消費者の選好が局所非飽和性を満たすとき、効用最大化問題の解において消費者は所得をすべて使い切ります。これをワルラスの法則と呼びます。
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ワルラスの法則

消費集合が\(X= \mathbb{R} _{+}^{N}\)であり、選好関係\(\succsim \)は局所非飽和性を満たすものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で、そのときの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)を任意に選びます。ただし、\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は需要対応です。\(x^{\ast }\)は\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解であるため、予算制約条件\(p\cdot x^{\ast }\leq w\)を満たします。このとき、可能性としては\(p\cdot x^{\ast }<w\)と\(p\cdot x^{\ast }=w\)の2通りがありますが、以下では\(p\cdot x^{\ast }<w\)が成り立つものと仮定して矛盾を導きます。

つまり、消費ベクトル\(x^{\ast }\)が\(p\cdot x^{\ast }<w\)を満たす場合、すなわち、\(x^{\ast }\)が予算集合\(B\left( p,w\right) \)の内点である場合には、\(U_{\varepsilon }\left( x^{\ast }\right) \subset B\left( p,w\right) \)を満たす開近傍\(U_{\varepsilon }\left( x^{\ast }\right) \)が存在します。すると、\(\succsim \)の局所非飽和性より、\(u\left( y\right) >u\left( x^{\ast }\right) \)を満たす点\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)が\(U_{\varepsilon }\left( x^{\ast }\right) \)の中に存在します。消費集合が\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)であることから、この\(y\)もまた消費ベクトルです。\(U_{\varepsilon }\left( x^{\ast }\right) \subset B\left( p,w\right) \)より、\(U_{\varepsilon }\left( x^{\ast }\right) \)の要素である\(y\)もまた予算制約条件を満たします。つまり、\(y\)は予算制約を満たすと同時に\(x^{\ast }\)よりも大きい効用をもたらしますが、これは\(x^{\ast }\)が\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解であることと矛盾です。したがって、当初の仮定である\(p\cdot x^{\ast }<w\)は誤りであり、\(p\cdot x^{\ast }=w\)が成り立ちます。

結論を整理しましょう。消費集合が\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)であり、選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合には、効用最大化問題の任意の解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)において\(p\cdot x^{\ast }=w\)が成り立つことが保証されます。つまり、効用最大化問題の解は予算超平面上の点であり、そこで消費者は所得をすべて使い切ります。これをワルラスの法則(Walras’ law)と呼びます。

命題(ワルラスの法則)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は局所非飽和性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)はワルラスの法則を満たす。すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) :p\cdot x^{\ast }=w
\end{equation*}が成り立つ。
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需要関数が存在する場合にも、同様の条件のもとでワルラスの法則が成り立ちます。

命題(ワルラスの法則)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は局所非飽和性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、需要関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)はワルラスの法則を満たす。すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:p\cdot x^{\ast }\left( p,w\right) =w
\end{equation*}が成り立つ。
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ワルラスの法則のもとでの効用最大化問題

価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題は、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)を用いて、\begin{equation*}
\max\limits_{x\in X}\ u(x)\quad s.t.\quad x\in B(p,w)
\end{equation*}と定式化されます。

消費集合が\(X= \mathbb{R} _{+}^{N}\)であり、選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合には、ワルラスの法則より、上の問題の解は予算超平面\(\overline{B}\left( p,w\right) \)の点であることが保証されるため、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題を、\begin{equation*}
\max\limits_{x\in X}\ u(x)\quad s.t.\quad x\in \overline{B}(p,w)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max\limits_{x\in X}\ u(x)\quad s.t.\quad p\cdot x=w
\end{equation*}と定式化しても一般性は失われません。この場合の効用最大化問題は、所得をすべて使い切る消費ベクトルの中で、最大の効用を実現する消費ベクトルを特定することを意味します。

 

エンゲル集計

消費集合が\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)であり、選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合、需要関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)はワルラスの法則を満たすため、\(\left( p,w\right) =\left( p_{1},\cdots ,p_{N},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
p\cdot x^{\ast }\left( p,w\right) =w
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sum\limits_{i=1}^{N}p_{i}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =w
\end{equation*}という関係式が成り立ちます。両辺を\(w\)について偏微分すると、\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{N}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\right] =1
\end{equation*}を得ます。これをエンゲル集計(Engel aggregation)と呼びます。

命題(エンゲル集計)
需要関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)が、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ x^{\ast } \text{はワルラスの法則を満たす} \\
&&\left( c\right) \ x^{\ast }\text{は}w\text{について偏微分可能である}
\end{eqnarray*}を満たす場合には、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)について、\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{N}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\right] =1
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題中の\(\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\)は所得\(w\)が限界的に変化したときの商品\(i\)の需要の変化であるため、これと商品\(i\)の価格\(p_{i}\)の積は、所得\(w\)が限界的に変化したときの商品\(i\)への支出額の変化を表します。したがって、エンゲル集計は、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点としたとき、所得\(w\)を限界的に変化させると消費者の総支出は\(1\)だけ増加することを意味します。この関係は、需要の弾力性という概念について考える際に再び登場します。

次回は間接効用関数について学びます。

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