コブ・ダグラス型効用関数のもとでの効用最大化問題
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(u\)がそれぞれの消費ベクトル\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}です。ただし、\(k,\alpha_{1},\cdots ,\alpha _{N}\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ k>0 \\
&&\left( b\right) \ \alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{eqnarray*}を満たします。
コブ・ダグラス型効用関数\(u\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}} & kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
となります。コブダグラス型効用関数\(u\)は連続であり、なおかつ制約条件を満たす消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合\begin{equation*}B\left( p,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}\leq w\right\}
\end{equation*}は非空なコンパクト集合であるため、最大値の定理より、コブ・ダグラス型効用関数\(u\)のもとでの効用最大化問題には解が存在することが保証されます。
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。価格ベクトルと所得\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}} & kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0\end{array}$$
となります。
コブ・ダグラス型効用関数のもとでの需要関数
コブ・ダグラス型効用関数\(u\)のもとでの効用最大化問題には解が存在します。\(u\)は消費集合の内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)において\(u\left( x\right) >0\)を満たす一方で境界点\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)において\(u\left( x\right) =0\)を満たすため、\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に属する消費集合だけを比較対象とした効用最大化問題に解が存在する場合、それは\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)に属する消費集合を比較対象とした効用最大化問題の解でもあります。そこで、\(u\)の定義域を消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に制限します。すると自然対数関数\(\ln \left(x\right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(\ln \left( u\left(x\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能になり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}\ln \left( u\left( x\right) \right) &=&\ln \left( kx_{1}^{\alpha
_{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}\right) \\
&=&\ln \left( k\right) +\alpha _{1}\ln \left( x_{1}\right) +\cdots +\alpha
_{N}\ln \left( x_{N}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。自然対数関数は単調増加関数であるため、合成関数\(\ln \left( u\left( x\right) \right) \)はもとの関数\(u\)の単調増加変換です。一般に、選好関係を表す効用関数の任意の単調増加変換もまた同じ選好関係を表す効用関数であるため、\(\ln \left( u\left(x\right) \right) \)は\(u\left( x\right) \)と同一の選好を表す効用関数です。したがって、消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に属する消費ベクトルどうしを比較する場合、効用最大化問題の目的関数として\(u\left(x\right) \)のかわりに\(\ln \left( u\left(x\right) \right) \)を採用しても一般性は失われません。関数\(\ln \left( u\left( x\right) \right) \)は\(C^{1}\)級の凹関数であるため、クーン・タッカーの条件は効用最大化問題の解であるための必要十分条件になることに注意してください。
以上の方針のもとで問題を解くと以下を得ます。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}}\cdot \frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}を定める。特に、\begin{equation*}
\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\alpha _{n}\cdot \frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。先の命題より、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}\cdot \frac{w}{p_{1}} \\
\frac{\alpha _{2}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}\cdot \frac{w}{p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。特に、\begin{equation*}
\alpha _{1}+\alpha _{2}=1
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\alpha _{1}\cdot \frac{w}{p_{1}} \\
\alpha _{2}\cdot \frac{w}{p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
コブ・ダグラス型効用関数を構成するパラメータの意味
効用最大化を目指す消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表現される場合、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)に直面したときの商品\(n\)への支出は、\begin{eqnarray*}p_{n}\cdot x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) &=&p_{n}\cdot \frac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot \frac{w}{p_{n}} \\
&=&\frac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot w
\end{eqnarray*}となります。この事実は、消費者が全体の所得\(w\)の割合\(\frac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\)だけを商品\(n\)の消費のために利用することを意味します。特に、\begin{equation*}\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
p_{n}\cdot x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\alpha _{n}
\end{equation*}となるため、\(\alpha _{n}\)は消費者による商品\(n\)への支出の割合を表しています。以上の事実を利用すれば、コブ・ダグラス型効用関数を構成するパラメータ\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{N}\)の水準と価格ベクトル\(p\)および所得\(w\)が外生的に与えられたとき、そこから需要\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)を簡単に導出できます。
逆に、消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表現されるものと仮定した場合、消費者によるそれぞれの商品への支出の割合を観察すればパラメータ\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{N}\)の水準が得られるため、そこから需要関数の形状を推定できます。
コブ・ダグラス型効用関数のもとでの間接効用関数
消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数として表される場合には需要関数が存在することが明らかになりました。したがって、需要関数を効用関数に代入することにより間接効用関数が以下のように特定されます。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。この場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =kw^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\left( \frac{\alpha
_{1}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot \frac{1}{p_{1}}\right) ^{\alpha
