無差別な消費ベクトル x,y を任意に選んだとき、ある経済財の消費量だけを同じ割合で増やして得られる消費ベクトルどうしもまた無差別になるのであれば、選好はその経済財について準線型性を満たすと言います。準線型性を満たす選好は準線型効用関数によって特徴づけられます。

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準線型性を満たす選好関係

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)における選好関係が与えられたとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X=\mathbb{R} _{+}^{N} \\
&&\left( a\right) \ \forall x,y\in X:(x\sim y\ \Rightarrow \ \forall \alpha
\in \mathbb{R}_{+}:x+\alpha e_{1}\sim y+\alpha e_{1}) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X,\ \forall \alpha \in \mathbb{R}_{++}:x+\alpha e_{1}\succ x
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)は商品1について準線型性(quasi-linear with respect to good 1)を満たすと言います。ただし、\begin{equation*}
e_{1}=\left( 1,0,\cdots ,0\right) \in \mathbb{R}^{N}
\end{equation*}です。他の商品に関する準線型性も同様に定義します。

上の条件\(\left( a\right) \)は、任意の商品について、その消費量は任意の非負の実数を値として取り得ることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、無差別な消費ベクトル\(x,y\)を任意に選んだとき、商品\(1\)の消費量を同じ割合\(\alpha \)で増やして得られる消費ベクトルどうしもまた無差別になることを意味します。条件\(\left( c\right) \)は、消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、商品\(1\)の消費量だけを増やして得られる消費ベクトルは\(x\)より望ましいということであり、商品\(1\)が経済財であることを意味します。

 

準線型選好のもとでの無差別集合

消費集合を\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)とし、\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が完備性と準線型性(商品1について)を満たすものとします。選好関係\(\succsim \)が合理性を満たす場合、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)は複数の無差別曲線に分割されます。つまり、任意の消費ベクトルは何らかの無差別集合に属し、同一の消費ベクトルが異なる無差別集合に属することはありません。

下図のように、無差別な消費ベクトル\(x,y\)を任意に選ぶと、これらは同一の無差別曲線\(I\left( x\right) \)に属します。選好\(\succsim \)が商品1について準線型性を満たす場合には、任意の非負の実数\(\alpha \)に対して\(x+\left( \alpha ,0\right) \)と\(y+\left( \alpha ,0\right) \)が無差別になるため、これらは同一の無差別曲線\(I\left( x+\left( \alpha ,0\right) \right) \)に属します。したがって、商品1について準線型性を満たす選好関係のもとでは、ある無差別曲線を\(x_{1}\)軸に関して平行移動すれば、別の任意の無差別曲線が得られます。また、商品1は経済財であるため、右側に位置する無差別曲線ほど、より満足度の高い消費ベクトルに対応する無差別曲線になります。

図:準線型性
図:準線型性

消費者の選好を包括的に記述するためには、消費集合に含まれる任意の2つの消費ベクトルに対して、消費者がどちらを好むかを把握する必要がありますが、その作業量は膨大で、実質的には不可能です。一方、選好が準線型であると仮定した場合、ある消費ベクトル\(x\)に関する無差別集合\(I\left( x\right) \)に関するデータが得られれば、それを平行移動することにより、他の任意の無差別集合を得ることができます。したがって、理論の検証など、統計的な作業では多くの場合、準線型性を仮定します。

 

効用関数の準線型性

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合、\(u\)が準線型関数であるならば、\(\succsim \)は準線型性を満たすことが保証されます。ただし、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が商品\(1\)について準線型であるとは、他の商品の消費量\(\left( x_{2},\cdots ,x_{N}\right) \)を変数として持つ関数\(g:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R}\)が存在して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X=\mathbb{R} _{+}^{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X:u\left( x\right) =x_{1}+g\left(
x_{2},\cdots ,x_{N}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。つまり、任意の消費ベクトル\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \)の効用が、\(x\)における商品\(1\)の消費量\(x_{1}\)と、他の商品の消費量から得る効用\(g\left( x_{2},\cdots ,x_{N}\right) \)の和として表されるということです。

命題(準線型関数によって表現される選好の準線型性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとき、\(u\)が商品\(i\)について準線型であるならば、\(\succsim \)は商品\(i\)について準線型性を満たす。
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例(準線型効用関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
u(x_{1},x_{2})=x_{1}+\sqrt{x_{2}}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(u\)は商品\(1\)に関する準線型関数であるため、\(\succsim \)は商品\(1\)について準線型性を満たします。

準線型関数であるような効用関数によって表現される選好関係は準線型性を満たすことが示されましたが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、準線型性を満たす選好関係を表現する効用関数は準線型関数であるとは限りません。そのことを示すために、準線型性を満たす選好関係\(\succsim \)を表現する準線型効用関数\(u\)が存在するものとしましょう。以前に示したように、選好関係を表す効用関数が与えられたとき、その効用関数を任意の形で正の単調変換を行って得られる関数もまた同じ選好を表す効用関数です。したがって、先の効用関数\(u\)から準線型ではない関数\(u^{\prime }\)を作り出すような正の単調変換を想定した場合にも、\(u^{\prime }\)は\(\succsim \)を表現する効用関数となります。このようにして、準線型性を満たす選好関係を表現する準線型関数ではない効用関数を常に作り出すことができます。

以上の議論は、選好関係を表現する効用関数が存在することを前提とした上でのものですが、そもそも、選好関係の準線型性から、効用関数の存在について何らかのことを言えるのでしょうか。選好関係が準線型性を満たす場合、その選好関係を表現する効用関数は存在するのでしょうか。効用関数が存在するための条件については、場を改めて詳しく解説します。

次回は辞書式選好と呼ばれる選好関係について解説します。

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