選好関係の合理性（選好順序）

合理的な選好関係

\(N\)種類の商品が存在する経済を想定した上で、消費者が直面する個々の選択肢を\(N\)次元ベクトル\begin{equation*}x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。ただし、このベクトル\(x\)の第\(n\)成分\(x_{n}\)は商品\(n\)の消費量を表します。消費者が選択可能なすべてのベクトルからなる集合を消費集合\begin{equation*}X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。消費集合\(X\)に直面した消費者は、\(X\)の要素である消費ベクトルどうしを比較しながら自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選択します。そこで、消費者が持つ好みの体系を\(X\)上の二項関係\(\succsim \)として定式化し、これを選好関係と呼びます。具体的には、2つの消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}x\succsim y\Leftrightarrow \text{消費者は}x\text{を}y\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たすものとして\(\succsim \)を定義します。

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が完備性と推移性をともに満たす場合には、つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in X:(x\succsim y\vee y\succsim x) \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ (x\succsim y\wedge y\succsim
z)\Rightarrow x\succsim z\right] \end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を合理的な選好関係（rational preference relation）や選好順序（preference ordering）などと呼びます。

選好関係は合理的であるとは限りません。まずは完備性を満たす一方で推移性を満たさない選好関係の例です。

続いて、推移性を満たす一方で完備性を満たさない選好関係の例です。

合理性の含意

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が完備性を満たす場合には、2つの消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x\succ y,\quad x\sim y,\quad y\succ x
\end{equation*}の中のいずれか1つ、そして1つだけが常に成り立ちます。加えて、\(\succsim \)が推移性を満たす場合には、無差別関係\(\sim \)に関する推移性\begin{equation*}\left( a\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( x\sim y\wedge y\sim
z\right) \Rightarrow x\sim z\right] \end{equation*}や狭義選好関係\(\succ \)に関する推移性\begin{equation*}\left( b\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( x\succ y\wedge y\succ
z\right) \Rightarrow x\succ z\right] \end{equation*}に加えて、IP推移性やPI推移性\begin{eqnarray*}
&&\left( c\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( x\sim y\wedge y\sim
z\right) \Rightarrow x\sim z\right] \\
&&\left( d\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( x\succ y\wedge y\succ
z\right) \Rightarrow x\succ z\right] \\
&&\left( e\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( x\sim y\wedge y\succ
z\right) \Rightarrow x\succ z\right] \\
&&\left( f\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( x\succ y\wedge y\sim
z\right) \Rightarrow x\succ z\right] \end{eqnarray*}などがいずれも成り立ちます。以上の事実を踏まえるとどのような主張が可能でしょうか。

2つの消費ベクトル\(x,x^{\prime }\in X\)を任意に選んだとき、\(\succsim \)の完備性より\(x\)と\(x^{\prime }\)は比較可能です。さらに3つ目の消費ベクトル\(x^{\prime \prime }\in Y\)を任意に選ぶと、やはり\(\succsim \)の完備性より\(x\)と\(x^{\prime \prime }\)は比較可能であり、\(x^{\prime }\)と\(x^{\prime \prime }\)は比較可能です。したがって、\(x,x^{\prime },x^{\prime \prime }\)の中の任意の2つは比較可能であり、さらに\(\sim \)に関する推移性や\(\succ \)に関する推移性、IP推移性、PI推移性などより、それらを循環しない形で\(\succ \)と\(\sim \)を用いて望ましい順に並べることができます。4つ目以降の消費ベクトルについても同様であるため、結局、選好関係\(\succsim \)が合理性を満たす場合には消費集合\(X\)の要素であるすべての消費ベクトルを循環しない形で\(\succ \)と\(\sim \)を用いて望ましい順に並べることができます。例えば、\begin{equation*}x\succ x^{\prime }\succ x^{\prime \prime }\sim x^{\prime \prime \prime
}\succ x^{\prime \prime \prime \prime }\cdots
\end{equation*}という具合にです。ただし、上の例中の\(x^{\prime \prime }\)と\(x^{\prime \prime \prime }\)のように、同じ程度望ましい複数の消費ベクトルが存在する可能性は排除されません。

合理性を満たす選好を表現する効用関数

繰り返しになりますが、消費集合\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性（完備性と推移性）を満たすこととは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in X:\left( x\succsim y\vee y\succsim
x\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ (x\succsim y\wedge y\succsim
z)\Rightarrow x\succsim z\right] \end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。この選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、効用関数の定義より、効用関数を用いて上の性質を言い換えると、\begin{eqnarray*}&&\left( a^{\prime }\right) \ \forall x,y\in X:\left[ u\left( x\right) \geq
y\left( y\right) \vee u\left( y\right) \geq u\left( x\right) \right] \\
&&\left( b^{\prime }\right) \ \forall x,y,z\in X:\left\{ \left[ u\left(
x\right) \geq y\left( y\right) \wedge u\left( y\right) \geq u\left( z\right) \right] \Rightarrow u\left( x\right) \geq u\left( z\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)がともに成り立つことと\(\left( a^{\prime }\right) \)と\(\left( b^{\prime }\right) \)がともに成り立つことは必要十分になります。

ただ、実数空間\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)は完備性と推移性、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} :\left( a\geq b\vee b\geq a\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall a,b,c\in \mathbb{R} :\left[ \left( a\geq b\wedge b\geq c\right) \Rightarrow a\geq c\right] \end{eqnarray*}をともに満たすため、選好関係\(\succsim \)が合理性を満たすかどうかに関わらず、それを表現する任意の効用関数\(u\)は上の命題中の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in X:\left[ u\left( x\right) \geq y\left(
y\right) \vee u\left( y\right) \geq u\left( x\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y,z\in X:\left\{ \left[ u\left( x\right) \geq
y\left( y\right) \wedge u\left( y\right) \geq u\left( z\right) \right] \Rightarrow u\left( x\right) \geq u\left( z\right) \right\}
\end{eqnarray*}を満たします。したがって、仮に選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u \)が存在する場合、その\(u\)もまた上の性質を満たすため、先の命題より、\(\succsim \)は合理性を満たします。つまり、一般には選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)は存在するとは限りませんが、仮に\(\succsim \)を表現する効用関数が存在する場合には、その選好\(\succsim \)が合理性を満たすことが保証されるというわけです。

ちなみに、この命題の逆は成立するとは限りません。つまり、たとえ選好関係\(\succsim \)が合理性を満たす場合においても、その\(\succsim \)を表現する効用関数は存在するとは限りません。効用関数が存在するための条件については場を改めて詳しく解説します。

演習問題