選好関係の単調性

単調性を満たす選好関係

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が、\begin{equation*}\forall x,y\in X:\left( y\geq x\Rightarrow y\succsim x\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\(\succsim \)は単調性（monotonicity）を満たすとか非減少（nondecreasing）であるなどと言います。ただし、\(\geq \)は\(\mathbb{R} ^{N}\)上の標準的順序であり、任意の\(x,y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{equation*}y\geq y\Leftrightarrow \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}\geq
x_{n}
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。したがって、選好\(\succsim \)が単調性を満たすこととは、消費ベクトル\(x\)を任意に選んだときに、そこからすべての商品の消費量を減らさない場合には消費者の満足度も悪化しないことを意味します。

消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだとき、その上方位集合は、\begin{equation*}U\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ y\succsim x\right\}
\end{equation*}と定義されるため、選好関係\(\succsim \)が単調性を満たすことは、\begin{equation*}\forall x,y\in X:\left[ y\geq x\Rightarrow y\in U\left( x\right) \right] \end{equation*}と表現可能です。つまり、消費ベクトル\(x\)が任意に与えられたとき、\(x\)以上の任意の消費ベクトルが\(x\)の上方位集合\(U\left( x\right) \)の要素であるならば、\(\succsim \)は単調性を満たします。

例（単調性を満たす選好）

2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合、選好関係\(\succsim \)が単調性を満たすこととは、任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\left( y_{1}\geq x_{1}\wedge y_{2}\geq x_{2}\right) \Rightarrow \left(
y_{1},y_{2}\right) \succsim \left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。この選好\(\succsim \)を以下に図示しました。つまり、下図のように消費ベクトル\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)を任意に選んだとき、グレーの領域（境界を含む）が\(x\)の上方位集合\(U\left(x\right) \)、すなわち\(x\)以上に望ましい消費ベクトルからなる集合になります。

狭義単調性を満たす選好関係

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が、\begin{equation*}\forall x,y\in X:\left( y>x\Rightarrow y\succ x\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\(\succsim \)は狭義単調性（strictly monotonicity）を満たすとか狭義増加（strictly increasing）であるなどと言います。ただし、\(>\)は\(\mathbb{R} ^{N}\)上の狭義の標準的順序であり、任意の\(x,y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{equation*}y>x\Leftrightarrow \left( y\geq x\wedge y\not=x\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。ただし、右辺の\(\geq \)は\(\mathbb{R} ^{N}\)上の順序です。定義より、\(y>x\)が成り立つことは、\begin{eqnarray*}\forall n &\in &\left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}\geq x \\
\exists n &\in &\left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}>x_{n}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。したがって、選好\(\succsim \)が狭義単調性を満たすこととは、消費ベクトル\(x\)を任意に選んだときに、そこからすべての商品の消費量を減らさず、なおかつ少なくとも1つの商品の消費量を増やせば、消費者の満足度が向上することを意味します。

消費集合\(x\in X\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合は、\begin{equation*}U_{s}\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ y\succ x\right\}
\end{equation*}と定義されるため、選好関係\(\succsim \)が狭義単調性を満たすことは、\begin{equation*}\forall x,y\in X:\left[ y>x\Rightarrow y\in U_{s}\left( x\right) \right] \end{equation*}と表現可能です。つまり、消費ベクトル\(x\)が任意に与えられたとき、\(x\)より大きい任意の消費ベクトルが\(x\)の狭義上方位集合\(U_{s}\left(x\right) \)の要素であるならば、\(\succsim \)は狭義単調性を満たします。

例（狭義単調性を満たす選好）

2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合、選好関係\(\succsim \)が狭義単調性を満たすこととは、任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left(y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}\left( x_{1}\geq y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right) \wedge \left(
x_{1}>y_{1}\vee x_{2}>y_{2}\right) \Rightarrow \left( x_{1},x_{2}\right)
\succ \left( y_{1},y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。この選好\(\succsim \)を以下に図示しました。つまり、下図のように消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、グレーの領域（境界を含むが点\(x\)自身は含まない）が\(x\)の狭義上方位集合\(U_{s}\left( x\right) \)、すなわち\(x\)よりも望ましい消費ベクトルからなる集合になります。

