消費者による意思決定は、その人が持つ好みの体系によって左右されます。そこで、消費者理論では、消費者が持つ好みの体系を選好関係や狭義選好関係、無差別関係などの二項関係として定式化します。
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選好関係

消費者が直面する選択肢を消費集合や予算集合などとして定式化しましたが、続いて問題になるのは、選択肢の集合を与えられた消費者がどのように意思決定を行うかという点です。一般に、複数の消費者に対して同一の選択肢集合を提示したとき、彼らはその中から同じものを選ぶとは限りません。商品に対する好みの体系は人それぞれだからです。例えば、食に興味があるがファッションに興味がない人は、新しい服を購入するよりも高級レストランへ行くことを選びます。また、食に興味を持つ人の中にも、料理に興味がある人、スイーツに興味がある人、アルコールに興味がある人など様々な人がおり、好みの体系の違いが消費行動の違いとして反映されます。いずれにせよ、消費者による意思決定は、その人が持つ好みの体系によって左右されることには疑いの余地はありません。そこで、消費者理論では、消費者が持つ好みの体系を選好関係(preference relation)や効用関数(utility function)などの概念を用いてモデル化します。

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)に直面した消費者は、\(X\)の要素である消費ベクトルどうしを比較しながら、自身にとって最も望ましい何らかの消費ベクトルを選択します。そこで、消費者が持つ好みの体系を\(X\)上の二項関係\(\succsim \)として定式化し、これを選好関係(preference relation)や弱い意味の選好関係(weak preference relation)などと呼びます。具体的には、消費ベクトルからなる任意の順序対\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}
x\succsim y\ \Leftrightarrow \ \text{消費者は}x\text{を}y\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たすものとして\(\succsim \)を定義します。つまり、比較対象として2つの消費ベクトル\(x,y\)が提示されたとき、消費者が\(x\)を\(y\)以上に好むとき、そしてその場合にのみ、\(x\succsim y\)が成り立つものとして\(\succsim \)を定義するということです。ただし、\(x\)を\(y\)以上に好むとは、\(x\)を\(y\)よりも好むか、または\(x\)と\(y\)を同じ程度好むことを意味します。ちなみに、\(x\succsim y\)が成り立つ場合には、消費者は\(x\)を\(y\)以上に好む(\(x\) is at least as good as \(y\))とか、\(x\)を\(y\)よりも弱く選好する(weakly prefer \(x\) to \(y\))などと言います。

例(選好関係)
家計によるひと月当たりのコメ消費量を\(x_{1}\)(キログラム)で表し、同時期におけるコメ以外のすべての商品への消費を合成財への支出\(x_{2}\)(円)として表現します。消費集合を\(X= \mathbb{R} _{+}^{2}\)と定めます。何も消費しないという選択肢は消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 0,0\right) \)として表現されます。消費者は何らかの商品を消費することを何も消費しないこと以上に好むのであれば、それは、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( 0,0\right)
\end{equation*}と表現されます。ただし、\(x_{1}\geq 0\)かつ\(x_{2}\geq 0\)です。また、すべての商品について、消費量は多ければ多い方がよいと思っているのであれば、それは、\(0\leq x_{1}\leq x_{1}^{\prime }\)かつ\(0\leq x_{2}\leq x_{2}^{\prime }\)である場合に、\begin{equation*}
\left( x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime }\right) \succsim \left(
x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして表現されます。
例(選好関係)
労働者が1日の時間(24時間)を余暇と労働に配分し、労働から得た所得で商品を購入する状況を想定します。1日あたり余暇に割り当てる時間を\(h\)(時間)で表します。ただし、\(0\leq h\leq 24\)です。1日あたりの労働時間は\(24-h\)(時間)ですが、法律により、1日あたりの労働時間は\(14\)時間までと定められているのであれば、\(10\leq h\leq 24\)となります。商品の消費を合成財への支出として表現します。つまり、商品の消費量を\(x\)(円)で表し、その価格を\(1\)とみなすということです。消費集合を、\begin{equation*}
X=\{\left( h,x\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ 10\leq h\leq 24\}
\end{equation*}と定めます。労働者が余暇と商品はともに多ければ多い方がよいと考えているのであれば、それは、\(10\leq h\leq h^{\prime }\leq 24\)かつ\(0\leq x\leq x^{\prime }\)である場合に、\begin{equation*}
\left( h^{\prime },x^{\prime }\right) \succsim \left( h,x\right)
\end{equation*}が成り立つこととして表現されます。

 

狭義選好関係

消費者の選好関係\(\succsim \)は消費集合\(X\)上の二項関係として定義されるため、数学的にはそこから\(\succsim \)の非対称部分(asymmetric component)を定義できます。具体的には、\(X\)上に\(\succsim \)が定義されているとき、消費ベクトルからなる任意の順序対\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}
x\succ y\ \Leftrightarrow \ \left[ x\succsim y\ \wedge \ \lnot (y\succsim x)\right] \end{equation*}を満たすものとして\(\succ \)を定義します。これを狭義選好関係(strict preference relation)と呼びます。つまり、比較対象として2つの消費ベクトル\(x,y\)が提示されたとき、消費者が\(x\)を\(y\)以上に好むが\(y\)を\(x\)以上には好まないとき、そしてその場合にのみ、\(x\succ y\)が成り立つものとして\(\succ \)を定義するということです。\(x\succ y\)が成り立つ場合には、消費者は\(x\)を\(y\)よりも選好する(prefer \(x\) to \(y\))と言います。

