予算集合のコンパクト性

消費者理論では予算集合がコンパクト集合であることを仮定することがあります。この仮定には、消費者が直面する最適化問題に解が存在することを保証する役割があります。
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予算集合がコンパクト集合であることの意味

復習になりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)と価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)、そして所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)が与えられると、予算集合は、\begin{equation*}
B\left( p,w\right) =\{x\in X\ |\ p\cdot x\leq w\}
\end{equation*}と定義されます。\(X\)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N}\)の部分集合であるため、\(X\)の部分集合である\(B\left( p,w\right) \)もまた\(\mathbb{R} ^{N}\)の部分集合です。以上を踏まえた上で、消費者理論では\(B\left( p,w\right) \)が\(\mathbb{R} ^{N}\)におけるコンパクト集合であるものと仮定することがあります。コンパクト集合という概念は様々な形で定義できますが、もっともシンプルな定義は、それが\(\mathbb{R} ^{N}\)における有界な閉集合であるというものです。

予算集合\(B\left( p,w\right) \subset \mathbb{R} ^{N}\)が有界であるとは、\begin{equation*}
\exists a,b\in
\mathbb{R} ^{N},\ \forall x\in B\left( p,w\right) :a\leq x\leq b
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、\(\leq \)は\(\mathbb{R} ^{N}\)上に定義された大小関係です。つまり、\begin{eqnarray*}
x &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in B\left( p,w\right) \\
a &=&\left( a_{1},\cdots ,a_{N}\right) \in
\mathbb{R} ^{N} \\
b &=&\left( b_{1},\cdots ,b_{N}\right) \in
\mathbb{R} ^{N}
\end{eqnarray*}と表記するのであれば、先の定義は、\begin{equation*}
\exists a,b\in
\mathbb{R} ^{N},\ \forall x\in B\left( p,w\right) ,\ \forall n\in \{1,\cdots
,N\}:a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n}
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、予算集合の要素である消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、任意の商品\(n\)について、その消費量\(x_{n}\)が何らかの実数値\(a_{n}\)以上であるとともに、何らかの実数値\(b_{n}\)以下であるということです。言い換えると、予算集合上の任意の消費ベクトル\(x\)において、任意の商品\(n\)の消費量\(x_{n}\)は正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)にはならないということです。

予算集合\(B\left( p,w\right) \subset \mathbb{R} ^{N}\)が閉集合であることの意味は様々な形で定義できますが、その一つは点列を用いた定義です。そこで、\(B\left( p,w\right) \)の要素である消費ベクトルを項とするとともに、収束する点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in B\left( p,w\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\in
\mathbb{R} ^{N}
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選ぶということです。一般に、このような点列の極限は\(B\left( p,w\right) \)の点であるとは限りませんが、仮にその極限が常に\(B\left( p,w\right) \)の点であるならば、すなわち、\begin{equation*}
\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(B\left( p,w\right) \)は\(\mathbb{R} ^{N}\)上の閉集合とされます。理解を深めるために、閉集合ではない予算集合\(B\left( p,w\right) \)について考えてみます。このとき、\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を満たすが\(\left( c\right) \)を満たさない点列\(\{x_{v}\}\)が存在するはずです。\(\left( a\right) \)を満たすということは、点列\(\{x_{v}\}\)を構成するすべての点は、予算制約を満たす消費ベクトルであるということを意味します。\(\left( b\right) \)より点列\(\{x_{v}\}\)は収束するため、その極限\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}\in \mathbb{R} ^{N}\)に相当する商品ベクトルのいくらでも近い所に、点列\(\{x_{v}\}\)の点が無数に存在します。言い換えると、商品ベクトル\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}\)のいくらでも近い所に、予算制約を満たす消費ベクトルが無数に存在するということです。一方、条件\(\left( c\right) \)が成り立たないことは、商品ベクトル\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}\)は予算制約を満たさないことを意味します。したがって、予算集合が閉集合ではない場合には、予算制約を満たさない商品ベクトルのいくらでも近い所に、予算制約を満たす消費ベクトルが無数に存在する、という事態が起きてしまうことを意味します。逆に言えば、予算集合が閉集合であるという仮定のもとでは、そのような事態が起こる可能性が排除されます。

予算集合\(B\left( p,w\right) \subset \mathbb{R} ^{N}\)が閉集合であることは、\(B\left( p,w\right) \)の境界が\(B\left( p,w\right) \)の部分集合であることとしても定義可能です。

消費者が直面する予算集合\(B\left( p,w\right) \)は価格ベクトル\(p\)と所得\(w\)に依存して変化します。消費者行動を分析する際には、\(p\)や\(w\)の変化にともない、消費者による選択がどのように変化するかを考察することも重要になります。したがって、そのような分析を一貫性のある形で行うためには、特定の\(p,w\)に関する\(B\left( p,w\right) \)がコンパクト集合であるだけではなく、\(p\)と\(w\)がどのような値をとる場合でも予算集合\(B\left( p,w\right) \)がコンパクト集合であることを仮定することがあります。つまり、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)がそれぞれの組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める\(B\left( p,w\right) \)がいずれもコンパクト集合であることを仮定するということです。予算対応\(B\)が以上の条件を満たすとき、\(B\)はコンパクト値をとる(compact valued)と言います。

予算集合がコンパクト集合であるという仮定をなぜ設ける必要があるのでしょうか。消費者理論では、消費者は自身が直面する予算集合の中から、自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定します。このような形で消費者の意思決定を最適化問題として定式化したとき、その解が存在することを保証する際に、予算集合がコンパクト集合であるという仮定を利用します。この点については場を改めて詳しく解説します。

 

予算対応がコンパクト値をとるための条件

予算対応\(B\)がコンパクト値をとることを天下り的に仮定してもよいのですが、よりシンプルな仮定をもとに、予算対応\(B\)がコンパクト値をとることを保証することもできます。

命題(予算対応がコンパクト値をとるための条件)
消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるならば、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)はコンパクト値をとる。
証明を見る(プレミアム会員限定)

2財モデルを用いて上の命題を図解します。消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の予算集合\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)は下図のグレーの領域として表されます。ただし、境界を含みます。斜めの線分は予算線\(\overline{B}\left( p_{1},p_{2},w\right) \)に対応しており、これは2つの点\((\frac{w}{p_{1}},0),(0,\frac{w}{p_{2}})\)を通り、傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分です。

図:2財モデルにおける予算集合
図:2財モデルにおける予算集合

この予算集合\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)の要素である消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
0 &\leq &x_{1}\leq \frac{w}{p_{1}} \\
0 &\leq &x_{2}\leq \frac{w}{p_{2}}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界な部分集合です。また、\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)の境界はグレーの三角形の辺に相当しますが、三角形の辺上の点はすべて予算集合に属するため、\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合です。したがって、この予算集合\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合です。

次回は予算集合が連続であることの意味を解説します。

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