_{1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot
\frac{1}{p_{N}}\right) ^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。特に、\begin{equation*}
\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
v\left( p,w\right) =kw\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{\alpha
_{1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{p_{N}}\right) ^{\alpha _{N}}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。先の命題より、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =kw^{\alpha _{1}+\alpha _{2}}\left( \frac{\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}\cdot \frac{1}{p_{1}}\right) ^{\alpha
_{1}}\left( \frac{\alpha _{2}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}\cdot \frac{1}{p_{2}}\right) ^{\alpha _{2}}
\end{equation*}を定めます。特に、\begin{equation*}
\alpha _{1}+\alpha _{2}=1
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
v\left( p_{1},p_{2},w\right) =kw\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right)
^{\alpha _{1}}\left( \frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right) ^{\alpha _{2}}
\end{equation*}となります。
コブ・ダグラス型効用関数のもとでの所得の限界効用
消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数として表される場合には需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}}\cdot \frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。コブ・ダグラス型効用関数の定義より\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)であるため、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) >0
\end{equation*}を得ます。つまり、効用最大化問題の解は内点解であるため、すべての商品に関する所得の限界効用は一致します。具体的には以下の通りです。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、任意の商品\(n\in \left\{1,\cdots ,n\right\} \)に関する所得の限界効用は、\begin{equation*}\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =k\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha
_{N}\right) w^{\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) -1}\left( \frac{\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot \frac{1}{p_{1}}\right)
^{\alpha _{1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha
_{N}}\cdot \frac{1}{p_{N}}\right) ^{\alpha _{N}}
\end{equation*}で一致する。
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。先の命題より、\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)におけるそれぞれの商品に関する所得の限界費用は、\begin{equation*}\lambda ^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =k\left( \alpha _{1}+\alpha
_{2}\right) w^{\left( \alpha _{1}+\alpha _{2}\right) -1}\left( \frac{\alpha
_{1}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}\cdot \frac{1}{p_{1}}\right) ^{\alpha
_{1}}\left( \frac{\alpha _{2}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}\cdot \frac{1}{p_{2}}\right) ^{\alpha _{2}}
\end{equation*}となります。特に、\begin{equation*}
\alpha _{1}+\alpha _{2}=1
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =k\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{\alpha _{1}}\left( \frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right) ^{\alpha _{2}}
\end{equation*}となります。
演習問題
_{2}}x_{3}^{\alpha _{3}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)かつ\(\alpha _{3}>0\)です。
- 効用最大化問題を定式化してください。
- 需要関数を求めてください。
- 間接効用関数を求めてください。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。本文中で明らかにしたように、この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}}\cdot \frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}を定めます。
- \(x^{\ast }\)は\(\left( p,w\right) \)に関して0次同次でしょうか。議論してください。
- \(x^{\ast }\)はワルラスの法則を満たすでしょうか。議論してください。
- \(x^{\ast }\)はエンゲル集計を満たすでしょうか。議論してください。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。本文中で明らかにしたように、この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}}\cdot \frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}を定めます。また、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =kw^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\left( \frac{\alpha
_{1}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot \frac{1}{p_{1}}\right) ^{\alpha
_{1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot
\frac{1}{p_{N}}\right) ^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めます。以上を踏まえた上で、ロイの恒等式が成立することを確認してください。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。本文中で明らかにしたように、この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}}\cdot \frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}を定めます。また、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =kw^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\left( \frac{\alpha
_{1}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot \frac{1}{p_{1}}\right) ^{\alpha
_{1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot
\frac{1}{p_{N}}\right) ^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めます。以上を踏まえた上で、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}
\end{equation*}という関係が成り立つことを確認してください。ただし、\(\lambda^{\ast }\left( p,w\right) \)は所得の限界効用です。
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