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CONSUMER THEORY

ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの効用最大化

目次

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ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの効用最大化問題

消費者の選好関係\(\succsim \)がストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、消費集合\(X\subset \mathbb{R} _{+}^{N}\)は、\begin{equation*}\forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\gamma _{n}\geq 0
\end{equation*}を満たす定数\(\gamma _{1},\cdots ,\gamma_{N}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}\geq \gamma
_{n}\right\}
\end{equation*}と定義されているとともに、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\alpha _{n}>0
\\
&&\left( b\right) \ \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{eqnarray*}を満たす定数\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha _{1}}\left(
x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{\alpha _{2}}\cdots \left( x_{N}-\gamma
_{N}\right) ^{\alpha _{N}}
\end{equation*}という形で表されているということです。

ストーン・ギアリー型効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & \left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha _{1}}\left( x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{\alpha _{2}}\cdots \left( x_{N}-\gamma _{N}\right) ^{\alpha _{N}} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}\leq w \\
& x_{1}\geq \gamma _{1} \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq \gamma _{N}
\end{array}$$
と定式化されます。ストーン・ギアリー型効用関数\(u\)は連続であり、なおかつ制約条件を満たす消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合\begin{equation*}B\left( p,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}\leq w\right\}
\end{equation*}は非空なコンパクト集合であるため、最大値の定理より先の効用最大化問題には解が存在することが保証されます。

 

ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの需要関数

ストーン・ギアリー型効用関数\(u\)は消費集合の内点\(x\in X^{i}\)において\(u\left( x\right) >0\)を満たす一方、境界点\(x\in X\backslash X^{i}\)において\(u\left( x\right) =0\)を満たします。したがって、消費集合の境界点は効用最大化問題の解になり得ないため、比較対象となる消費ベクトルを消費集合の内部\(X^{i}\)の点に制限しても一般性は失われません。言い換えると、ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの効用最大化問題の解は内点解であることが保証されます。加えて、ストーン・ギアリー型効用関数は消費集合の内部\(X^{i}\)において局所非飽和性を満たすためワルラスの法則が成り立ちます。つまり、効用最大化問題の解において消費者は消費をすべて使い切ります。以上を踏まえると、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題を、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & \left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha _{1}}\left( x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{\alpha _{2}}\cdots \left( x_{N}-\gamma _{N}\right) ^{\alpha _{N}} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}=w \\
& x_{1}>\gamma _{1} \\
& \vdots \\
& x_{N}>\gamma _{N}
\end{array}$$
と表現しても一般性は失われません。ストーン・ギアリー型効用関数\(u\)は消費集合の内部\(X^{i}\)において準凹かつ\(C^{1}\)級となるため、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルはそのまま効用最大化問題の解になります。ただ、以下の要領で、問題をより扱いやすい形に変形することができます。

ストーン・ギアリー型効用関数\(u\)の定義域を消費集合の内部\(X^{i}\)に制限すると、これと自然対数関数\(\ln :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(\ln u:X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能になり、この合成関数はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in X^{i}\)に対して、\begin{equation*}\left( \ln u\right) \left( x\right) =\alpha _{1}\ln \left( x_{1}-\gamma
_{1}\right) +\cdots +\alpha _{N}\ln \left( x_{N}-\gamma _{N}\right)
\end{equation*}を定めます。自然対数関数は単調増加関数であるため、合成関数\(\ln u\)はもとの関数\(u\)の単調増加変換です。一般に、選好関係を表す効用関数の任意の単調増加変換もまた同じ選好関係を表す効用関数であるため、\(\ln u\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、消費集合の内部\(X^{i}\)に属する消費集合どうしを比較する場合、\(u\)の代わりに\(\ln u\)を分析対象としても一般性は失われません。以上を踏まえると、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題を、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & \alpha _{1}\ln \left( x_{1}-\gamma _{1}\right) +\cdots +\alpha _{N}\ln \left( x_{N}-\gamma _{N}\right) \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}=w \\
& x_{1}>\gamma _{1} \\
& \vdots \\
& x_{N}>\gamma _{N}\end{array}$$
と表現しても一般性は失われません。目的関数\(\ln u\)は連続かつ\(C^{1}\)級の凹関数であるため、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルはそのまま効用最大化問題の解になります。この問題を解くことにより以下が得られます。

命題(ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの需要関数)
消費者の選好関係\(\succsim \)がストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\gamma _{n}+\frac{\alpha _{n}}{p_{n}}\left[
w-\left( p_{1}\gamma _{1}+\cdots +p_{N}\gamma _{N}\right) \right] \end{equation*}を定める。

証明

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例(ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの需要関数)
2財モデルにおけるストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x_{1}\geq \gamma _{1}\wedge x_{2}\geq \gamma _{2}\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha }\left(
x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(0<\alpha <1\)かつ\(\gamma _{n}\geq 0\ \left( n=1,2\right) \)です。上の命題より、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\gamma _{1}+\frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\left( w-p_{1}\gamma _{1}-p_{2}\gamma
_{2}\right) \\
\gamma _{2}+\frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\left( w-p_{1}\gamma _{1}-p_{2}\gamma
_{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。

