単調性を満たす選好関係
\(N\)種類の商品が存在する経済を想定した上で、消費者が直面する個々の選択肢を\(N\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。ただし、このベクトル\(\boldsymbol{x}\)の第\(n\)成分\(x_{n}\)は商品\(n\)の消費量を表します。消費者が選択可能なすべてのベクトルからなる集合を消費集合\begin{equation*}X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。消費集合\(X\)に直面した消費者は、\(X\)の要素である消費ベクトルどうしを比較しながら自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選択します。そこで、消費者が持つ好みの体系を\(X\)上の二項関係\(\succsim \)として定式化し、これを選好関係と呼びます。具体的には、2つの消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\succsim \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \text{消費者は}\boldsymbol{x}\text{を}\boldsymbol{y}\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たすものとして\(\succsim \)を定義します。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N}\)上のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{N}\)が与えられたとき、以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{y}\geq \boldsymbol{x}\Leftrightarrow \forall n\in \left\{
1,\cdots ,n\right\} :y_{n}\geq x_{n}
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} ^{N}\)上の二項関係\(\geq \)を定義し、これを標準的順序と呼ぶこととします。つまり、2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の対応する成分どうしを比べた上で、\(\boldsymbol{y}\)の成分がいずれも\(\boldsymbol{x}\)の成分以上である場合、そしてその場合にのみ\(\boldsymbol{y}\geq \boldsymbol{x}\)が成り立つということです。\(\boldsymbol{y}\geq \boldsymbol{x}\)が成り立つ場合、\(\boldsymbol{y}\)は\(\boldsymbol{x}\)以上であると言うこととします。
以上を踏まえた上で、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left( \boldsymbol{y}\geq
\boldsymbol{x}\Rightarrow \boldsymbol{y}\succsim \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\(\succsim \)は単調性（monotonicity）を満たすとか非減少（nondecreasing）であるなどと言います。選好\(\succsim \)が単調性を満たすこととは、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだときに、そこからすべての商品の消費量を減らさない場合には消費者の満足度も悪化しないことを意味します。
消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選んだとき、その上方位集合は、\begin{equation*}U\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\ \boldsymbol{y}\succsim \boldsymbol{x}\right\}
\end{equation*}と定義されるため、選好関係\(\succsim \)が単調性を満たすことと、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left[ \boldsymbol{y}\geq
\boldsymbol{x}\Rightarrow \boldsymbol{y}\in U\left( \boldsymbol{x}\right) \right]
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)が任意に与えられたとき、\(\boldsymbol{x}\)以上の任意の消費ベクトルが\(\boldsymbol{x}\)の上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)の要素であるならば、\(\succsim \)は単調性を満たします。
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y\geq x\right\} \\
&=&[x,+\infty )
\end{eqnarray*}となりますが、この有界半開区間\([x,+\infty )\)に属する任意の消費ベクトルが\(x\)以上に望ましいということです。
y_{1},y_{2}\right) \succsim \left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。この選好\(\succsim \)を以下に図示しました。
つまり、上図のように消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right) \)を任意に選んだとき、グレーの領域（境界を含む）が\(\boldsymbol{x}\)の上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)、すなわち\(\boldsymbol{x}\)以上に望ましい消費ベクトルからなる集合になります。
y_{1},y_{2}\right) \succsim \left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}を満たします。つまり、この家計の選好関係は単調性を満たします。
\end{equation*}となります。この労働者が余暇と商品はともに多い方がよいと考えているのであれば、この労働者の選好関係\(\succsim \)は任意の消費ベクトル\(\left( h_{1},x_{1}\right),\left( h_{2},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}\left( h_{2}\geq h_{1}\wedge x_{2}\geq x_{1}\right) \Rightarrow \left(
h_{2},x_{2}\right) \succsim \left( h_{1},x_{1}\right)
\end{equation*}を満たします。つまり、この労働者の選好関係は単調性を満たします。
狭義単調性を満たす選好関係
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N}\)上の標準的順序\(\geq \)が与えられた状況を想定します。つまり、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{N}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{y}\geq \boldsymbol{x}\Leftrightarrow \forall n\in \left\{
1,\cdots ,n\right\} :y_{n}\geq x_{n}
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\Leftrightarrow \left( \boldsymbol{y}\geq
\boldsymbol{x}\wedge \boldsymbol{y}\not=\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} ^{N}\)上の二項関係\(>\)を定義し、これを標準的狭義順序と呼ぶこととします。定義より、\(\boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\)が成り立つことは、\begin{eqnarray*}\forall n &\in &\left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}\geq x_{n} \\
