代替効果
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、そして狭義凸性を満たす場合にはヒックスの補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在するとともに連続であることが保証されます。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。補償需要関数\(h^{\ast }\)が価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left(p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して定める値\begin{equation*}h^{\ast }\left( p,v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p,v\right) \\
\vdots \\
h_{N}^{\ast }\left( p,v\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解に相当する\(N\)次元ベクトルであり、これを\(\left( p,v\right) \)のもとでの補償需要と呼びます。商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)を任意に選んだとき、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して、商品\(n\)の補償需要\begin{equation*}h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}を値として定める関数\(h_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義可能です。これを商品\(n\)の補償需要関数と呼びます。
商品\(i\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の補償需要関数\(h_{i}^{\ast }\)が与えられているものとします。価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)を任意に選んだ上で、そこを出発点として商品\(j\ \left(=1,\cdots ,N\right) \)の価格\(p_{j}\)だけを\(\Delta p_{j}\)だけ変化させると、それに応じて商品\(i\)の補償需要は\(h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)から\(h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) \)まで変化します。このとき、\(h_{i}^{\ast }\left(p,v\right) \)の変化量と\(p_{j}\)の変化量の比\begin{equation*}\frac{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta
p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) -h_{i}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{v}\right) }{\Delta p_{j}}
\end{equation*}を\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)における商品\(i\)の補償需要への商品\(j\)の価格の代替効果（substitution effect of theprice of good \(j\) on the compensated demand for good \(i\) at \(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)）と呼びます。これは、\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格を1単位だけ変化させた場合の商品\(i\)の補償需要の変化量を表す指標です。特に、\(i=j\)の場合の代替効果を自己代替効果（own substitution effect）と呼び、\(i\not=j\)の場合の代替効果を交差代替効果（cross substitution effect）と呼びます。
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}} \\
\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}v\right) ^{\frac{1}{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)を任意に選んだとき、商品\(1\)の補償需要への商品\(1\)の価格の自己代替効果は、\begin{equation*}\frac{h_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1}+\Delta p_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) -h_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) }{\Delta p_{1}}=\frac{1}{\Delta p_{1}}\left[ \left(
\frac{\overline{p}_{2}}{\overline{p}_{1}+\Delta p_{1}}\overline{v}\right) ^{\frac{1}{2}}-\left( \frac{\overline{p}_{2}}{\overline{p}_{1}}\overline{v}\right) ^{\frac{1}{2}}\right] \quad \because h_{1}^{\ast }\text{の定義}
\end{equation*}であり、商品\(1\)の補償需要への商品\(2\)の価格の交差代替効果は、\begin{equation*}\frac{h_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2}+\Delta p_{2},\overline{v}\right) -h_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) }{\Delta p_{2}}=\frac{1}{\Delta p_{2}}\left[ \left(
\frac{\overline{p}_{2}+\Delta p_{2}}{\overline{p}_{1}}\overline{v}\right) ^{\frac{1}{2}}-\left( \frac{\overline{p}_{2}}{\overline{p}_{1}}\overline{v}\right) ^{\frac{1}{2}}\right] \quad \because h_{1}^{\ast }\text{の定義}
\end{equation*}です。例えば、\(\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) =\left( 1,2,3\right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}\frac{h_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1}+\Delta p_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) -h_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) }{\Delta p_{1}} &=&\frac{1}{\Delta p_{1}}\left[ \left(
\frac{6}{1+\Delta p_{1}}\right) ^{\frac{1}{2}}-6^{\frac{1}{2}}\right] \\
\frac{h_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2}+\Delta p_{2},\overline{v}\right) -h_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{v}\right) }{\Delta p_{2}} &=&\frac{1}{\Delta p_{2}}\left\{ \left[
\left( 2+\Delta p_{2}\right) 3\right] ^{\frac{1}{2}}-6^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{eqnarray*}となります。商品\(2\)の補償需要に関する代替効果についても同様に考えます。
微分による代替効果の定義
繰り返しになりますが、商品\(i\)の補償需要関数\(h_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選ぶと、そこでの商品\(i\)の補償需要への商品\(j\)の価格の代替効果は、\begin{equation*}\frac{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta
p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) -h_{i}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{v}\right) }{\Delta p_{j}}
\end{equation*}と定義されますが、先に例を通じて確認したように、この値は商品\(j\)の価格\(p_{j}\)の変化量\(\Delta p_{j}\)に依存するため一意的に定まるとは限りません。このような問題を解決するために微分を用いて代替効果を定義します。
商品\(i\)の補償需要関数\(h_{i}^{\ast }\)が点\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)において商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能である場合には十分小さい\(\Delta p_{j}\)について、\begin{equation*}h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta
p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) \approx h_{i}^{\ast
}\left( \overline{p},\overline{v}\right) +\frac{\partial h_{i}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{v}\right) }{\partial p_{j}}\Delta p_{j}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{h_{i}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\cdots ,\overline{p}_{j}+\Delta
p_{j},\cdots ,\overline{p}_{N},\overline{v}\right) -h_{i}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{v}\right) }{\Delta p_{j}}\approx \frac{\partial
h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }{\partial p_{j}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一般に、偏微分係数が存在する場合には1つの実数として定まるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では、\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)における商品\(i\)の補償需要への商品\(j\)の価格の代替効果を、\begin{equation*}\frac{\partial h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }{\partial p_{j}}
