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CONSUMER THEORY

選好の準線型性

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準線型性を満たす選好関係

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( x\sim y\Rightarrow \forall \alpha \in \mathbb{R} _{+}:x+\alpha e_{1}\sim y+\alpha e_{1}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall \alpha \in \mathbb{R} _{++}:x+\alpha e_{1}\succ x
\end{eqnarray*}がともに成立する場合、\(\succsim \)は商品1について準線型性(quasi-linear withrespect to good 1)を満たすといいます。ただし、\(e_{1}\)は第\(1\)成分が\(1\)で他の任意の成分が\(0\)であるような\(N\)次元ベクトル\begin{equation*}e_{1}=\left( 1,0,\cdots ,0\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}です。この場合、商品1をニュメレール(numeraire)と呼びます。他の商品に関する準線型性も同様に定義します。

上の条件\(\left( a\right) \)は、任意の無差別な消費ベクトル\(x,y\)を出発点としたとき、商品\(1\)以外の商品の消費量を維持したまま、商品\(1\)の消費量だけを同じ割合\(\alpha \)で増やして得られる消費ベクトルどうしも無差別であることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、商品\(1\)の消費量だけを増やして得られる任意の消費ベクトルが\(x\)よりも望ましいこと、すなわち商品\(1\)が経済財であることを意味します。

例(準線型性を満たす選好関係)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が完備性に加えて商品1について準線型性を満たすものとします。選好関係\(\succsim \)が合理性を満たす場合、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)は複数の無差別曲線に分割されます。つまり、任意の消費ベクトルは何らかの無差別集合に属し、同一の消費ベクトルが異なる無差別集合に属することはありません。

図:準線型性
図:準線型性を満たす選好

上図のように同一の無差別曲線\(I\left( x\right) \)に属する消費ベクトル\(x,y\)を任意に選びます。選好\(\succsim \)が商品1について準線型性を満たす場合には、任意の非負の実数\(\alpha \)に対して\(x+\left(\alpha ,0\right) \)と\(y+\left( \alpha ,0\right) \)が無差別になるため、これらは同一の無差別曲線\(I\left( x+\left( \alpha ,0\right) \right) \)に属します。したがって、商品1について準線型性を満たす選好関係のもとでは、ある無差別曲線を\(x_{1}\)軸に関して平行移動すれば、別の任意の無差別曲線を得ることができます。加えて、商品1は経済財であるため、右側に位置する無差別曲線ほどより満足度の高い消費ベクトルに対応する無差別曲線になります。

通常、消費者の選好を包括的に記述するためには、消費集合に含まれる任意の2つの消費ベクトルに対して、消費者がどちらを好むかを判定する必要があります。ただ、その作業量は膨大で、実質的には不可能です。一方、選好が準線型であるものと仮定した場合、ある消費ベクトル\(x\)が関する無差別集合\(I\left( x\right) \)に関するデータさえ得られれば、それを平行移動することにより、他の任意の無差別集合を得ることができます。したがって、理論の検証など、統計的な作業では多くの場合、準線型性を仮定します。

 

準線型の効用関数

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が商品1について準線型性を満たすとは、他の商品の消費量\(\left(x_{2},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N-1}\)を変数として持つ関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、両者の間に、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N}:u\left( x\right) =x_{1}+v\left( x_{2},\cdots ,x_{N}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを意味します。つまり、任意の消費ベクトル\(x\)から得られる効用が、商品\(1\)の消費量\(x_{1}\)と、他の商品の消費量から得られる効用\(v\left( x_{2},\cdots ,x_{N}\right) \)の和として表現できるということです。他の商品に関する準線型性の効用関数も同様に定義します。

例(準線型の効用関数)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+\sqrt{x_{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\)は商品\(1\)に関する準線型の効用関数です。

選好関係を表す効用関数が存在するとともに、その効用関数が準線型である場合、選好関係が準線型性を満たすことが保証されます。

命題(準線型選好と準線型効用関数の関係)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとき、\(u\)が商品1について準線型であるならば、\(\succsim \)は商品1について準線型である。
証明

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この命題は、選好関係を表現する効用関数が存在することを前提とした上での主張であることに注意してください。では、選好関係が準線型性を満たす場合、その選好関係を表現する準線型の効用関数は存在するのでしょうか。準線型な効用関数が存在するための条件については、場を改めて詳しく解説します。

次回から選好関数を表す効用関数が存在するための条件について解説します。

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