\exists n &\in &\left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}>x_{n}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。\(\boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\)が成り立つ場合、\(\boldsymbol{y}\)は\(\boldsymbol{x}\)より大きいと言うこととします。
以上を踏まえた上で、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left( \boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\Rightarrow \boldsymbol{y}\succ \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\(\succsim \)は狭義単調性（strictly monotonicity）を満たすとか狭義増加（strictly increasing）であるなどと言います。選好\(\succsim \)が狭義単調性を満たすこととは、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだときに、そこからすべての商品の消費量を減らさず、なおかつ少なくとも1つの商品の消費量を増やせば、消費者の満足度が向上することを意味します。
消費集合\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合は、\begin{equation*}U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\
\boldsymbol{y}\succ \boldsymbol{x}\right\}
\end{equation*}と定義されるため、選好関係\(\succsim \)が狭義単調性を満たすことと、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left[ \boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\Rightarrow \boldsymbol{y}\in U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \right]
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)が任意に与えられたとき、\(\boldsymbol{x}\)より大きい任意の消費ベクトルが\(\boldsymbol{x}\)の狭義上方位集合\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の要素であるならば、\(\succsim \)は狭義単調性を満たします。
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
x_{1}>y_{1}\vee x_{2}>y_{2}\right) \Rightarrow \left( x_{1},x_{2}\right)
\succ \left( y_{1},y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。この選好\(\succsim \)を以下に図示しました。
つまり、上図のように消費ベクトル\(x=\left(x_{1},x_{2}\right) \)を任意に選んだとき、グレーの領域（境界を含むが点\(x\)自身は含まない）が\(x\)の狭義上方位集合\(U_{s}\left(x\right) \)、すなわち\(x\)よりも望ましい消費ベクトルからなる集合になります。
単調性と狭義単調性の関係
狭義単調性を満たす選好関係は単調性を満たします。
上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、単調性を満たす選好は狭義単調性を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を満たすものとします。\(\boldsymbol{y}\geq \boldsymbol{x}\)を満たす消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X\)を任意に選んだとき、\(\succsim \)の定義より\(\boldsymbol{y}\sim \boldsymbol{x}\)が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{y}\sim \boldsymbol{x} &\Leftrightarrow &\boldsymbol{y}\succsim
\boldsymbol{x}\wedge \boldsymbol{x}\succsim \boldsymbol{y}\quad \because
\sim \text{の定義} \\
&\Rightarrow &\boldsymbol{y}\succsim \boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}すなわち\(\boldsymbol{y}\succsim \boldsymbol{x}\)が成り立つため、\(\succsim \)は単調性を満たすことが明らかになりました。一方、\(\boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\)を満たす消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X\)を任意に選んだとき、\(\succsim \)の定義より\(\boldsymbol{y}\sim \boldsymbol{x}\)が成り立ちます。したがって\(\boldsymbol{y}\succ \boldsymbol{x}\)は成り立たないため、\(\succsim \)は狭義単調性を満たしません。
単調選好のもとでの無差別曲線の形状
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と狭義単調性をともに満たすものとします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:(\boldsymbol{x}\succsim \boldsymbol{y}\vee \boldsymbol{y}\succsim \boldsymbol{x}) \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in
X:\left[ (\boldsymbol{x}\succsim \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\succsim
\boldsymbol{z})\Rightarrow \boldsymbol{x}\succsim \boldsymbol{z}\right] \\
&&\left( c\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left(
\boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\Rightarrow \boldsymbol{y}\succ \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ状況を想定するということです。この場合、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選ぶと、無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)は幅を持たない曲線になります。なぜなら、仮に\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)が幅を持つものと仮定すると、下図のように\(\boldsymbol{y}\in I\left( \boldsymbol{x}\right) \)かつ\(\boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\)を満たす消費ベクトル\(\boldsymbol{y}\)が存在することになりますが、このとき、\(\succsim \)の狭義単調性より\(\boldsymbol{y}\succ \boldsymbol{x}\)が成り立ち、これは\(\boldsymbol{y}\in I\left( \boldsymbol{x}\right) \)すなわち\(\boldsymbol{y}\sim \boldsymbol{x}\)と矛盾するからです。
