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予算対応の0次同次性

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効用関数

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選好関係

消費者が直面する選択肢を消費集合予算集合などとして定式化しましたが、続いて問題になるのは、選択肢からなる集合を与えられた消費者がどのように意思決定を行うかという点です。一般に、複数の消費者に対して同一の選択肢集合を提示したとき、彼らはその中から同じものを選ぶとは限りません。商品に対する好みの体系は人それぞれだからです。例えば、食に興味があるがファッションに興味がない人は、新しい服を購入するよりも高級レストランへ行くことを選びます。また、食に興味を持つ人の中にも、料理に興味がある人、スイーツに興味がある人、アルコールに興味がある人など様々な人がおり、好みの体系の違いが消費行動の違いとして反映されます。いずれにせよ、消費者による意思決定は、その人が持つ好みの体系によって左右されることには疑いの余地はありません。そこで、消費者理論では、消費者が持つ好みの体系を選好関係(preference relation)や効用関数(utility function)などの概念を用いてモデル化します。

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)に直面した消費者は、\(X\)の要素である消費ベクトルどうしを比較しながら、自身にとって最も望ましい何らかの消費ベクトルを選択します。そこで、消費者が持つ好みの体系を\(X\)上の二項関係\(\succsim \)として定式化し、これを選好関係(preference relation)や広義の選好関係(weak preference relation)などと呼びます。具体的には、2つの消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}x\succsim y\Leftrightarrow \text{消費者は}x\text{を}y\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たすものとして\(\succsim \)を定義します。つまり、比較対象として2つの消費ベクトル\(x,y\)が提示されたとき、消費者が\(x\)を\(y\)以上に好むとき、そしてその場合にのみ、\(x\succsim y\)が成り立つものとして\(\succsim \)を定義するということです。ただし、\(x\)を\(y\)以上に好むとは、\(x\)を\(y\)よりも好むか、または\(x\)と\(y\)を同じ程度好むことを意味します。ちなみに、\(x\succsim y\)が成り立つ場合には、消費者は\(x\)\(y\)以上に好む(\(x\) is at least as good as \(y\))とか、\(x\)\(y\)よりも広義に選好する(weakly prefer \(x\) to \(y\))などと言います。

例(選好関係)
ある学生が昼食の予算として\(500\)円持っています。ただ、売店に残っているのはサンドイッチとコーヒーだけです。サンドイッチは1つ\(300\)円、コーヒーは1杯\(180\)円です(いずれも税込)。サンドイッチの消費量を\(x_{1}\)で表し、コーヒーの消費量を\(x_{2}\)で表すのであれば、この学生が直面する予算集合\(B\)は、\begin{eqnarray*}B &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{Z} _{+}^{2}\ |\ 300x_{1}+180x_{2}\leq 500\right\} \\
&=&\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,0\right) ,\left( 0,2\right) ,\left(
0,1\right) ,\left( 0,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。この学生はお腹を空かせており、なおかつサンドイッチとコーヒーを好むものとします。ただ、サンドイッチとコーヒーのどちらか一方だけを選べと言われればサンドイッチを選びたい気分です。また、コーヒーを2杯も飲みたい気分ではありませんが、何も食べない・飲まないよりはマシであると考えているものとします。このとき、この学生の選好\(\succsim \)は、\begin{equation*}\left( 1,1\right) \succsim \left( 1,0\right) \succsim \left( 0,1\right)
\succsim \left( 0,2\right) \succsim \left( 0,0\right)
\end{equation*}と記述されます。別の学生は満腹であり、飲食をしたい気分ではなく、なるべく多くのお金を節約したいと考えているのであれば、この学生の選好\(\succsim \)は、\begin{equation*}\left( 0,0\right) \succsim \left( 0,1\right) \succsim \left( 1,0\right)
\succsim \left( 0,2\right) \succsim \left( 1,1\right)
\end{equation*}と記述されます。さらに別の学生はお腹を空かせてはいるものの、コーヒー嫌っているのであれば、この学生の選好\(\succsim \)は、\begin{equation*}\left( 1,0\right) \succsim \left( 0,0\right) \succsim \left( 1,1\right)
\succsim \left( 0,1\right) \succsim \left( 0,2\right)
\end{equation*}と記述されます。

例(選好関係)
家計によるひと月当たりのコメ消費量を\(x_{1}\)(キログラム)で表し、同時期におけるコメ以外のすべての商品への消費を合成財への支出\(x_{2}\)(円)として表現します。消費集合を\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)と定めます。この家計は何らかの商品を消費することを何も消費しないこと以上に好むとともに、すべての商品について、消費量が多いほどよいと考えているのであれば、この家計の選好関係\(\succsim \)は任意の消費ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) ,\left( x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\left( x_{1}^{\prime }\geq x_{1}\wedge x_{2}^{\prime }\geq x_{2}\right)
\Rightarrow \left( x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime }\right) \succsim \left(
x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}を満たします。