選好関係\(\succsim \)は消費集合\(X\)上の二項関係であるため、それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して、\(x\succsim x\)は成り立つか否かのどちらか一方です。つまり、\(x\succsim x\)と\(\lnot \left( x\succsim x\right) \)が同時に成立することはありませんが、\(\succ \)の定義より、これは\(x\succ x\)が成り立たないことを意味します。つまり、消費者が消費ベクトルをそれ自身よりも好むという事態は起こり得ません。

命題(狭義選好関係の非反射律)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)の要素である消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\lnot \left( x\succ x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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無差別関係

消費者の選好関係\(\succsim \)は消費集合\(X\)上の二項関係として定義されるため、数学的にはそこから\(\succsim \)の対称部分(symmetric component)を定義できます。具体的には、\(X\)上に\(\succsim \)が定義されているとき、消費ベクトルからなる任意の順序対\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}
x\sim y\ \Leftrightarrow \ \left( x\succsim y\ \wedge \ y\succsim x\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(\sim \)を定義します。これを無差別関係(indifference relation)と呼びます。つまり、比較対象として2つの消費ベクトル\(x,y\)が提示されたとき、消費者が\(x\)を\(y\)以上に好むと同時に\(y\)を\(x\)以上に好むとき、そしてその場合にのみ、\(x\sim y\)が成り立つものとして\(\sim \)を定義するということです。\(x\sim y\)が成り立つ場合には、消費者にとって\(x\)と\(y\)は無差別である(indifferent between \(x\) and \(y\))と言います。

消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{align*}
x\sim y& \Leftrightarrow \ \left( x\succsim y\ \wedge \ y\succsim x\right)
\quad \because \sim \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \ \left( y\succsim x\ \wedge \ x\succsim y\right) \quad
\because \wedge \text{の交換律} \\
& \Leftrightarrow y\sim x\quad \because \sim \text{の定義}
\end{align*}が成り立ちます。つまり、\(x\sim y\)と\(y\sim x\)は同値です。消費者にとって\(x\)と\(y\)が無差別であることと、消費者にとって\(y\)と\(x\)が無差別であることは互いに交換可能であるということです。

命題(無差別関係の対称性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)の要素である消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\sim y\ \Leftrightarrow \ y\sim x
\end{equation*}が成り立つ。
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選好関係の特徴づけ

消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\left( x\succ y\ \vee \ x\sim y\right) &\Leftrightarrow &\ \left[ x\succsim
y\ \wedge \ \lnot (y\succsim x)\right] \vee \left( x\succsim y\ \wedge \
y\succsim x\right) \\
&\Leftrightarrow &\ x\succsim y\ \wedge \ \left[ \lnot (y\succsim x)\ \vee \
y\succsim x\right] \\
&\Leftrightarrow &\ x\succsim y\ \wedge \ \top \\
&\Leftrightarrow &\ x\succsim y
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
x\succsim y\ \Leftrightarrow \ \left( x\succ y\ \vee \ x\sim y\right)
\tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(\top \)は恒真式を表す記号です。つまり、\(x\succsim y\)が成り立つことは、\(x\succ y\)と\(x\sim y\)の少なくとも一方が成り立つための必要十分条件です。\(x\)を\(y\)以上に好むことは、\(x\)を\(y\)よりも好むか、または\(x\)と\(y\)を同じ程度好むことを意味しますが、\(\left( 1\right) \)はそれと整合的です。

命題(選好関係の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)の要素である消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\succsim y\ \Leftrightarrow \ \left( x\succ y\ \vee \ x\sim y\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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これまでは選好関係\(\succsim \)を先に定義して、そこから派生的に狭義選好関係\(\succ \)や無差別関係\(\sim \)を定義しました。上の命題はそれとは逆に、先に\(\succ \)と\(\sim \)を定義して、そこから派生的に\(\succsim \)を定義することも可能であることを示唆しています。

消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\left( x\succ y\ \wedge \ x\sim y\right) &\Leftrightarrow &\left[ x\succsim
y\ \wedge \ \lnot (y\succsim x)\right] \wedge \left( x\succsim y\ \wedge \
y\succsim x\right) \\
&\Leftrightarrow &\ x\succsim y\ \wedge \ \lnot (y\succsim x)\ \wedge \
y\succsim x \\
&\Leftrightarrow &\ x\succsim y\ \wedge \ \bot \\
&\Leftrightarrow &\ \bot
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x\succ y\ \wedge \ x\sim y\right) \ \Leftrightarrow \ \bot
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\bot \)は恒偽式を表す記号です。つまり、\(x\succ y\)と\(x\sim y\)が同時に起こることはありません。この事実と先の命題より、\begin{equation*}
x\succsim y\ \Leftrightarrow \ \left( x\succ y\ \veebar \ x\sim y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(\veebar \)は排他的論理和を表す記号です。つまり、\(x\succsim y\)が成り立つことは、\(x\succ y\)と\(x\sim y\)のどちらか一方が成り立つことを意味します。

命題(選好関係の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)の要素である消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\succsim y\ \Leftrightarrow \ \left( x\succ y\ \veebar \ x\sim y\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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次回は効用関数について学びます。

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