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と狭義単調性をともに満たすものとします。この場合、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選ぶと、無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)は右下がりの曲線になります。そのことを示すために、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだ上で、\(\boldsymbol{x}\)を通る2本の直線によって消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)を下図の\(A,B,C,D\)の4つの領域に分割します（下図）。
領域\(B\)およびその境界上にある消費ベクトル\(y\)を任意に選んだとき（点\(\boldsymbol{x}\)を除く）、それと\(\boldsymbol{x}\)の間には\(y>\boldsymbol{x}\)が成り立つため、\(y\)は無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)の要素ではありません。したがって、\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)は領域\(B\)およびその境界とは交わらないことが明らかになりました。領域\(D\)およびその境界上にある消費ベクトル\(y\)を任意に選んだとき（点\(\boldsymbol{x}\)を除く）、それと\(\boldsymbol{x}\)の間には\(\boldsymbol{x}>y\)が成り立つため、\(y\)は無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)の要素ではありません。したがって、\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)は領域\(D\)およびその境界とは交わらないことが明らかになりました。したがって、無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)が通過する領域は、\(A\)からその境界を除いた領域と、\(C\)からその境界を除いた領域となります。以上の議論は消費集合\(X\)に属する任意の消費ベクトルについて成立するため、結局、狭義単調選好のもとでは、無差別曲線は水平ないし垂直な領域をもたず、ゆえに、右下がりの曲線となります。
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と狭義単調性をともに満たすものとします。この場合、異なる消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を任意に選んだとき、無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) ,I\left( \boldsymbol{y}\right) \)は交わりません。そのことを示すために、下図のように\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(I\left( \boldsymbol{y}\right) \)が交わるものと仮定して矛盾を導きます。
\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(I\left( \boldsymbol{y}\right) \)の交点を\(\boldsymbol{z}\)とすると、\(\boldsymbol{z}\in I\left( \boldsymbol{x}\right) \)かつ\(\boldsymbol{z}\in I\left( \boldsymbol{y}\right) \)より\(\boldsymbol{z}\sim \boldsymbol{x}\)かつ\(\boldsymbol{z}\sim \boldsymbol{y}\)が成り立ちます。\(\succsim \)の合理性より\(\sim \)は推移性を満たすため、このとき\(\boldsymbol{x}\sim \boldsymbol{y}\)が成り立ちます。一方、下図より\(\boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\)が成り立つため、\(\succsim \)の狭義単調性より\(\boldsymbol{y}\succ \boldsymbol{x}\)が成り立ちますが、これは\(\boldsymbol{x}\sim \boldsymbol{y}\)と矛盾です。したがって、\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(I\left( \boldsymbol{y}\right) \)が交わらないことが示されました。
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と狭義単調性をともに満たすものとします。先に示したように、この場合、異なる消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を任意に選ぶと、無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) ,I\left( \boldsymbol{y}\right) \)はともに幅を持たない曲線であるとともに両者は交わりません。したがって、\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(I\left( \boldsymbol{y}\right) \)は下図のように互いに平行な曲線となります。\(\succsim \)の狭義単調性より消費者にとって\(\boldsymbol{y}\)は\(\boldsymbol{x}\)よりも望ましいため、右上にある無差別曲線\(I\left( \boldsymbol{y}\right) \)上の任意の消費ベクトルは、左下にある無差別曲線\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)上の任意の消費ベクトルよりも消費者にとってより望ましいということになります。
議論の結論をまとめます。消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と狭義単調性を満たす場合、それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)は右下がりの幅を持たない曲線になります。さらに、異なる消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を任意に選んだとき、両者の無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) ,I\left( \boldsymbol{y}\right) \)は互いに平行な曲線であり、\(\boldsymbol{y}\succ \boldsymbol{x}\)であるならば\(I\left( \boldsymbol{y}\right) \)は\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)よりも右上に位置します。
単調性の仮定の妥当性
商品の価格が正の実数である場合にはその商品を経済財（good）と呼び、価格が負の実数である場合にはその商品を非経済財（bad）と呼びます。商品に正の価格がつくことは、その商品が消費者にとって何らかの価値を持つ商品であることを意味し、逆に、負の価格がつくことは、その商品が消費者にとって何らかの損害をもたらす商品であるものと考えることもできるため、消費者にとって望ましいものであるか否かという基準から経済財と非経済財を分類することもできます。
選好に関する単調性の仮定とは、消費者は商品をより多く消費することを好むという仮定です。したがって、単調性の仮定が成り立つためには、すべての商品が消費者にとって経済財でなければなりません。ただし、すべての商品が経済財である状況においても、消費量が多すぎる場合には、そこからさらに消費量を増やした場合に消費者の満足度が向上せず、したがって単調性の仮定が成立しないことになってしまいます。ただ、消費集合とは消費者が様々な制約のもとで選択可能な消費ベクトルからなる集合であるため、そこでは、すべての商品の消費量が多すぎるという状況があらかじめ排除されているものと解釈することもできます。
非経済財が存在する場合には単調性の仮定は成り立ちません。ただ、非経済財とペアになるような経済財が存在する場合には、非経済財の消費を考える代わりに、それとペアになる経済財の消費を考えることにより、単調性の仮定を成り立たせることができます。具体例を挙げると、多くの人は無償労働を好まないため、その意味において労働は非経済財です。したがって、消費ベクトルを構成する商品の中に労働が含まれる場合、選好関係は単調性を満たしません。一方、非経済財である労働の消費を考える代わりに、それとペアになる余暇の消費を考える形に消費ベクトルを再定義すれば、選好関係は単調性を満たします。
