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CONSUMER THEORY

所得効果

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所得効果

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、そして狭義凸性を満たす場合にはワルラスの需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在するとともに連続であることが保証されます。需要関数\(x^{\ast }\)が価格ベクトルと所得のそれぞれの組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解に相当する\(N\)次元ベクトルであり、これを\(\left( p,w\right) \)のもとでの需要と呼びます。商品\(n\ \left(=1,\cdots ,N\right) \)を任意に選んだとき、それぞれの\(\left(p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、商品\(n\)の需要\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}を値として定める関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義可能です。これを商品\(n\)の需要関数と呼びます。

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)が与えられているものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を任意に選んだ上で、そこを出発点として所得\(w\)だけを\(\Delta w\)だけ変化させると、それに応じて商品\(n\)の需要は\(x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)から\(x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right) \)まで変化します。このとき、\(x_{n}^{\ast}\left( p,w\right) \)の変化量と\(w\)の変化量の比\begin{equation*}\frac{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right)
-x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\Delta w}
\end{equation*}を\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)における商品\(n\)の需要への所得効果(income effect on the demandfor good \(n\) at \(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \))と呼びます。これは、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を出発点に所得だけを1単位だけ変化させた場合の商品\(n\)の需要の変化量を表す指標です。

例(所得効果)
2財モデルにおける需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1}w^{2} \\
p_{2}w^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、商品1の需要に関する所得効果は、\begin{eqnarray*}\frac{x_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}+\Delta w\right) -x_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}\right) }{\Delta w} &=&\frac{\overline{p}_{1}\left( \overline{w}+\Delta w\right) ^{2}-\overline{p}_{1}\overline{w}^{2}}{\Delta w}\quad
\because x_{1}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\frac{\overline{p}_{1}\left[ \overline{w}^{2}+2\overline{w}\Delta
w+\left( \Delta w\right) ^{2}\right] -\overline{p}_{1}\overline{w}^{2}}{\Delta w} \\
&=&\overline{p}_{1}\left( 2\overline{w}+\Delta w\right)
\end{eqnarray*}であり、商品2の需要に関する所得効果は、\begin{eqnarray*}
\frac{x_{2}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}+\Delta w\right) -x_{2}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}\right) }{\Delta w} &=&\frac{\overline{p}_{2}\left( \overline{w}+\Delta w\right) ^{2}-\overline{p}_{2}\overline{w}^{2}}{\Delta w}\quad
\because x_{1}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\frac{\overline{p}_{2}\left[ \overline{w}^{2}+2\overline{w}\Delta
w+\left( \Delta w\right) ^{2}\right] -\overline{p}_{2}\overline{w}^{2}}{\Delta w} \\
&=&\overline{p}_{2}\left( 2\overline{w}+\Delta w\right)
\end{eqnarray*}です。例えば、\(\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}\right) =\left( 1,2,3\right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}\frac{x_{1}^{\ast }\left( 1,2,3+\Delta w\right) -x_{1}^{\ast }\left(
1,2,3\right) }{\Delta w} &=&1\cdot \left( 2\cdot 3+\Delta w\right) =6+\Delta
w \\
\frac{x_{2}^{\ast }\left( 1,2,3+\Delta w\right) -x_{2}^{\ast }\left(
1,2,3\right) }{\Delta w} &=&2\cdot \left( 2\cdot 3+\Delta w\right)
=12+2\Delta w
\end{eqnarray*}となります。

 

微分による所得効果の定義

繰り返しになりますが、商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選ぶと、そこでの商品\(n\)への所得効果は、\begin{equation*}\frac{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right)
-x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\Delta w}
\end{equation*}と定義されますが、先に例を通じて確認したように、この値は所得\(w\)の変化量\(\Delta w\)に依存するため一意的に定まるとは限りません。このような問題を解決するために微分を用いて所得効果を定義します。

