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CONSUMER THEORY

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの効用最大化

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コブ・ダグラス型効用関数のもとでの効用最大化問題

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(u\)がそれぞれの消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める効用が、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}であるということです。ただし、定数\(\alpha_{1},\cdots ,\alpha _{N},k\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\alpha _{n}>0
\\
&&\left( b\right) \ \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1 \\
&&\left( c\right) \ k>0
\end{eqnarray*}を満たします。

コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
と定式化されます。コブダグラス型効用関数\(u\)は連続であり、なおかつ制約条件を満たす消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合\begin{equation*}B\left( p,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}\leq w\right\}
\end{equation*}は非空なコンパクト集合であるため、最大値の定理より先の効用最大化問題には解が存在することが保証されます

 

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの需要関数

コブ・ダグラス型効用関数\(u\)は消費集合の内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)において\(u\left( x\right) >0\)を満たす一方、境界点\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)において\(u\left( x\right) =0\)を満たします。したがって、消費集合の境界点は効用最大化問題の解になり得ないため、比較対象となる消費ベクトルを消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点に制限しても一般性は失われません。言い換えると、コブ・ダグラス型効用関数のもとでの効用最大化問題の解は内点解であることが保証されます。加えて、コブ・ダグラス型効用関数は消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)において局所非飽和性を満たすためワルラスの法則が成り立ちます。つまり、効用最大化問題の解において消費者は消費をすべて使い切ります。以上を踏まえると、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題を、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}=w \\
& x_{1}>0 \\
& \vdots \\
& x_{N}>0
\end{array}$$
と表現しても一般性は失われません。コブダグラス型効用関数\(u\)は消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)において準凹かつ\(C^{1}\)級となるため、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルはそのまま効用最大化問題の解になります。ただ、以下の要領で、問題をより扱いやすい形に変形することができます。

コブダグラス型効用関数\(u\)の定義域を消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に制限すると、これと自然対数関数\(\ln :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(\ln u:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能になり、この合成関数はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}\left( \ln u\right) \left( x\right) =\ln k+\alpha _{1}\ln x_{1}+\cdots
+\alpha _{N}\ln x_{N}
\end{equation*}を定めます。自然対数関数は単調増加関数であるため、合成関数\(\ln u\)はもとの関数\(u\)の単調増加変換です。一般に、選好関係を表す効用関数の任意の単調増加変換もまた同じ選好関係を表す効用関数であるため、\(\ln u\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に属する消費集合どうしを比較する場合、\(u\)の代わりに\(\ln u\)を分析対象としても一般性は失われません。以上を踏まえると、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題を、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & \ln k+\alpha _{1}\ln x_{1}+\cdots +\alpha _{N}\ln x_{N} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}=w \\
& x_{1}>0 \\
& \vdots \\
& x_{N}>0
\end{array}$$
と表現しても一般性は失われません。目的関数\(\ln u\)は連続かつ\(C^{1}\)級の凹関数であるため、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルはそのまま効用最大化問題の解になります。この問題を解くことにより以下が得られます。

命題(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの需要関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{n}w}{p_{n}}
\end{equation*}を定める。

証明

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例(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの需要関数)
2財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)です。上の命題より、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{\alpha w}{p_{1}} \\
\frac{\left( 1-\alpha \right) w}{p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。

例(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの需要関数)
3財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }x_{3}^{1-\alpha
-\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)かつ\(0<\beta <1\)です。上の命題より、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},p_{3},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right) \\
x_{3}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{\alpha w}{p_{1}} \\
\frac{\beta w}{p_{2}} \\
\frac{\left( 1-\alpha -\beta \right) w}{p_{3}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。

 

コブ・ダグラス型効用関数を構成するパラメータの意味

先の命題より、コブ・ダグラス型効用関数によって表現される選好を持つ消費者が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題に直面した場合、商品\(n\)に対して、\begin{eqnarray*}p_{n}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) &=&p_{n}\frac{\alpha _{n}w}{p_{n}} \\
&=&\alpha _{n}w
\end{eqnarray*}だけ支出します。仮定より、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\alpha _{n}>0
\\
&&\left( b\right) \ \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、この事実は、消費者は全体の所得\(w\)の中の割合\(\alpha _{n}\)を商品\(n\)の消費に使うことを意味します。つまり、コブ・ダグラス型効用関数を構成する定数\(\alpha _{n}\)は最適な需要において消費者が商品\(n\)に使う所得の割合を表しています。したがって、この事実を覚えておけば、コブ・ダグラス型効用関数を構成するパラメータ\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{N}\)の水準と価格ベクトル\(p\)および所得\(w\)が外生的に与えられたとき、そこから需要\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)を簡単に導出できます。

逆に、消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表現されるものと仮定した場合、消費者がそれぞれの商品に対してどのような割合で支出を行っているかを観察すればパラメータ\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{N}\)の水準が得られるため、そこから需要関数を具体的に特定することができます。

 

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの間接効用関数

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がコブ・ダグラス型効用関数として表される場合には需要関数が存在することが明らかになりました。したがって、需要関数を効用関数に代入することにより間接効用関数が得られます。

命題(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの間接効用関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =kw\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{\alpha
_{1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{p_{N}}\right) ^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。

証明

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例(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの間接効用関数)
2財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)です。上の命題より、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =kw\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right) ^{\alpha
}\left( \frac{1-\alpha }{p_{2}}\right) ^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。

例(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの間接効用関数)
3財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }x_{3}^{1-\alpha
-\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)かつ\(0<\beta <1\)です。上の命題より、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right) =kw\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right)
^{\alpha }\left( \frac{\beta }{p_{2}}\right) ^{\beta }\left( \frac{1-\alpha
-\beta }{p_{3}}\right) ^{1-\alpha -\beta }
\end{equation*}を定めます。

次回はコブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出最小化問題について解説します。

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