}$$
となります。これを解くと、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 0,3\right) ,\left( 2,2\right)
\end{equation*}という2つの解が得られるため（確認してください）、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times u\left( X\right) \twoheadrightarrow X\)は、\begin{equation*}H^{\ast }\left( 2,3,6\right) =\left\{ \left( 0,3\right) ,\left( 2,2\right)
\right\}
\end{equation*}を満たします。また、価格ベクトルと目標効用が、\begin{equation*}
\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left( 3,4,2\right)
\end{equation*}であるとき、そこでの支出最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}
\min\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & 3x_{1}+4x_{2} \\
s.t. & x_{1}+2x_{2}\geq 2 \\
& x_{1}\in \left\{ 0,1,2,3\right\} \\
& x_{2}\in \left\{ 0,1,2,3\right\} \end{array}$$
となります。これを解くと、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 0,1\right)
\end{equation*}という1つの解が得られるため（確認してください）、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times u\left( X\right) \twoheadrightarrow X\)は、\begin{equation*}H^{\ast }\left( 3,4,2\right) =\left\{ \left( 0,1\right) \right\}
\end{equation*}を満たします。
補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \twoheadrightarrow X\)が与えられたとき、価格ベクトルと目標効用\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \)に対して、\begin{equation*}H^{\ast }\left( p,v\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(H^{\ast }\)が\(\left( p,v\right) \)において非空値をとることは、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題に解が存在することを意味します。さらに、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) :H^{\ast }\left( p,v\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(H^{\ast }\)が非空値をとることは、価格ベクトルと目標効用の水準に関わらず、支出最小化問題には必ず解が存在することを意味します。では、どのような条件のもとで\(H^{\ast }\)は非空値をとるのでしょうか。ベルジュの最大値定理を用いることにより以下の命題が導かれます。
\end{equation*}である。
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合、\(\succsim \)が合理性の仮定を満たすことが保証されます。また、\(u\)が連続関数である場合には\(\succsim \)が連続性の仮定を満たすことが保証されます。したがって、選好関係\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u\)が存在する場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、補償需要対応が非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になることが保証されます。以下が具体例です。
\end{equation*}を定めるものとします。支出最小化問題において目標効用がとり得る値からなる集合は、\begin{eqnarray*}
U &=&\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \ |\ v\geq u\left( 0,0\right) \right\} \\
&=&\left\{ v\in \mathbb{R} _{+}\ |\ v\geq 0\right\} \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}です。この効用関数\(u\)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で連続であることを示します。具体的には、消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだ上で、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)へ収束する\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \left( p_{n},q_{n}\right)\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }p_{n}=x_{1} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }q_{n}=x_{2}
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の点列\(\left\{ \left( p_{n},q_{n}\right)\right\} \)を任意に選ぶということです。そのような点列と効用関数\(u\)から新たな数列\(\left\{ u\left(p_{n},q_{n}\right) \right\} \)を構成したとき、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }u\left( p_{n},q_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( p_{n}^{\frac{1}{2}}q_{n}^{\frac{1}{3}}\right) \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }p_{n}^{\frac{1}{2}}\cdot \lim_{n\rightarrow
\infty }q_{n}^{\frac{1}{3}} \\
&=&\left( \lim_{n\rightarrow \infty }p_{n}\right) ^{\frac{1}{2}}\cdot \left(
\lim_{n\rightarrow \infty }q_{n}\right) ^{\frac{1}{3}} \\
&=&x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}\quad \because \left( a\right)
,\left( b\right) \\
&=&u\left( x_{1},x_{2}\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}を満たすため、\(u\)は点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)において連続です。\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の任意の点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)において同様の議論が成立するため、\(u\)は連続関数であることが明らかになりました。したがって先の命題より、保証需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{+}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になります。
ヒックスの補償需要関数
補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \twoheadrightarrow X\)が非空値をとるとともに、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) :\left\vert H^{\ast }\left( p,v\right)
\right\vert =1
\end{equation*}を満たす場合には、価格ベクトルと目標効用の水準に関わらず、支出最小化問題には必ず解が1つずつ存在することを意味します。この場合、集合\(H^{\ast }\left( p,v\right) \)とその唯一の要素を同一視することにより、補償需要対応\(H^{\ast }\)を\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \)から\(X\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を、\begin{equation*}h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \rightarrow X