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)が点\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において変数\(w\)に関して偏微分可能である場合には十分小さい\(\Delta w\)について、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right) \approx
x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) +\frac{\partial
x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w}\Delta w
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right)
-x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\Delta w}\approx
\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一般に、偏微分係数が存在する場合には1つの実数として定まるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)における商品\(n\)の所得効果を、\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w}
\end{equation*}と定義します。つまり、商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)の点\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)における変数\(w\)に関する偏微分係数として\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)における商品\(n\)の所得効果を定義するということです。なお、\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w}>0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を基準に所得\(w\)だけが増加すると商品\(n\)の需要が増加することを意味し、\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w}<0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を基準に所得\(w\)だけが増加すると商品\(n\)の需要が減少することを意味します。

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義域上において変数\(w\)に関して偏微分可能であるならば、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、そこでの商品\(n\)に関する所得効果\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\in \mathbb{R} \end{equation*}を定める偏導関数\(\frac{\partial x_{n}^{\ast }}{\delta w}:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。

例(所得効果)
2財モデルにおける需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)がそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1}w^{2} \\
p_{2}w^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。商品1の需要関数\(x_{1}^{\ast }\)は\(w\)に関して偏微分可能であるため、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そこでの商品1の需要に関する所得効果\begin{equation*}\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}=2p_{1}w
\end{equation*}を定める多変数関数\(\frac{\partial x_{1}^{\ast }}{\partial w}\)が定義可能です。また、商品2の需要関数\(x_{2}^{\ast }\)も\(w\)に関して偏微分可能であるため、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そこでの商品2の需要に関する所得効果\begin{equation*}\frac{\partial x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}=2p_{2}w
\end{equation*}を定める多変数関数\(\frac{\partial x_{2}^{\ast }}{\partial w}\)が定義可能です。

 

所得効果行列

需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が点\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において\(w\)に関して偏微分可能であるならば、点\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)におけるそれぞれの商品の需要への所得効果を成分とする行列が存在するため、これを、\begin{equation*}D_{w}x^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial x_{1}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w} \\
\vdots \\
\dfrac{\partial x_{N}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w}\end{array}\right)
\end{equation*}と表記します。これを\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)における所得効果行列(income effect matrix)と呼びます。

需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が定義域上において\(w\)に関して偏微分可能であるならば、それぞれの点\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そこでの所得効果行列\begin{equation*}D_{w}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w} \\
\vdots \\
\dfrac{\partial x_{N}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\end{array}\right)
\end{equation*}を像として定める多変数のベクトル値関数\(D_{w}x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{N}\)が定義可能です。

例(所得効果行列)
2財モデルにおける需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)がそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1}w^{2} \\
p_{2}w^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x^{\ast }\)は\(w\)に関して偏微分可能であるため、それぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そこでの所得効果行列\begin{equation*}D_{w}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w} \\
\dfrac{\partial x_{2}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2p_{1}w \\
2p_{2}w\end{array}\right)
\end{equation*}を定める多変数のベクトル値関数\(D_{w}x^{\ast }\)が定義可能です。

 

所得効果と単位

商品や所得の単位を変換すると所得効果の値は変化してしまいます。所得の単位として「万円」を採用し、商品の単位として「トン」を採用する場合、価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)における商品\(n\)の所得効果が\(1\)であるものとします。これは、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を出発点に所得だけを1万円だけ増やすと商品\(n\)の需要が\(1\)トンだけ変化することを意味します。まず、所得の単位は「万円」のままで商品の単位を「キログラム」に変換すると、1トンの変化は1000キログラムの変化に相当するため、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)における商品\(n\)の所得効果は\(1000\)になってしまいます。また、商品の単位は「トン」のままで所得の単位を「円」に変換すると、1万円の変化は10000円の変化に相当するため、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)における商品\(n\)の所得効果は\(\frac{1}{10000}\)になってしまいます。

したがって、商品や所得の単位が異なるデータが混在する場合、所得の変化が需要に与える効果を比較する際には、所得効果は有効な指標ではありません。このような問題への対策として、通常、所得の変化が需要に与える効果を比較する際には弾力性と呼ばれる概念を利用します。弾力性については場を改めて解説します。

 

演習問題

問題(所得効果)
2財モデルにおける需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。所得効果を求めてください。

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問題(所得効果)
2財モデルにおける需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\(p_{1}\geq p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{w}{p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、\(p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{p_{1}} \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。所得効果を求めてください。

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次回は需要の所得弾力性について解説します。

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