例(選好関係)
労働者が1日の時間(\(24\)時間)を余暇と労働に配分し、労働から得た所得で商品を購入する状況を想定します。1日あたり余暇に割り当てる時間を\(h\)(時間)で表します。ただし、\(0\leq h\leq 24\)です。1日あたりの労働時間は\(24-h\)(時間)ですが、法律により、1日あたりの労働時間は\(14\)時間までと定められているのであれば\(0\leq24-h\leq 14\)すなわち\(10\leq h\leq 24\)となります。商品の消費を合成財への支出として表現します。つまり、商品の消費量を\(x\)(円)で表し、その価格を\(1\)とみなすということです。以上を踏まえると、この労働者が直面する消費集合は、\begin{equation*}X=\{\left( h,x\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ 10\leq h\leq 24\}
\end{equation*}となります。この労働者が余暇と商品はともに多い方がよいと考えているのであれば、この労働者の選好関係\(\succsim \)は任意の消費ベクトル\(\left( h,x\right) ,\left(h^{\prime },x^{\prime }\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}\left( h^{\prime }\geq h\wedge x^{\prime }\geq x\right) \Rightarrow \left(
h^{\prime },x^{\prime }\right) \succsim \left( h,x\right)
\end{equation*}を満たします。

例(選好関係)
ある人が1日の予算として\(2000\)円持っています。1日当たりのタバコの消費量を\(c\)(箱)で表し、タバコ以外のすべての商品への消費を合成財への支出\(x\)(円)として表現します。タバコが1箱あたり\(600\)円(税込)であるならば、この人が直面する予算集合\(B\)は、\begin{equation*}B=\left\{ \left( c,x\right) \in \mathbb{Z} _{+}\times \mathbb{R} _{+}\ |\ 600c+x\leq 2000\right\}
\end{equation*}となります。仮に、この人がニコチン中毒でタバコの消費をすべてに優先するのであれば、この人の選好関係\(\succsim \)は任意の消費ベクトル\(\left( c,x\right) ,\left(c^{\prime },x^{\prime }\right) \in B\)に対して、\begin{equation*}\left( c^{\prime },x^{\prime }\right) \succsim \left( c,x\right)
\Leftrightarrow c^{\prime }>c\vee \left( c^{\prime }=c\vee x^{\prime }\geq
x\right)
\end{equation*}を満たします。つまり、タバコの消費量が多い消費ベクトルは無条件でより望ましく、タバコの消費量が等しい消費ベクトルどうしについては、その他の商品の消費量が多い方が望ましいということです。

例(選好関係)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)で与えられているものとします。つまり、問題としているモデルには\(n\)種類の商品が存在し、それらをいずれも任意の非負の実数量だけ消費できるということです。このモデルには\(n\)種類の商品が存在しますが、その中から特定の2つの商品に注目し、それらを比較することもできます。つまり、2種類の商品\(i,j\)に注目したとき、「商品\(i\)を\(x_{i}\)だけ消費する」という選択肢は「第\(i\)成分が\(x_{i}\)で他の任意の成分が\(0\)であるような\(n\)次元の消費ベクトル」として表現される一方で、「商品\(j\)を\(x_{j}\)だけ消費する」という選択肢は「第\(j\)成分が\(x_{j}\)で他の任意の成分が\(0\)であるような\(n\)次元の消費ベクトル」として表現されます。したがって、2つの商品\(i,j\)を比較する状況は、以上のような2つの消費ベクトルを比較することとして表現可能です。

 

狭義選好関係

消費集合\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の2つの消費ベクトル\(x,y\in X\)に対して、\begin{equation*}x\succ y\Leftrightarrow \left[ x\succsim y\wedge \lnot (y\succsim x)\right] \end{equation*}を満たすものとして定義される\(X\)上の二項関係\(\succ \)を狭義選好関係(strict preference relation)と呼びます。つまり、比較対象として2つの消費ベクトル\(x,y\)が提示されたとき、消費者が\(x\)を\(y\)以上に好むが\(y\)を\(x\)以上には好まないとき、そしてその場合にのみ、\(x\succ y\)が成り立つものとして\(\succ \)を定義するということです。言い換えると、\(x\succ y\)が成り立つこととは、消費者にとって\(x\)が\(y\)よりも望ましいことを意味します。\(x\succ y\)が成り立つ場合には、消費者は\(x\)\(y\)よりも選好する(prefer \(x\)to \(y\))とか、\(x\)\(y\)よりも狭義に選好する(strictly prefer \(x\) to \(y\))などと言います。

 

