価格効果

価格効果

消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されており、さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。また、消費者が直面する経済的制約が予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が解くべき効用最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}として定式化されます。特に、選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、そして狭義凸性を満たす場合にはワルラスの需要関数\begin{equation*}x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}が存在するとともに連続であることが保証されます。ただし、需要関数\(x^{\ast }\)が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の唯一の解に相当する\(N\)次元ベクトルであり、これを\(\left( p,w\right) \)のもとでの需要と呼びます。商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)を任意に選んだとき、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、商品\(n\)の需要\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{+}\)を値として定める多変数関数\begin{equation*}x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が定義可能です。これを商品\(n\)の需要関数と呼びます。

商品\(i\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられているものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left(p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で、そこを出発点として商品\(j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の価格\(p_{j}\)だけを\(\Delta p_{j}\)だけ変化させると、それに応じて商品\(i\)の需要は\(x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \)から\(x_{i}^{\ast}\left( p_{1},\cdots ,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots ,p_{N},w\right) \)まで変化します。このとき、商品\(i\)の需要\(x_{i}\left(p,w\right) \)の変化量と商品\(j\)の価格\(p_{j}\)の変化量の比\begin{equation*}\frac{x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots ,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots
,p_{N},w\right) -x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\Delta p_{j}}
\end{equation*}を\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要への商品\(j\)の価格の価格効果（price effect of the price of good \(j\) on the demand for good \(i\) at \(\left( p,w\right) \)）と呼びます。これは、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格を1単位だけ変化させた場合の商品\(i\)の需要の変化量を表す指標です。特に、\(i=j\)の場合の価格効果を自己価格効果（own price effect）と呼び、\(i\not=j\)の場合の価格効果を交差価格効果（cross price effect）と呼びます。

偏微分を用いた価格効果の定義

繰り返しになりますが、商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選ぶと、そこでの商品\(i\)の需要への商品\(j\)の価格の価格効果は、\begin{equation*}\frac{x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots ,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots
,p_{N},w\right) -x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\Delta p_{j}}
\end{equation*}と定義されますが、先に例を通じて確認したように、この値は商品\(j\)の価格\(p_{j}\)の変化量\(\Delta p_{j}\)に依存するため一意的に定まるとは限りません。このような問題を解決するために偏微分を用いて価格効果を定義します。

商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }\)が点\(\left( p,w\right) \)において商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能である場合には十分小さい\(\Delta p_{j}\)について、\begin{equation*}x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots ,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots ,p_{N},w\right)
\approx x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) +\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial p_{j}}\Delta p_{j}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots ,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots
,p_{N},w\right) -x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\Delta p_{j}}\approx \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一般に、偏微分係数が存在する場合には1つの実数として定まるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では、\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要への商品\(j\)の価格の価格効果を、\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}
\end{equation*}と定義します。つまり、商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }\)の点\(\left( p,w\right) \)における変数\(p_{j}\)に関する偏微分係数として\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要への商品\(j\)の価格の価格効果を定義するということです。なお、点\(\left( p,w\right) \)において、\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}>0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格\(p_{j}\)だけが増加すると商品\(i\)の需要が増加することを意味し、\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}<0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格\(p_{j}\)だけが増加すると商品\(i\)の需要が減少することを意味します。

商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義域上の任意の点において変数\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるならば偏導関数\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }}{\partial p_{j}}:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在するため、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、そこでの商品\(i\)の需要への商品\(j\)の価格の価格効果\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。

価格効果行列

需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が点\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において任意の商品の価格に関して偏微分可能であるならば、点\(\left( p,w\right) \)におけるそれぞれの商品\(i\ \left( =1,\cdots,N\right) \)の需要へのそれぞれの商品\(j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の価格の価格効果\(\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}\)が有限な実数として定まることが保証されるため、以下のような\(N\)次の正方行列\begin{equation*}D_{p}x^{\ast }\left( p,w\right) =\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{1}} & \cdots &
\dfrac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{N}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial x_{N}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{1}} & \cdots &
\dfrac{\partial x_{N}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{N}}\end{pmatrix}\in M_{N}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。これを\(\left( p,w\right) \)における価格効果行列（price effect matrix）と呼びます。

需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が定義域上の任意の点において任意の商品の価格に関して偏微分可能であるならば、それぞれの\(\left(p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そこでの価格効果行列\begin{equation*}D_{p}x^{\ast }\left( p,w\right) =\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{1}} & \cdots &
\dfrac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{N}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial x_{N}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{1}} & \cdots &
\dfrac{\partial x_{N}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{N}}\end{pmatrix}\in M\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を値として定める多変数の行列値関数\begin{equation*}
D_{p}x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow M_{N}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。

価格効果と単位

商品や所得の単位を変換すると価格効果の値は変化してしまいます。所得の単位として「万円」を採用し、商品の単位として「トン」を採用する場合、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)において、商品\(i\)の需要に対して商品\(j\)の価格の変化がもたらす価格効果が\(1\)であるものとします。これは、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格を\(1\)万円だけ上昇させると商品\(j\)の需要が\(1\)トンだけ増えることを意味します。所得の単位は「万円」のままで商品の単位を「キログラム」に変換すると、\(1\)トンの変化は\(1000\)キログラムの変化に相当するため、\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要の商品\(j\)の価格の価格効果が\(1000\)になってしまいます。また、商品の単位は「トン」のままで所得の単位を「円」に変換すると、\(1\)万円の変化は\(10000\)円の変化に相当するため、\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要の商品\(j\)の価格の価格効果は\(\frac{1}{10000}\)になってしまいます。

このような事情を踏まえると、商品や所得の単位が異なるデータが混在する場合には、価格の変化が需要に与える効果を比較する上で、需要の価格効果は有用な指標ではなくなってしまいます。このような問題への対策として、通常、価格の変化が需要に与える効果を比較する際には需要の価格弾力性と呼ばれる概念を利用します。需要の価格弾力性については場を改めて解説します。

演習問題