\end{equation*}と定義します。つまり、商品\(i\)の補償需要関数\(h_{i}^{\ast }\)の点\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)における変数\(p_{j}\)に関する偏微分係数として\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)における商品\(i\)の補償需要への商品\(j\)の価格の代替効果を定義するということです。なお、\begin{equation*}\frac{\partial h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }{\partial p_{j}}>0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)を基準に商品\(j\)の価格\(p_{j}\)だけが増加すると商品\(i\)の補償需要が増加することを意味し、\begin{equation*}\frac{\partial h_{i}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }{\partial p_{j}}<0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)を基準に商品\(j\)の価格\(p_{j}\)だけが増加すると商品\(i\)の補償需要が減少することを意味します。
商品\(i\)の補償需要関数\(h_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義域上において変数\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるならば、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して、そこでの商品\(i\)の補償需要への商品\(j\)の価格の代替効果\begin{equation*}\frac{\partial h_{i}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{j}}\in \mathbb{R} \end{equation*}を定める偏導関数\(\frac{\partial h_{i}^{\ast }}{\delta p_{j}}:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}} \\
\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}v\right) ^{\frac{1}{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。商品1の補償需要関数\(h_{1}^{\ast }\)は\(p_{1}\)に関して偏微分可能であるため、それぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、そこでの商品\(1\)の補償需要への商品\(1\)の価格の自己代替効果\begin{equation*}\frac{\partial h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{1}}=-\frac{1}{2p_{2}}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める関数\(\frac{\partial h_{1}^{\ast }}{\partial p_{1}}\)が定義可能です。また、\(h_{1}^{\ast }\)は\(p_{2}\)に関しても偏微分可能であるため、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、そこでの商品\(1\)の補償需要への商品\(2\)の価格の交差代替効果\begin{equation*}\frac{\partial h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{2}}=\frac{1}{2p_{1}}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める関数\(\frac{\partial h_{1}^{\ast }}{\partial p_{2}}\)が定義可能です。商品2の補償需要関数\(h_{2}^{\ast }\)についても同様に考えます。
代替効果行列
補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が点\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)において任意の商品の価格に関して偏微分可能であるならば、点\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)におけるそれぞれの商品の補償需要へのそれぞれの商品の価格の代替効果を成分とする\(N\)次の正方行列が存在するため、これを、\begin{equation*}D_{p}h^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) =\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial h_{1}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }{\partial p_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial h_{1}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }{\partial p_{N}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial h_{N}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }{\partial p_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial h_{N}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{v}\right) }{\partial p_{N}}\end{pmatrix}\in M_{N,N}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と表記し、\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)における代替効果行列（substitution matrix）やスルツキー行列（Slutskymatrix）などと呼びます。
補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が定義域上において任意の商品の価格に関して偏微分可能であるならば、それぞれの点\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して、そこでの代替効果行列\begin{equation*}D_{p}h^{\ast }\left( p,v\right) =\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial h_{1}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{1}} & \cdots &
\dfrac{\partial h_{1}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{N}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial h_{N}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{1}} & \cdots &
\dfrac{\partial h_{N}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{N}}\end{pmatrix}\in M_{N,N}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を像として定める多変数の行列値関数\(D_{p}h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow M_{N,N}\left( \mathbb{R} \right) \)が定義可能です。
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}} \\
\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}v\right) ^{\frac{1}{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(h^{\ast }\)は任意の商品の価格に関して偏微分可能であるため、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、そこでの代替効果行列\begin{eqnarray*}D_{p}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{1}} &
\dfrac{\partial h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{2}}
\\
\dfrac{\partial h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{1}} &
\dfrac{\partial h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{2}}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2p_{2}}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}} & \frac{1}{2p_{2}}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{\frac{1}{2}} \\
\frac{1}{2p_{1}}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}v\right) ^{\frac{1}{2}} & -\frac{1}{2p_{1}}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}v\right) ^{\frac{1}{2}}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を定める関数\(D_{p}h^{\ast }\)が定義可能です。
代替効果と単位
商品や所得の単位を変換すると代替効果の値は変化してしまいます。所得の単位として「万円」を採用し、商品の単位として「トン」を採用する場合、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)において、商品\(i\)の補償需要に対して商品\(j\)の価格の変化がもたらす代替効果が\(1\)であるものとします。これは、\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格を1万円だけ上昇させると商品\(j\)の補償需要が1トンだけ増えることを意味します。まず、所得の単位は「万円」のままで商品の単位を「キログラム」に変換すると、1トンの変化は1000キログラムの変化に相当するため、\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)における商品\(i\)の補償需要の商品\(j\)の価格の代替効果が\(1000\)になってしまいます。また、商品の単位は「トン」のままで所得の単位を「円」に変換すると、1万円の変化は10000円の変化に相当するため、\(\left( \overline{p},\overline{v}\right) \)における商品\(i\)の補償需要の商品\(j\)の価格の代替効果は\(\frac{1}{10000}\)になってしまいます。
したがって、商品や所得の単位が異なるデータが混在する場合、価格の変化が補償需要に与える効果を比較する際には、代替効果は有効な指標ではありません。このような問題への対策として、通常、価格の変化が補償需要に与える効果を比較する際には弾力性と呼ばれる概念を利用します。弾力性については場を改めて解説します。
演習問題
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}\right) ^{\frac{1}{2}}v \\
\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}v\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。代替効果を求めてください。
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