ワルラスの法則
消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されているとともに、\(\succsim \)は合理性と連続性の仮定を満たすものとします。この場合、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。また、消費者が直面する経済的制約が予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとで消費者が直面する予算集合は、\begin{equation*}B(p,w)=\{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p\cdot x\leq w\}
\end{equation*}です。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が解くべき効用最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}として定式化されます。効用最大化を目指す消費者の意思決定がワルラスの需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題の解からなる集合は、\begin{equation}X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall
y\in B\left( p,w\right) :u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\}
\quad \cdots (2)
\end{equation}です。以上の条件のもとで需要対応\(X^{\ast }\)は非空値をとるため、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\begin{equation*}x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が存在することが保証されます。効用最大化問題の定義より、\(x^{\ast }\)は予算制約条件\begin{equation*}p\cdot x^{\ast }\leq w
\end{equation*}を満たします。このとき、論理的な可能性として\(p\cdot x^{\ast }<w\)と\(p\cdot x^{\ast}=w\)の2通りがありますが、選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合には\(p\cdot x^{\ast }<w\)は起こり得ず、したがって、\begin{equation*}p\cdot x^{\ast }=w
\end{equation*}が成り立つことが保証されます（演習問題）。つまり、効用最大化問題の解において消費者は所得をすべて使い切ります。これをワルラスの法則（Walras’ law）と呼びます。
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性の仮定を満たす場合、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとる。さらに、\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合には、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) :p\cdot x^{\ast }=w
\end{equation*}が成り立つ。
以上の条件に加えて選好関係\(\succsim \)が狭義凸性を満たす場合には需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在することが保証されます。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題の解からなる集合は常に1点集合であり、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x^{\ast }\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。先と同様の議論を繰り返すことにより、需要関数がワルラスの法則を満たすことを示すことができます。
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、狭義凸性を満たす場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する。さらに、\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合には、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:p\cdot x^{\ast }\left( p,w\right) =w
\end{equation*}が成り立つ。
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、狭義凸性に加えて単調性を満たすものとします。単調性は局所非飽和性を含意するため、この場合には上の命題が要求する条件が満たされます。また、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在するとともに、それが連続な狭義準凹関数であり、なおかつ局所非飽和関数または単調増加関数である場合にも上の命題が要求する条件が満たされるため、ワルラスの法則が成立します。以下が具体例です。
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}:p\cdot x^{\ast }\left( p,w\right) =w
\end{equation*}と表現されます。
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定めます。この場合のワルラスの法則は、\begin{equation*}
\forall \left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}:p_{1}\cdot x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) +p_{2}\cdot x_{2}^{\ast
}\left( p,w\right) =w
\end{equation*}と表現されます。
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で連続かつ狭義単調増加な狭義凹関数であるため、先の命題より需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在するとともに、\(x^{\ast }\)はワルラスの法則を満たすはずです。具体的な導出方法は場を改めて解説しますが、この需要関数\(x^{\ast }\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\begin{eqnarray*}
p_{1}\cdot x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) +p_{2}\cdot x_{2}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&p_{1}\cdot \frac{w}{2p_{1}}+p_{2}\cdot
\frac{w}{2p_{2}}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{w}{2}+\frac{w}{2} \\
&=&w
\end{eqnarray*}となるため、たしかにワルラスの法則が成立しています。
ワルラスの法則を踏まえた効用最大化問題
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad p\cdot x\leq w
\end{equation*}と定式化されます。選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合にはワルラスの法則が成り立つため、効用最大化問題の解において消費者は所得をすべて使い切ることが保証されます。したがってこの場合、効用最大化問題を、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad p\cdot x=w
\end{equation*}と表現しても一般性は失われません。つまり、この場合の効用最大化問題は、所得をすべて使い切る消費ベクトルの中で、最大の効用を実現する消費ベクトルを特定する最適化問題になります。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(u\)は単調増加関数であるためワルラスの法則が成立します。したがって、価格ベクトルと所得の組\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題を、
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1}x_{2}\right) } & x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}} \\ s.t. & p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=w \\ & x_{1}\geq 0 \\ & x_{2}\geq 0\end{array}$$
と表現しても一般性は失われません。
エンゲル集計
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する状況を想定します。選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合にはワルラスの法則が成り立つため、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}p\cdot x^{\ast }\left( p,w\right) =w
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sum\limits_{n=1}^{N}\left[ p_{n}\cdot x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \right] =w
\end{equation*}という関係が成り立ちます。それぞれの商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が所得\(w\)に関して偏微分可能である場合、上の関係式を\(w\)に関して偏微分することにより、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{N}\left[ p_{n}\cdot \frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\right] =1
\end{equation*}を得ます（演習問題）。これをエンゲル集計（Engel aggregation）と呼びます。
左辺中の\(\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(p,w\right) }{\partial w}\)は所得\(w\)が限界的に変化したときの商品\(n\)の需要の変化であるため、これと商品\(n\)の価格\(p_{n}\)の積である、\begin{equation*}p_{n}\cdot \frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}