\end{equation*}で表記し、これを補償需要関数（compensated demand function）やヒックスの補償需要関数（Hicksian demand function）などと呼びます。定義より、補償需要対応\(H^{\ast }\)と補償需要関数\(h^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) :H^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{
h^{\ast }\left( p,v\right) \right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
補償需要関数\(h^{\ast }\)がそれぞれの\(\left( p,v\right) \)に対して定める像\(h^{\ast }\left( p,v\right) \)は消費ベクトルであるため、その成分を明示的に表現したい場合には、\begin{equation*}h^{\ast }(p,v)=\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }(p,v) \\
\vdots \\
h_{N}^{\ast }(p,v)\end{array}\right) \in X
\end{equation*}と表記します。多くの場合、これを行ベクトル\begin{equation*}
h^{\ast }(p,v)=\left( h_{1}^{\ast }(p,v),\cdots ,h_{N}^{\ast }(p,v)\right)
\in X
\end{equation*}として表記することもできるものとします。本来、列ベクトルと行ベクトルは数学的には互いに区別されるべき概念ですが、ここでは特に断りのない限り両者を同一視し、両者は交換可能であるものとします。
補償需要対応\(H^{\ast }\)が非空値をとるための条件は先に明らかにしましたが、では、どのような条件のもとで補償需要関数\(h^{\ast }\)は存在するのでしょうか。消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u\)が存在するとともに補償需要対応\(H^{\ast }\)が非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になることは先に指摘した通りです。加えて、選好\(\succsim \)は狭義凸性を満たすものとします。これは、\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が狭義準凹関数であることと必要十分条件です。\(u\)の狭義準凹性を利用すると、それぞれの\(\left( p,v\right) \)に対して支出最小化問題の解が一意的になることが示されるため（演習問題）、補償需要対応\(H^{\ast }\)がそれぞれの点\(\left( p,v\right) \)に対して定める集合が1点集合であること、すなわち補償需要関数\(h^{\ast }\)が存在することが保証されます。加えて、補償需要対応\(H^{\ast }\)が上半連続であることと補償需要関数\(h^{\ast }\)が連続であることは必要十分であるため（演習問題）、補償需要関数\(h^{\ast }\)が連続であることも保証されます。
\end{equation*}である。
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合には\(\succsim \)は合理性を満たします。また、\(u\)が連続関数である場合には\(\succsim \)は連続性を満たし、\(u\)が狭義準凹関数である場合には\(\succsim \)は狭義準凹性を満たします。したがって、選好関係\(\succsim \)を表す連続かつ狭義準凹な効用関数\(u\)が存在する場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、この場合にも連続な補償需要関数\(h^{\ast }\)が存在することが保証されます。なお、狭義凹関数は狭義準凹であることが保証されるため（逆は成り立つとは限らない）、効用関数が連続な狭義凹関数である場合にも上の命題が要求する条件が満たされます。
\end{equation*}を定めるものとします。支出最小化問題において目標効用がとり得る値からなる集合は、\begin{eqnarray*}
U &=&\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \ |\ v\geq u\left( 0,0\right) \right\} \\
&=&\left\{ v\in \mathbb{R} _{+}\ |\ v\geq 0\right\} \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}です。先に示したように\(u\)は連続関数です。消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の境界点\(x\)において\(u\left( x\right) =0\)である一方で内部\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)の点\(x\)において\(u\left(x\right) >0\)です。加えて、\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上において\(C^{2}\)級であるとともに、点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)におけるヘッセ行列は、\begin{equation*}H_{u}\left( x_{1},x_{2}\right) =\begin{pmatrix}
-\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}} & \frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} \\
\frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} & -\frac{2}{9}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}\end{equation*}であり、首座小行列式の値について、\begin{eqnarray*}
-\det \left( A_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&-\det \left( -\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}\right) =\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}>0 \\
\det \left( A_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&\det
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}} & \frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} \\
\frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} & -\frac{2}{9}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}=\frac{1}{36x_{1}x_{2}^{\frac{4}{3}}}>0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で狭義凹関数です。したがって先の命題より連続な補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{++}^{2}\)が存在します。補償需要関数の具体的な導出方法については後ほど解説しますが、結論だけ述べると、補償需要関数\(h^{\ast }\)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
v^{\frac{6}{5}}\left( \frac{3p_{2}}{2p_{1}}\right) ^{\frac{2}{5}} \\
v^{\frac{6}{5}}\left( \frac{2p_{1}}{3p_{2}}\right) ^{\frac{3}{5}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。それぞれの商品の補償需要\(h_{1}^{\ast },h_{2}^{\ast }\)は連続な多変数関数であるため補償需要関数\(h^{\ast }\)は連続ですが、これは先の命題の主張と整合的です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、補償需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応であることを証明してください。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応であることを示してください。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、連続な補償需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{++}^{2}\)が存在することを示してください。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}です。
\end{equation*}です。
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