例(ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの需要関数)
3財モデルにおけるストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}\geq \gamma _{1}\wedge x_{2}\geq \gamma _{2}\wedge
x_{3}\geq \gamma _{3}\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha
}\left( x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{\beta }\left( x_{3}-\gamma _{3}\right)
^{1-\alpha -\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(0<\alpha <1\)かつ\(\gamma _{n}\geq 0\ \left(n=1,2,3\right) \)です。上の命題より、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},p_{3},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right) \\
x_{3}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\gamma _{1}+\frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\left( w-p_{1}\gamma _{1}-p_{2}\gamma
_{2}-p_{3}\gamma _{3}\right) \\
\gamma _{2}+\frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\left( w-p_{1}\gamma _{1}-p_{2}\gamma
_{2}-p_{3}\gamma _{3}\right) \\
\gamma _{3}+\frac{\alpha _{3}}{p_{3}}\left( w-p_{1}\gamma _{1}-p_{2}\gamma
_{2}-p_{3}\gamma _{3}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。

 

ストーン・ギアリー型効用関数を構成するパラメータの意味

先の命題より、ストーン・ギアリー型効用関数によって表現される選好を持つ消費者が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題に直面した場合、商品\(n\)に対して、\begin{equation}p_{n}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =p_{n}\gamma _{n}+\alpha _{n}\left[
w-\left( p_{1}\gamma _{1}+\cdots +p_{N}\gamma _{N}\right) \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}だけ支出します。商品\(n\)に関するパラメータ\(\gamma _{n}\)は商品\(n\)の生存維持水準であるため、\(\left( 1\right) \)の右辺中の\begin{equation*}p_{n}\gamma _{n}
\end{equation*}は、商品\(n\)を生存維持水準\(\gamma _{n}\)だけ購入するために必要な支出額です。また、\begin{equation*}w-\left( p_{1}\gamma _{1}+\cdots +p_{N}\gamma _{N}\right)
\end{equation*}は、すべての商品を生存維持水準だけ購入してもなお残る所得です。仮定より、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\alpha _{n}>0
\\
&&\left( b\right) \ \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\(\left( 1\right) \)の右辺中の\begin{equation*}\alpha _{n}\left[ w-\left( p_{1}\gamma _{1}+\cdots +p_{N}\gamma _{N}\right) \right] \end{equation*}は、消費者は残された所得の中の割合\(\alpha _{n}\)を商品\(n\)の追加的購入に支出することを意味します。したがって、以上の事実を覚えておけば、ストーン・ギアリー型効用関数を構成するパラメータ\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{N}\)の水準と生存維持水準\(\gamma_{1},\cdots ,\gamma _{N}\)および価格ベクトル\(p\)と所得\(w\)が外生的に与えられたとき、そこから需要\(x^{\ast}\left( p,w\right) \)を簡単に導出できます。

逆に、消費者の選好がストーン・ギアリー型効用関数によって表現されるものと仮定した場合、それぞれの商品の生存維持水準\(\gamma _{1},\cdots ,\gamma _{N}\)と、消費者がそれぞれの商品に対してどのような割合で支出を行っているかを観察すればパラメータ\(\alpha _{1},\cdots,\alpha _{N}\)の水準が得られるため、そこから需要関数を具体的に特定することができます。

 

ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの間接効用関数

消費者の選好関係\(\succsim \)がストーン・ギアリー型効用関数として表される場合には需要関数が存在することが明らかになりました。したがって、需要関数を効用関数に代入することにより間接効用関数が得られます。

命題(ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの間接効用関数)
消費者の選好関係\(\succsim \)がストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{\alpha
_{1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{p_{N}}\right) ^{\alpha _{N}}\left[
w-\left( p_{1}\gamma _{1}+\cdots +p_{N}\gamma _{N}\right) \right] \end{equation*}を定める。

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例(ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの間接効用関数)
2財モデルにおけるストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x_{1}\geq \gamma _{1}\wedge x_{2}\geq \gamma _{2}\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha }\left(
x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(0<\alpha <1\)かつ\(\gamma _{n}\geq 0\ \left( n=1,2\right) \)です。間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right) ^{\alpha
}\left( \frac{1-\alpha }{p_{2}}\right) ^{1-\alpha }\left( w-p_{1}\gamma
_{1}-p_{2}\gamma _{2}\right)
\end{equation*}を定めます。

例(ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの需要関数)
3財モデルにおけるストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}\geq \gamma _{1}\wedge x_{2}\geq \gamma _{2}\wedge
x_{3}\geq \gamma _{3}\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha
}\left( x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{\beta }\left( x_{3}-\gamma _{3}\right)
^{1-\alpha -\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(0<\alpha <1\)かつ\(\gamma _{n}\geq 0\ \left(n=1,2,3\right) \)です。間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right) =\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right)
^{\alpha }\left( \frac{\beta }{p_{2}}\right) ^{\beta }\left( \frac{1-\alpha
-\beta }{p_{2}}\right) ^{1-\alpha -\beta }\left( w-p_{1}\gamma
_{1}-p_{2}\gamma _{2}-p_{3}\gamma _{3}\right)
\end{equation*}を定めます。

次回はストーン・ギアリー型効用関数のもとでの支出最小化問題について解説します。

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