無差別関係

消費集合\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の2つの消費ベクトル\(x,y\in X\)に対して、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow \left( x\succsim y\wedge y\succsim x\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(X\)上の二項関係\(\sim \)を無差別関係(indifference relation)と呼びます。つまり、比較対象として2つの消費ベクトル\(x,y\)が提示されたとき、消費者が\(x\)を\(y\)以上に好むと同時に\(y\)を\(x\)以上に好むとき、そしてその場合にのみ、\(x\sim y\)が成り立つものとして\(\sim \)を定義するということです。言い換えると、\(x\sim y\)が成り立つこととは、消費者にとって\(x\)と\(y\)が同じ程度望ましいことを意味します。\(x\sim y\)が成り立つ場合には、消費者にとって\(x\)\(y\)は無差別である(indifferent between \(x\) and \(y\))と言います。

 

選好関係の特徴づけ

選好関係\(\succsim \)から派生的に狭義選好関係\(\succ \)や無差別関係\(\sim \)を定義しましたが、それらの定義を踏まえると、消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}x\succsim y\Leftrightarrow \left( x\succ y\vee x\sim y\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます(演習問題)。つまり、\(x\succsim y\)が成り立つことと\(x\succ y\)と\(x\sim y\)の少なくとも一方が成り立つことは必要十分です。直感的には、\(x\)を\(y\)以上に好むことは、\(x\)を\(y\)よりも好むか、または\(x\)と\(y\)を同じ程度好むことを意味しますが、上の関係はそのような直感と整合的です。

命題(選好関係の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)の要素である消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x\succsim y\Leftrightarrow \left( x\succ y\vee x\sim y\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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当初の話の流れでは最初に選好関係\(\succsim \)を先に定義し、そこから派生的に狭義選好関係\(\succ \)や無差別関係\(\sim \)を定義しました。以上の命題は、そのような話の流れとは逆に、先に\(\succ \)と\(\sim \)を定義した上で、そこから派生的に\(\succsim \)を定義することも可能であることを示唆しています。具体的には、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の二項関係である狭義選好関係\(\succ \)と無差別関係\(\sim \)がそれぞれ与えられたとき、任意の\(x,y\in X\)に対して、\begin{equation*}x\succsim y\Leftrightarrow \left( x\succ y\vee x\sim y\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(X\)上の新たな二項関係である選好関係\(\succsim \)を定義することもできるということです。

ちなみに、上の命題をもう少し精緻化できます。上の命題によると、\(x\succsim y\)が成り立つことは、\(x\succ y\)と\(x\sim y\)の「少なくとも一方」が成り立つことと必要十分です。つまり、\(x\succsim y\)が成り立つ場合に\(x\succ y\)と\(x\sim y\)の両方がともに成り立つことを可能性を含んでいます。しかし実際には、\(x\succ y\)と\(x\sim y\)が同時に成り立つことはありません(演習問題)。したがって、上の命題において論理和\(\vee \)を排他的論理和\(\veebar \)に置き換えることができます。つまり、\(x\succsim y\)が成り立つことは、\(x\succ y\)と\(x\sim y\)の「どちらか一方」が成り立つことと必要十分です。

命題(選好関係の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)の要素である消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x\succsim y\Leftrightarrow \left( x\succ y\veebar x\sim y\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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例(選好関係の特徴づけ)
消費ベクトル\(x,y,z\in X\)が与えられたとき、消費者の選好関係\(\succsim \)は、\begin{equation*}x\succsim y\succsim z
\end{equation*}を満たすものとします。上の命題より、このことは、以下の4つの場合\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x\succ y\succ z \\
&&\left( b\right) \ x\succ y\sim z \\
&&\left( c\right) \ x\sim y\succ z \\
&&\left( d\right) \ x\sim y\sim z
\end{eqnarray*}の中のいずれかであることを意味します。

 

演習問題

問題(選好関係)
大学生がどのゼミへ入るか検討しています。4つのゼミ\(s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\)に興味を持っていますが、ゼミ\(s_{1},s_{2}\)に参加するためにはキャンパス\(A\)へ通う必要があり、ゼミ\(s_{3},s_{4}\)へ参加するためにはキャンパス\(B\)へ通う必要があります。学生が参加できるゼミは1つだけです。

  1. ある学生は4つのゼミを\(s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\)の順番で好んでおり、どちらのキャンパスへ通うかは問題ではないものとします。この学生の好みを選好関係として定式化してください。
  2. 別の学生は4つのゼミを\(s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\)の順番で好んでいますが、キャンパス\(A\)は自宅から遠いため、自宅に近いキャンパス\(B\)へ通うことを最も重視しています。この学生の好みを選好関係として定式化してください。
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問題(狭義選好の性質)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)の要素である消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lnot \left( x\succ x\right)
\end{equation*}が成り立つことを示した上で、その意味を説明してください。

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問題(無差別関係の性質)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)の要素である消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow y\sim x
\end{equation*}が成り立つことを示した上で、その意味を説明してください。

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問題(狭義選好の性質)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)の要素である\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}y\succ x\Leftrightarrow \left[ y\succsim x\wedge \lnot \left( y\sim x\right) \right] \end{equation*}という関係が成り立つことを示した上で、その意味を説明してください。

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