単調性と狭義単調性の関係

狭義単調性を満たす選好関係は単調性を満たします。

上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、単調性を満たす選好は狭義単調性を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。

単調選好のもとでの無差別曲線の形状

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と狭義単調性をともに満たすものとします。この場合、消費ベクトル\(x\)を任意に選ぶと、無差別集合\(I\left( x\right) \)は幅を持たない曲線になります。なぜなら、仮に\(I\left(x\right) \)が幅を持つものと仮定すると、下図のように\(y\in I\left( y\right) \)かつ\(y>x\)を満たす消費ベクトル\(y\)が存在することになりますが、このとき、\(\succsim \)の狭義単調性より\(y\succ x\)が成り立ち、これは\(y\in I\left( y\right) \)すなわち\(y\sim x\)と矛盾するからです。

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と狭義単調性をともに満たすものとします。この場合、消費ベクトル\(x\)を任意に選ぶと、無差別集合\(I\left( x\right) \)は右下がりの曲線になります。そのことを示すために、消費ベクトル\(x\)を任意に選んだ上で、\(x\)を通る2本の直線によって消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)を下図の\(A,B,C,D\)の4つの領域に分割します。

領域\(B\)およびその境界上にある消費ベクトル\(y\)を任意に選んだとき（点\(x\)を除く）、それと\(x\)の間には\(y>x\)が成り立つため、\(y\)は無差別集合\(I\left( x\right) \)の要素ではありません。したがって、\(I\left( x\right) \)は領域\(B \)およびその境界とは交わらないことが明らかになりました。領域\(D\)およびその境界上にある消費ベクトル\(y\)を任意に選んだとき（点\(x\)を除く）、それと\(x\)の間には\(x>y\)が成り立つため、\(y\)は無差別集合\(I\left( x\right) \)の要素ではありません。したがって、\(I\left( x\right) \)は領域\(D \)およびその境界とは交わらないことが明らかになりました。したがって、無差別集合\(I\left( x\right) \)が通過する領域は、\(A\)からその境界を除いた領域と、\(C\)からその境界を除いた領域となります。以上の議論は消費集合\(X\)に属する任意の消費ベクトルについて成立するため、結局、狭義単調選好のもとでは、無差別曲線は水平ないし垂直な領域をもたず、ゆえに、右下がりの曲線となります。

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と狭義単調性をともに満たすものとします。この場合、異なる消費ベクトル\(x,y\)を任意に選んだとき、無差別集合\(I\left( x\right),I\left( y\right) \)は交わりません。そのことを示すために、下図のように\(I\left( x\right) \)と\(I\left( y\right) \)が交わるものと仮定して矛盾を導きます。\(I\left( x\right) \)と\(I\left( y\right) \)の交点を\(z\)とすると、\(z\in I\left( x\right) \)かつ\(z\in I\left(y\right) \)より\(z\sim x\)かつ\(z\sim y\)が成り立ちます。\(\succsim \)の合理性より\(\sim \)は推移性を満たすため、このとき\(x\sim y\)が成り立ちます。一方、下図より\(y>x\)が成り立つため、\(\succsim \)の狭義単調性より\(y\succ x\)が成り立ちますが、これは\(x\sim y\)と矛盾です。したがって、\(I\left( x\right) \)と\(I\left( y\right) \)が交わらないことが示されました。

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と狭義単調性をともに満たすものとします。先に示したように、この場合、異なる消費ベクトル\(x,y\)を任意に選ぶと、無差別集合\(I\left( x\right) ,I\left( y\right) \)はともに幅を持たない曲線であるとともに両者は交わりません。したがって、\(I\left(x\right) \)と\(I\left( y\right) \)は下図のように互いに平行な曲線となります。\(\succsim \)の狭義単調性より消費者にとって\(y\)は\(x\)よりも望ましいため、右上にある無差別曲線\(I\left( y\right) \)上の任意の消費ベクトルは、左下にある無差別曲線\(I\left( x\right) \)上の任意の消費ベクトルよりも消費者にとってより望ましいということになります。

