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CONSUMER THEORY

ワルラスの法則

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ワルラスの法則

消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であり、選好関係\(\succsim \)は局所非飽和性を満たすものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で、そのときの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)を任意に選びます。ただし、\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は需要対応です。\(x^{\ast }\)は\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解であるため予算制約条件\(p\cdot x^{\ast }\leq w\)を満たします。このとき、可能性としては\(p\cdot x^{\ast }<w\)と\(p\cdot x^{\ast }=w\)の2通りがありますが、以下では\(p\cdot x^{\ast }<w\)が成り立つものと仮定して矛盾を導きます。

消費ベクトル\(x^{\ast }\)が\(p\cdot x^{\ast }<w\)を満たす場合、すなわち、\(x^{\ast }\)が予算集合\(B\left( p,w\right) \)の内点である場合、内点の定義より、\begin{equation}N_{\varepsilon }\left( x^{\ast }\right) \subset B\left( p,w\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす点\(x^{\ast }\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( x^{\ast }\right) \)が存在します。すると、\(\succsim \)の局所非飽和性より、\begin{equation}\exists y\in N_{\varepsilon }\left( x^{\ast }\right) :y\succ x^{\ast }
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\exists y\in B\left( p,w\right) :y\succ x^{\ast }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(y\)は予算制約を満たすと同時に\(x^{\ast }\)よりも望ましい消費ベクトルですが、これは\(x^{\ast }\)が効用最大化問題の解であることと矛盾です。したがって、背理法より\(p\cdot x^{\ast }<w\)は成り立たず、\(p\cdot x^{\ast }=w\)が成り立つことが明らかになりました。

結論を整理しましょう。消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合には、効用最大化問題の任意の解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left(p,w\right) \)において\(p\cdot x^{\ast }=w\)が成り立つことが保証されます。つまり、効用最大化問題の解は予算超平面上の点であり、そこで消費者は所得をすべて使い切ります。これをワルラスの法則(Walras’ law)と呼びます。

命題(ワルラスの法則)

消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) :p\cdot x^{\ast }=w
\end{equation*}を満たす。

需要関数が存在する場合にも同様の議論が成立するため以下の命題が導かれます。

命題(ワルラスの法則)

消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:p\cdot x^{\ast }\left( p,w\right) =w
\end{equation*}を満たす。

証明

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消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに選好関係\(\succsim \)が単調性を満たすものとします。単調性を満たす選好関係は局所非飽和性を満たすため、上の命題より、この場合にも需要対応や需要関数はワルラスの法則を満たします。また、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合、\(\succsim \)が局所非飽和性を満たすことと\(u\)が局所非飽和関数であることは必要十分です。また、\(\succsim \)が単調性を満たすことと\(u\)が単調増加関数であることは必要十分です。したがって、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、なおかつ\(u\)が局所非飽和関数であったり単調増加関数である場合にも需要対応や需要対応はワルラスの法則を満たします。以下が具体例です。

例(ワルラスの法則)
2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(u\)は連続かつ狭義準凹であるため連続な需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在します。しかも\(u\)は単調増加関数であるため、上の命題より需要関数\(x^{\ast }\)はワルラスの法則を満たすはずです。具体的な導出方法は場を改めて解説しますが、この需要関数\(x^{\ast }\)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。このとき、\begin{eqnarray*}
p_{1}\cdot x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) +p_{2}\cdot x_{2}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&p_{1}\cdot \frac{w}{2p_{1}}+p_{2}\cdot \frac{w}{2p_{2}}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{w}{2}+\frac{w}{2} \\
&=&w
\end{eqnarray*}となるため、たしかにワルラスの法則が成立しています。

 

ワルラスの法則のもとでの効用最大化問題

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、\begin{equation*}\max_{x\in X}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad p\cdot x\leq w
\end{equation*}と定式化されます。消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合にはワルラスの法則が成り立つため、効用最大化問題の解において消費者は所得をすべて使い切ることが保証されるため、この場合、効用最大化問題を、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad p\cdot x=w
\end{equation*}すなわち、

$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & u\left( x\right) \\
s.t. & \sum\limits_{i=1}^{N}p_{i}x_{i}=w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$

と表現しても一般性は失われないことになります。つまり、この場合の効用最大化問題は、所得をすべて使い切る消費ベクトルの中で、最大の効用を実現する消費ベクトルを特定することを意味します。

例(ワルラスの法則のもとでの効用最大化問題)
2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)は単調増加関数であるためワルラスの法則が成立します。したがって、価格ベクトルと所得の組\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題を、

$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1}x_{2}\right) } & x_{1}+x_{2} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0
\end{array}$$

と表現しても問題はありません。

 

エンゲル集計

消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であり、選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合には需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)はワルラスの法則を満たすため、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}p\cdot x^{\ast }\left( p,w\right) =w
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sum\limits_{i=1}^{N}\left[ p_{i}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \right] =w
\end{equation*}という関係式が成り立ちます。両辺を\(w\)について偏微分すると、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\right] =1
\end{equation*}を得ます。これをエンゲル集計(Engel aggregation)と呼びます。

命題(エンゲル集計)
需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)がワルラスの法則を満たすとともに\(w\)について偏微分可能であるならば、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\right] =1
\end{equation*}という関係が成り立つ。

上の命題はどのようなことを示唆しているのでしょうか。命題中の\(\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\)は所得\(w\)が限界的に変化したときの商品\(i\)の需要の変化であるため、これと商品\(i\)の価格\(p_{i}\)の積である\begin{equation*}p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}
\end{equation*}は、所得\(w\)が限界的に変化したときの商品\(i\)への支出額の変化を表します。したがって、エンゲル集計\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\right] =1
\end{equation*}は、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点としたときに、所得\(w\)を限界的に変化させると消費者の総支出は\(1\)だけ増加することを意味します。この関係は需要の弾力性という概念について考える際に再び登場します。

例(エンゲル集計)
2財モデルにおいて需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}&&p_{1}\cdot \frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}+p_{2}\cdot \frac{\partial x_{2}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w} \\
&=&p_{1}\cdot \left[ \frac{\partial }{\partial w}\left( \frac{w}{2p_{1}}\right) \right] +p_{2}\cdot \left[ \frac{\partial }{\partial w}\left( \frac{w}{2p_{2}}\right) \right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&p_{1}\cdot \frac{1}{2p_{1}}+p_{2}\cdot \frac{1}{2p_{2}} \\
&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、たしかにエンゲル集計が成立しています。

 

演習問題

問題(ワルラスの法則)
2財モデルにおいて需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{2w}{5p_{1}} \\
\frac{3w}{5p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ワルラスの法則とエンゲル集計が成り立つことをそれぞれ確認してください。
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問題(ワルラスの法則)
\(N\)財モデルにおいて需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)はそれぞれの\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{\alpha _{1}w}{p_{1}} \\
\vdots \\
\frac{\alpha _{N}w}{p_{N}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\alpha _{n}>0
\\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{N}\alpha _{n}=1
\end{eqnarray*}をともに満たす定数です。ワルラスの法則とエンゲル集計が成り立つことをそれぞれ確認してください。
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次回は効用最大化問題の解を求めるための具体的な手順を解説します。

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DISCUSSION

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消費者理論