効用の限界費用

効用の限界費用

復習になりますが、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとります。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。さらに、\(u\)は\(C^{1}\)級であり、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)と\(h^{\ast }\left( p,v\right) \in H^{\ast }\left(p,v\right) ^{{}}\)に対して、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( h^{\ast
}\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つのであれば、それに対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ p\geq \lambda ^{\ast }\left( p,v\right) \cdot \nabla
u\left( h^{\ast }\left( p,v\right) \right) \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }\left( p,v\right) \cdot \left[ u\left(
h^{\ast }\left( p,v\right) \right) -v\right] =0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ p-\lambda ^{\ast }\left( p,v\right) \cdot \nabla
u\left( h^{\ast }\left( p,v\right) \right) \right] \cdot h^{\ast }\left(
p,v\right) =0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\left( p,v\right) \geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\left( p,v\right) \in \mathbb{R} \)が存在します。条件\(\left( C\right) \)を具体的に表現すると、\begin{equation}\sum_{j=1}^{N}\left[ \left( p_{j}-\lambda ^{\ast }\left( p,v\right) \cdot
\frac{\partial u\left( h^{\ast }\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{j}}\right) \cdot h_{j}^{\ast }\left( p,v\right) \right] =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。一方、条件\(\left( A\right) \)より、任意の商品\(i\)について、\begin{equation}p_{i}-\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \cdot \frac{\partial u\left( h^{\ast
}\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{i}}\geq 0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(h_{i}^{\ast}\left( p,v\right) >0\)を満たす商品\(i\)を任意に選ぶと、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}p_{i}-\lambda ^{\ast }\left( p,v\right) \cdot \frac{\partial u\left( h^{\ast
}\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{i}}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }\left( p,v\right) =\frac{1}{\frac{\partial u\left( h^{\ast
}\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。条件\(\left( D\right) \)より\(\lambda ^{\ast }\left(p,v\right) \geq 0\)です。

上の命題は何を意味するのでしょうか。\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解\(h^{\ast }\left(p,v\right) \)において正の量が消費される商品、すなわち\(h_{i}^{\ast }\left( p,v\right) >0\)を満たす商品\(i\)を任意に選びます。商品\(i\)の価格は\(p_{i}\)であるため、所得が\(1\)単位だけ増加すると商品\(i\)を\(\frac{1}{p_{i}}\)単位だけ追加購入できます。一方、\(\frac{\partial u\left( h^{\ast}\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{i}}\)は支出最小化問題の解\(h^{\ast }\left( p,v\right) \)において正の消費量を持つ商品\(i\)の限界効用であるため、それらの積\(\frac{\partial u\left( h^{\ast }\left( p,v\right)\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}\)は\(\left( p,v\right) \)における支出最小化問題の解\(h^{\ast }\left( p,v\right) \)が与えられたとき、そこを出発点に所得を限界的に増やした上でその増分を商品\(i\)への支出に向けることで得られる効用の増分に相当します。したがって、その逆数に相当する\begin{equation*}\frac{1}{\frac{\partial u\left( h^{\ast }\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}}
\end{equation*}は、支出最小化問題の解\(h^{\ast }\left( p,v\right) \)を出発点に効用を限界的に増やすために必要な商品\(i\)への支出の増分に相当します。そのようなこともあり、これを\(\left( p,v\right) \)における商品\(i\)に関する効用の限界費用（marginal cost of utility）と呼びます。上の命題より、支出最小化問題の解\(h^{\ast }\left( p,v\right) \)において正の量が消費される任意の商品について、その効用の限界費用はいずれも\(\lambda^{\ast }\left( p,v\right) \)と一致することが保証されます。

支出最小化問題の解において補償需要がゼロになる商品に関しては、先の命題の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

効用の限界費用に関する内点解の解釈

復習になりますが、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとります。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。さらに、\(u\)は\(C^{1}\)級であるものとします。加えて、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)と内点解\(x^{\ast }\left(p,v\right) \in H^{\ast }\left( p,v\right) ^{{}}\)に対して、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( x^{\ast
}\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つのであれば、それに対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ p=\lambda ^{\ast }\left( p,v\right) \cdot \nabla u\left(
x^{\ast }\left( p,v\right) \right) \\
&&\left( B\right) \ u\left( x^{\ast }\left( p,v\right) \right) =v \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\left( p,v\right) \geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\left( p,v\right) \in \mathbb{R} \)が存在します。先に明らかになったように、\(\lambda ^{\ast }\left( p,v\right) \)は\(\left(p,v\right) \)における効用の限界費用と一致します。また、内点解ではすべての商品の補償需要が正であるため、先の命題より、2つの商品\(i,j\)を任意に選んだとき、\begin{equation}\lambda ^{\ast }\left( p,v\right) =\frac{1}{\frac{\partial u\left( h^{\ast
}\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}}=\frac{1}{\frac{\partial u\left( h^{\ast }\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}}} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。これにはどのような意味があるのでしょうか。

ある消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)において上の条件が成り立たないものと仮定します。まずは、\begin{equation}\frac{1}{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}}<\frac{1}{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot
\frac{1}{p_{j}}} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす商品\(i,j\)が存在するような消費ベクトル\(x\)について考えます。左辺の\(\frac{1}{\frac{\partial u\left(x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}}\)は効用を\(1\)単位増やすために必要な商品\(i\)への追加的な支出に相当し、右辺の\(\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}}\)は効用を\(1\)単位増やすために必要な商品\(j\)への追加的な支出に相当します。したがって、不等式\(\left(2\right) \)が成立する場合、商品\(j\)への支出を限界的に減らしてそれを商品\(i\)へ回せば、効用水準を維持したまま支出を減らすことができます。したがって、不等式\(\left( 2\right) \)が成立するような消費ベクトル\(x\)は\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解ではありません。続いて、\begin{equation}\frac{1}{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}}>\frac{1}{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot
\frac{1}{p_{j}}} \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす商品\(i,j\)が存在するような消費ベクトル\(x\)について考えます。この場合、商品\(i\)への支出を限界的に減らしてそれを商品\(j\)の支出へ回せば、効用水準を維持したまま支出を減らすことができます。したがって、不等式\(\left( 3\right) \)が成立するような消費ベクトル\(x\)は\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解ではありません。

以上の議論により、消費ベクトル\(x\)が\(\left(p,v\right) \)における支出最小化問題の内点解であるためには、任意の商品\(i,j\)について、\begin{equation*}\frac{1}{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}}}=\frac{1}{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\cdot
\frac{1}{p_{j}}}
\end{equation*}という関係が成立しています。しかも\(\left(1\right) \)より、この両辺の値は\(\left( p,v\right) \)における効用の限界費用\(\lambda ^{\ast }\left(p,v\right) \)と一致します。支出最小化問題の内点解においては、すべての商品に関する効用の限界費用が一致するとともに、それは\(\lambda ^{\ast }\left( p,v\right) \)と一致します。

次回は所得効果について解説します。