\end{equation*}は、所得\(w\)が限界的に変化したときの商品\(n\)への支出額の変化を表します。したがって、エンゲル集計\begin{equation*}\sum_{n=1}^{N}\left[ p_{n}\cdot \frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\right] =1
\end{equation*}は、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点としたときに、所得\(w\)を限界的に変化させると消費者の総支出は\(1\)だけ増加することを意味します。この関係は需要の所得弾力性という概念について考える際に再び登場します。
p,w\right) }{\partial w}\right] =1
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定めます。価格ベクトルと所得\(\left( p_{1},p_{2},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)におけるエンゲル集計は、\begin{equation*}p_{1}\cdot \frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}+p_{2}\cdot \frac{\partial x_{2}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}=1
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に確認したようにこの場合にはワルラスの法則が成立します。加えて、それぞれの商品\(n\ \left( =1,2\right) \)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)は変数\(w\)に関して偏微分可能であるためエンゲル集計が成立するはずです、実際、\begin{eqnarray*}p_{1}\cdot \frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}+p_{2}\cdot \frac{\partial x_{2}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}
&=&p_{1}\cdot \frac{\partial }{\partial w}\left( \frac{w}{2p_{1}}\right)
+p_{2}\cdot \frac{\partial x_{2}^{\ast }}{\partial w}\left( \frac{w}{2p_{2}}\right) \\
&=&p_{1}\cdot \frac{1}{2p_{1}}+p_{2}\cdot \frac{1}{2p_{2}} \\
&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、たしかにエンゲル集計が成立しています。
クールノー集計
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する状況を想定します。選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合にはワルラスの法則が成り立つため、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}p\cdot x^{\ast }\left( p,w\right) =w
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sum\limits_{i=1}^{N}\left[ p_{i}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \right] =w
\end{equation*}という関係が成り立ちます。それぞれの商品\(i\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が商品\(j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能である場合、上の関係式を\(p_{j}\)に関して偏微分することにより、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial p_{j}}\right] =-x_{j}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}を得ます（演習問題）。これをクールノー集計（Cournot aggregation）と呼びます。
左辺中の\(\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(p,w\right) }{\partial p_{j}}\)は商品\(j\)の価格\(p_{j}\)が限界的に変化したときの商品\(i\)の需要の変化であるため、これと商品\(i\)の価格\(p_{i}\)の積である、\begin{equation*}p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}
\end{equation*}は、商品\(j\)の価格\(p_{j}\)が限界的に変化したときの商品\(i\)への支出額の変化を表します。したがって、クールノー集計\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial p_{j}}\right] =-x_{j}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}は、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点としたときに、商品\(j\)の価格\(p_{j}\)を限界的に変化させると消費者の総支出は\(x_{j}^{\ast }\left(p,w\right) \)だけ減少することを意味します。この関係は需要の価格弾力性という概念について考える際に再び登場します。
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに任意の商品\(i\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)に関するワルラスの需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が商品\(j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるものとする。ワルラスの法則が成り立つならば、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial p_{j}}\right] =-x_{j}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定めます。価格ベクトルと所得\(\left( p_{1},p_{2},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における商品\(1\)の価格に関するクールノー集計は、\begin{equation*}p_{1}\cdot \frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}+p_{2}\cdot \frac{\partial x_{2}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}=-x_{1}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}であり、\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における商品\(2\)の価格に関するクールノー集計は、\begin{equation*}p_{1}\cdot \frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}+p_{2}\cdot \frac{\partial x_{2}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}=-x_{2}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に確認したようにこの場合にはワルラスの法則が成立します。加えて、それぞれの商品\(n\ \left( =1,2\right) \)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)は商品\(1\)の価格\(p_{1}\)に関して偏微分可能であるため商品\(1\)の価格に関するクールノー集計が成立するはずです、実際、\begin{eqnarray*}p_{1}\cdot \frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{1}}+p_{2}\cdot \frac{\partial x_{2}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{1}}
&=&p_{1}\cdot \frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{w}{2p_{1}}\right)
+p_{2}\cdot \frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{w}{2p_{2}}\right)
\\
&=&p_{1}\cdot \left( -\frac{w}{2p_{1}^{2}}\right) +p_{2}\cdot 0 \\
&=&-\frac{w}{2p_{1}} \\
&=&-x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{eqnarray*}となるため、たしかに商品\(1\)の価格に関するクールノー集計が成立しています。商品\(2\)の価格についても同様です。
演習問題
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{2w}{5p_{1}} \\
\frac{3w}{5p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ワルラスの法則とエンゲル集計およびクールノー集計が成り立つことをそれぞれ確認してください。
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{\alpha _{1}w}{p_{1}} \\
\vdots \\
\frac{\alpha _{N}w}{p_{N}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\alpha _{n}>0
\\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{N}\alpha _{n}=1
\end{eqnarray*}をともに満たす定数です。ワルラスの法則とエンゲル集計およびクールノー集計が成り立つことをそれぞれ確認してください。
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