議論をまとめましょう。消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と狭義単調性を満たす場合、それぞれの消費ベクトル\(x\)の無差別集合\(I\left( x\right) \)は右下がりの幅を持たない曲線になります。さらに、異なる消費ベクトル\(x,y\)を任意に選んだとき、両者の無差別集合\(I\left( x\right) ,I\left( y\right) \)は互いに平行な曲線であり、\(y\succ x\)であるならば\(I\left( y\right) \)は\(I\left( x\right) \)よりも右上に位置します。

単調性の仮定の妥当性

商品の価格が正の実数であるとき、その商品を経済財（good）と呼び、価格が負の実数であるとき、その商品を非経済財（bad）と呼びます。ただ、商品に正の価格がつくということは、その商品が消費者にとって何らかの価値を持つ商品であることを意味し、逆に、負の価格がつくということは、その商品が消費者にとって何らかの存在をもたらす商品であることを意味すると考えることもできるため、消費者にとって望ましいものであるか否かという基準から、経済財と非経済財を分類することもできます。

選好に関する単調性の仮定とは、消費者は商品をより多く消費することを好むという仮定です。したがって、この仮定が成り立つためには、すべての商品が消費者にとって経済財でなければなりません。仮にすべての商品が消費者にとって経済財である場合においても、それらの消費量が多すぎる場合には、消費者が消費量を増やしたときに満足度が向上するとは思えません。したがって、このような場合には単調性の仮定は成立しません。ただ、消費集合とは消費者が様々な制約のもとで選択可能な消費ベクトルからなる集合ですから、そこでは、すべての商品の消費量が多すぎるという状況があらかじめ排除されているものと解釈することもできます。

非経済財が存在する場合には単調性の仮定は成り立ちません。ただ、非経済財とペアになるような経済財が存在する場合には、非経済財の消費を考える代わりに、それとペアになる経済財の消費を考えることで、単調性の仮定を成り立たせることができます。例えば、多くの人は無償労働を好まないため、その意味において労働は非経済財です。したがって、消費ベクトルを構成する商品の中に労働が含まれる場合、選好関係は単調性を満たしません。一方、非経済財である労働の消費を考える代わりに、それとペアになる余暇の消費を考える形に消費ベクトルを再定義するのであれば、選好関係は単調性を満たします。

単調増加な効用関数

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上に定義された効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が単調増加関数（monotonically increasing function）もしくは単調非減少関数（monotonically non-decreasing function）であるとは、\begin{equation*}\forall x,y\in X:\left[ y\geq x\Rightarrow u\left( y\right) \geq u\left(
x\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、効用関数\(\succsim \)が単調増加関数であることとは、消費ベクトル\(x\)を任意に選んだときに、そこからすべての商品の消費量を減らさない場合には消費者の効用も減少しないことを意味します。

選好の単調性と効用関数の単調増加性の間には以下の関係が成立します。

この命題は、選好関係を表現する効用関数が存在することを前提とした上での主張であることに注意してください。そもそも、選好関係の単調性から、効用関数の存在について何らかのことを言えるのでしょうか。選好関係が単調性を満たす場合、その選好関係を表現する効用関数は存在するのでしょうか。効用関数が存在するための条件については場を改めて詳しく解説します。

狭義単調増加な効用関数

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上に定義された効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義単調増加（strictly monotonically increasing function）であるとは、\begin{equation*}\forall x,y\in X:\left[ y>x\Rightarrow u\left( y\right) >u\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、効用関数\(u\)が狭義単調増加関数であることとは、消費ベクトル\(x\)を任意に選んだときに、そこからすべての商品の消費量を減らさず、なおかつ少なくとも1つの商品の消費量を増やせば、消費者の効用が増加することを意味します。

選好の狭義単調性と効用関数の狭義単調増加性の間には以下の関係が成立します。

この命題もまた、選好関係を表現する効用関数が存在することを前提とした上での主張であることに注意してください。

演習問題