単調増加な効用関数
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上に定義された効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が単調増加関数（monotonically increasing function）もしくは単調非減少関数（monotonically non-decreasing function）であることとは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left[ \boldsymbol{y}\geq
\boldsymbol{x}\Rightarrow u\left( \boldsymbol{y}\right) \geq u\left(
\boldsymbol{x}\right) \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、効用関数\(\succsim \)が単調増加関数であることとは、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだときに、そこからすべての商品の消費量を減らさない場合には消費者の効用も減少しないことを意味します。
\end{equation*}を定めるものとします。この効用関数\(u\)は単調増加関数です。実際、\(y\geq x\)を満たす\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}u\left( y\right) &=&y\quad \because u\text{の定義} \\
&\geq &x\quad \because y\geq x \\
&=&u\left( x\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つからです。
\end{equation*}を定めるものとします。この効用関数\(u\)は単調増加関数です。実際、\(\left( y_{1},y_{2}\right) \geq \left(x_{1},x_{2}\right) \)すなわち\(y_{1}\geq x_{1}\)かつ\(y_{2}\geq x_{2}\)を満たす\(\left(x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}u\left( y_{1},y_{2}\right) &=&y_{1}+y_{2}\quad \because u\text{の定義} \\
&\geq &x_{1}+x_{2}\quad \because \left( y_{1},y_{2}\right) \geq \left(
x_{1},x_{2}\right) \\
&=&u\left( x_{1},x_{2}\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つからです。
選好の単調性と効用関数の単調増加性の間には以下の関係が成立します。
この命題は、選好関係を表現する効用関数が存在することを前提とした上での主張であることに注意してください。そもそも、選好関係の単調性から、効用関数の存在について何らかのことを言えるのでしょうか。選好関係が単調性を満たす場合、その選好関係を表現する効用関数は存在するのでしょうか。効用関数が存在するための条件については場を改めて詳しく解説します。
狭義単調増加な効用関数
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上に定義された効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義単調増加（strictly monotonically increasing function）であることとは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left[ \boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\Rightarrow u\left( \boldsymbol{y}\right) >u\left( \boldsymbol{x}\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、効用関数\(u\)が狭義単調増加関数であることとは、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだときに、そこからすべての商品の消費量を減らさず、なおかつ少なくとも1つの商品の消費量を増やせば、消費者の効用が増加することを意味します。
\end{equation*}を定めるものとします。この効用関数\(u\)は単調増加関数です。実際、\(y>x\)を満たす\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}u\left( y\right) &=&y\quad \because u\text{の定義} \\
&>&x\quad \because y>x \\
&=&u\left( x\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つからです。
\end{equation*}を定めるものとします。この効用関数\(u\)は単調増加関数です。実際、\(\left( y_{1},y_{2}\right) >\left(x_{1},x_{2}\right) \)すなわち\(y_{1}\geq x_{1}\)かつ\(y_{2}\geq x_{2}\)であるとともに、\(y_{1}>x_{1}\)と\(y_{2}>x_{2}\)の少なくとも一方を満たす\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}u\left( y_{1},y_{2}\right) &=&y_{1}+y_{2}\quad \because u\text{の定義} \\
&>&x_{1}+x_{2}\quad \because \left( y_{1},y_{2}\right) >\left(
x_{1},x_{2}\right) \\
&=&u\left( x_{1},x_{2}\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つからです。
選好の狭義単調性と効用関数の狭義単調増加性の間には以下の関係が成立します。
この命題もまた、選好関係を表現する効用関数が存在することを前提とした上での主張であることに注意してください。
演習問題
y_{1},y_{2}\right) \succ \left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。この選好は単調性や狭義単調性を満たすでしょうか。議論してください。
x_{1}+x_{2}\geq y_{1}+y_{2}
\end{equation*}を満たすものとします。この選好は単調性や狭義単調性を満たすでしょうか。満たす場合にはそのことを証明し、満たさない場合には反例を挙げてください。
\left[ x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right) \right] \end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。このような選好を辞書式選好（lexicographic preference）と呼びます。辞書式選好は単調性や狭義単調性を満たすでしょうか。満たす場合にはそのことを証明し、満たさない場合には反例を挙げてください。
\min \left\{ x_{1},x_{2}\right\} \geq \min \left\{ y_{1},y_{2}\right\}
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。このような選好は単調性や狭義単調性を満たすでしょうか。満たす場合にはそのことを証明し、満たさない場合には反例を挙げてください。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha_{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)をコブ・ダグラス型効用関数と呼びます。消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表される場合、選好関係は単調性や狭義単調性を満たすでしょうか。議論してください。
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